微分方程及其分类(§9.1).ppt

8 1微分方程的基本概念 一 微分方程的基本概念 二 几类简单的微分方程 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 微分方程 微分方程的解 通解与特解 初始条件 一 微分方程的基本概念 在研究科学技术和经济管理中某些现象的变化过程时 往往需要寻求有关的变量之间的函数关系 但是 有时这种关系不容易直接建立起来 却可能建立起含有待求函数的导数或微分的关系式 这种关系式称为微分方程 微分方程 例1求过点 1 3 且切线斜率为2x的曲线方程 解 设所求的曲线方程是y y x 则根据题意有 其中y 1 表示x 1时y的值 y 2x y 1 3 定义8 1含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 y 2x含有待求函数的导数 是微分方程 微分方程 一 微分方程的基本概念 例2已知质点在时刻t的加速度为t2 1 且当t 0时 速度v 1 距离s 0 求此质点的运动方程 s t2 1含有待求函数的导数 是微分方程 例1y 2x是微分方程 定义8 1含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 微分方程 s t2 1 s 0 1 s 0 0 解 设此质点的运动方程为s s t 则有 一 微分方程的基本概念 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程 例如 y 2x和s t2 1都是常微分方程 未知函数为多元函数 从而出现多元函数的偏导数的方程 称为偏微分方程 例如zxx zyy 0 yzx xzy 0都是偏微分方程 常微分方程与偏微分方程 例2s t2 1也是微分方程 例1y 2x是微分方程 定义8 1含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 微分方程 一 微分方程的基本概念 微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶 微分方程的阶 提问 方程y 2x和s t2 1都是几阶微分方程 例2s t2 1也是微分方程 例1y 2x是微分方程 定义8 1含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 微分方程 一 微分方程的基本概念 定义8 2如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函数为该微分方程的解 微分方程的解 例1求过点 1 3 且切线斜率为2x的曲线方程 解 设所求的曲线方程是y y x 则根据题意有 在方程y 2x的两边求不定积分得y x2 c c为任意常数 函数y x2 c就是微分方程y 2x的解 将y 1 3代入y x2 c 求得c 2 过点 1 3 且切线斜率为2x的曲线方程为y x2 2 例2已知质点在时刻t的加速度为t2 1 且当t 0时 速度v 1 距离s 0 求此质点的运动方程 解 设此质点的运动方程为s s t 则有 由s 0 0可得c2 0 由s 0 1可得c1 1 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数 则此解称为微分方程的通解 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为特解 通解与特解 函数y x2 c和y x2 2都是微分方程y 2x解 函数y x2 c是微分方程y 2x的通解 函数y x2 2是微分方程y 2x的特解 都是微分方程s t2 1的解 前者是通解 后者是特解 例如 在例1中 例如 在例2中 求一阶微分方程的特解需要一个初始条件 求二阶微分方程的特解需要两个初始条件 依此类推 初始条件 用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件 例如 在例1中 例如 在例2中 y 1 3是初始条件 s 0 1 s 0 0都是初始条件 二 几类简单的微分方程 如果一个一阶微分方程F x y y 0能写成g y dy f x dx的形式 那么原方程F x y y 0就称为可分离变量的微分方程 方程g y dy f x dx称为变量已分离的微分方程 可分离变量的微分方程 例如 如果一个一阶微分方程F x y y 0能写成g y dy f x dx的形式 那么原方程F x y y 0就称为可分离变量的微分方程 方程g y dy f x dx称为变量已分离的微分方程 可分离变量的微分方程 例如 是可分离变量方程 二 几类简单的微分方程 的形式 则称原方程为齐次微分方程 如果一阶微分方程可写成 齐次微分方程 例如 二 几类简单的微分方程 形如y p x y q x 的方程称为一阶线性微分方程 如果q x 0 则方程称为一阶线性齐次方程 否则方程称为一阶线性非齐次方程 一阶线性微分方程 例如 y ycosx e sinx 是一阶线性非齐次方程 二 几类简单的微分方程 形如y py qy f x p q均为常数 的方程称为二阶常系数线性微分方程 如果f x 0 则上述方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程 如果f x 0 则上述方程称为二阶常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性微分方程 例如 y 2y 5y 0是二阶常系数线性齐次微分方程 y 2y 3y 3x 1是二阶常系数线性非齐次微分方程 二 几类简单的微分方程 1 y dx 1 x dy 0 y y e x 3 y 2y 3y e2x 4 y 10 x y 5 x3 y3 dx 3xy2dy 0 6 y 2