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文档简介

矩阵的QR分解 学生 学号 一 Householder矩阵和Givens矩阵 定义4 3设是单位向量 即 称为Householder矩阵或初等反射矩阵 由Householder矩阵确定的上的线性变换称为Householder变换或初等反射变换 一 Householder矩阵和Givens矩阵 Householder矩阵具有下列性质 定理4 5设是Householder矩阵 则 1 Hermite 2 酉矩阵 3 对合矩阵 4 自逆矩阵 5 是n r阶Householder矩阵 6 一 Householder矩阵和Givens矩阵 定理4 6设是单位向量 则对任意 存在Householder矩阵H 使得 其中且为实数 推论1对任意的存在Householder矩阵 使得 其中 且为实数 推论2对任意的存在Householder矩阵 且 使得 其中以上两个推论的结果称为用Householder矩阵变换化向量与共线 或同方向 一 Householder矩阵和Givens矩阵 定义4 4设 且满足 称阶方阵为Givens矩阵变换或初等旋转矩阵 由Givens矩阵 一 Householder矩阵和Givens矩阵 为Givens矩阵变换或初等旋转矩阵 由Givens矩阵确定的上的线性变换称为Givens变换或初等旋转变换 容易验证 当时 存在实数 使得 特别地 当为实数且时 存在实数 使得 此时可以解释为上由和构成的平面旋转矩阵 一 Householder矩阵和Givens矩阵 定理4 7对任意 存在Givens矩阵 使得的等q个分量为非负实数 其余分量不变 推论设 则存在Givens矩阵使得称之为用givens变化向量与同方向 二 矩阵的QR分解
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