微积分X08-1-2-3一阶微分方程.ppt

第八章微分方程 组 8 1微分方程 组 解 一 问题的提出 例2设某种物质沿ox轴均匀分布在区间 0 1 上分布密度 求分布函数S x 常微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例 二 微分方程的定义 偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 一阶微分方程 高阶 n 微分方程 分类1 分类2 单个微分方程与微分方程组 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 微分方程的解 代入微分方程使方程恒等的函数 微分方程的解 1 一般解 通解 含有相互独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解 不唯一 求解方法求不定积分 其解是过定点的一条积分曲线 一阶 二阶 初始条件 用来确定任意常数的条件 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 解 所求特解为 P x y Q O x x y y y x 解 例3 为所求的微分方程 解 开始制动到列车完全停住共需 列车在这段时间内行驶了 通解 特解 8 2一阶微分方程的解法 1 可分离变量的一阶微分方程 的方程称为可分离变量的微分方程 为微分方程的一般解 通解 分离变量法 形如 解法 例1 求微分方程 的通解 解 分离变量得 两边积分 得 即 C为任意常数 或 说明 在求解过程中每一步不一定是同解变形 因此可能增 减解 此式含分离变量时丢失的解y 0 例2 解初值问题 解 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得C 1 C为任意常数 故所求特解为 例3 求解微分方程 解 例4 求下述微分方程的通解 解 令 则 故有 即 解得 C为任意常数 所求通解 例5 解法1分离变量 即 C 0 解法2 故有 积分 C为任意常数 所求通解 例6 子的含量M成正比 求在 衰变过程中铀含量M t 随时间t的变化规律 解 根据题意 有 初始条件 对方程分离变量 即 利用初始条件 得 故所求铀的变化规律为 然后积分 已知t 0时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 例7 船从河岸边O点出发驶向对岸 船速为a船行方向始终与河岸垂直 河宽为h 河中任一点处水流速与该点到两岸的距离乘积成正比 求船的航线 解 设小船的航行路线为y y x 代入初始条件y 0 0 得C 0 则所求航线为 例8 成正比 求 解 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量 然后积分 得 利用初始条件 得 代入上式后化简 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时 t 0 速度为0 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系 t足够大时 例9 解 两边同时对求导 解得 所以所求曲线为 解 例10 某车间体积为12000立方米 开始时空气中含有的 为了降低车间内空气中的含量 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出 问鼓风机开动6分钟后 车间内的百分比降低到多少 设鼓风机开动后时刻的含量为 的通入量 的排出量 6分钟后 车间内的百分比降低到 2 一阶齐次方程 的微分方程称为齐次方程 2 解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1 定义 齐次方程可以通过变量代换化成可分离变量的方程 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 当C 0时 y 0也是方程的解 C为任意常数 例2 解微分方程 解 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明 显然x 0 y 0 y x也是原方程的解 但在 C为任意常数 求解过程中丢失了 例3 方程 求y y x 解 方程两边同时对x求导 例4求解微分方程 解 微分方程的解为 例5有旋转曲面形状的凹镜 假若由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求曲线方程 解 MP AP y 一般的可化为可分离变量的微分方程通过变量代换将微分方程化为可分离变量的微分方程形式 例求下列方程通解 令x y u 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 解 代入原方程 原方程的通解为 h k为待 可化为齐次方程的方程 作变换 原方程化为 令 解出h k 齐次方程 定常数 求出其解后 即得原方 程的解 原方程可化为 令 可分离变量方程 注 上述方法可适用于下述更一般的方程 例4 求解 解 令 得 再令Y Xu 得 令 积分得 代回原变量 得原方程的通解 得C 1 故所求特解为 思考 若方程改为 如何求解 提示 一阶线性微分方程 的标准形式 Q X 0方程称为 齐次的 Q X 0方程称为 非齐次的 3 一阶线性微分方程 例如 定理8 1 齐次方程的通解为 一阶线性齐次微分方程的解法 使用分离变量法 线性齐次方程的解法 1 可分离变量 2 公式 例求y y 1 x 0满足初始条件y 1 1的特解 线性非齐次方程的解法线性非齐次方程的解线性齐次方程的解之间的关系 两边积分 相比 就是将 常数变易 位 法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 齐次方程的通解 变易成 y y 代入线性非齐次方程得 一阶线性非齐次微分方程的通解为 一阶线性非齐次微分方程的通解为 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 求解方法 注 1 非齐次方程通解 对应齐次方程通解 非齐次方程一特解2 常数变易 3 公式例1求下列方程通解1 xy y sinx解 常数变易法y y x 0y Ce P x dx C x设y C x x代入方程 C x x C x x2 sinx x C x sinxC x cosx C 通解 y cosx C x 解 法2公式法 例2 求通解 分析 如果把x看成自变量 把y看成因变量 上式不是一阶线性方程 反之 如把y看成自变量 把x看成因变量 上式成为 是一阶非齐次线性方程 例3如图所示 平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积 求曲线 两边求导得 解 所求曲线为 P335例6 设有连接O和A 1 1 的连续曲线y f x P x y 为曲线上动点 若直线OP与曲线y f x 围面的图形面积为x2 求y f x 设曲线方程为y f x 按题意有 两边求导 得 初始条件y 1 1 P x y 伯努利 Bernoulli 方程的标准形式 方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程 4 伯努利方程 解法 需经过变量代换化为线性微分方程 求出通解后 将代回 这是一个一阶线性非齐次微分方程 已能求解 例1解微分方程 解 所求通解为 伯努利方程n 1 解 例2 5 凑微分法 P339 例如 左端凑为某函数的全微分 凑微分法 例 求解 解 即 故原方程的通解为 或 备用题解方程 解法1积分因子法 原方程变形为 故通解为 此外 y 0也是方程的解 解法2化为齐次方程 原方程变形为 积分得 将 代入 得通解 此外 y 0也是方程的解 解法3化为线性方程 原方程变形为 其通解为 即 此外 y 0也是方程的解 8 3可降为一阶的二阶微分方程的解法 一 令 因此 即 同理可得 依次通过n次积分 可得含n个任意常数的通解 型的微分方程 例1 解 例2 质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动 在开始时刻 随着时间的增大 此力F均匀地减 直到t T时F T 0 如果开始时质点在原点 解 据题意有 t 0时 设力F仅是时间t的函数 F F t 小 求质点的运动规律 初初速度为0 且 对方程两边积分 得 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 型的微分方程 不显含y 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分 得原方程的通解 二 例 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 例4 绳索仅受 重力作用而下垂 解 取坐标系如图 考察最低点A到 密度 s 弧长 弧段重力大小 按静力平衡条件 有 故有 设有一均匀 柔软的绳索 两端固定 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 任意点M x y 弧段的受力情况 两式相除得 则得定解问题 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 三 型的微分方程 不显含x 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分 得原方程的通解 例 求解 代入方程得 两端积分得 一阶线性齐次方程 故所求通解为 解 M 地球质量m 物体质量 例 静止开始落向地面 求它落到地面时的速度 不计空气阻力 解 如图所示选取坐标系 由万有引力定律 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体 受地球引力的作用由 注意 号 由原方程可得 因此落到地面 y R 时的速度 例 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件 根据 积分得 故所求特解为 得 例已知曲线 它的方程y f x 满足微分方程 并且与另一条曲线y ex相切于点 0 1 求此曲线的方程 解 曲线满足初值问题 分离变量 积分 上式中无满足初始条件的解 考虑 满足初始条件的解为y 1 x 99考研 解 代入原方程 解线性方程 得 两端积分 得 原方程通解为 例 一般情况 5 凑导数法 恰当