竞赛培训专题5---指数函数、对数函数

20122012 年高中数学年高中数学竞赛培训专题竞赛培训专题 5 5 指数函数 对数函数指数函数 对数函数 一 计算 一 计算 例 1 化简 1 2 3 解 1 x的指数是 所以原式 1 2 x的指数是 0 所以原式 1 3 原式 例 2 若 求 解 因为 所以f x f 1 x 1 例 3 已知m n为正整数 a 0 a 1 且 求m n 解 左边 原式为 loga m n logamn 得m n mn即 m 1 n 1 1 因为m n N 所以从而m n 2 二 比较大小二 比较大小 例 1 试比较与的大小 解 令 121995 a 0 则 所以 例 2 已知函数f x logax a 0 a 1 x R 若x1 x2 R 试比较与 的大小 解 f x1 f x2 loga x1x2 x1 x2 R 当且仅当x1 x2时 取 号 当a 1 时 有 即 当且仅当x1 x2时 取 号 当a 1 时 有 即 当且仅当x1 x2时 取 号 例 3 已知y1 y2 当x为何值时 1 y1 y2 2 y1 y2 3 y1y2的充要条件是 2x2 3x 1 x2 2x 5 解得x3 3 y1 y2的充要条件是 2x2 3x 1 x2 2x 5 解得 2 x 3 三 证明三 证明 例 1 对于自然数a b c a b c 和实数x y z w若ax by cz 70w 1 2 求证 a b c 证明 由 1 得 把 2 代入得 abc 70 2 5 7 a b c 由于a b c均不会等于 1 故a 2 b 5 c 7 从而a b c 例 2 已知 A 6lgp lgq 其中p q为素数 且满足q p 29 求证 3 A 4 证明 由于p q为素数 其差q p 29 为奇数 p 2 q 31 A 6lg2 lg31 lg 26 31 lg1984 1000 1984 10000 故 3 A0 a 1 且 q 为锐角 求证 1 a1 又f 15 sinq cosq 1 故a 15 综合得 1 a 15 例 4 已知 0 a 1 x2 y 0 求证 证 因为 0 a0 ay 0 由平均值不等式 故 四 图象和性质四 图象和性质 例 1 设a b分别是方程 log2x x 3 0 和 2x x 3 0 的根 求a b及 log2a 2b 解 在直角坐标系内分别作出函数y 2x和y log2x的图象 再作直线y x和y x 3 由于y 2x和y log2x互为反函数 故它们的图象关于直线y x对称 方程 log2x x 3 0 的根a就是直线y x 3 与对数曲线y log2x的交点 A 的横坐标 方程 2x x 3 0 的根b 就是直线y x 3 与指数曲线y 2x的交点 B 的横坐标 设y x 3 与y x的交点为 M 则点 M 的横坐标为 1 5 1 5 所以a b 2xM 3 log2a 2b 2yM 3 例 6 设f x min 3 log2x 其中 min p q 表示p q中的较小者 求f x 的 最大值 解 易知f x 的定义域为 0 因为y1 3 在 0 上是减函数 y2 log2x在 0 上是增函数 而当y1 y2 即 3 log2x时 x 4 所以由y1 3 和y2 log2x的图象可知 故当x 4 时 得f x 的最大值是 2 另解 f x 3 3 1 f x log2x 2 1 2 2 消去 log2x 得 3f x 6 f x 2 又f 4 2 故f x 的最大值为 2 例 7 求函数的最小值 解 由 1 3x 0 得 x0 且a 1 求证 方程ax a x 2a的根不在区间 1 1 内 解 设t ax 则原方程化为 t2 2at 1 0 1 由 D 4a2 4 0 得a 1 即a 1 令f t t2 2at 1 f a a2 2a2 1 1 a2 0 所以f t 的图象与横轴有的交点的横坐标在之外 故方程t2 2at 1 0 在 之外有两个实根 原方程有两实根且不在区间 1 1 内 例例 3 3 解方程 lg2x lgx 2 0 其中 x 表示不大于实数x的最大整数 解 由 x 的定义知 x x 故原方程可变为不等式 lg2x lgx 2 0 即 1 lgx 2 当 1 lgx 0 时 lgx 1 于是原方程为 lg2x 1 当 0 lgx 1 时 lgx 0 原方程为 lg2x 2 均不符合 lgx 0 当 1 lgx0 且a 1 设u x2 ax 5 原不等式可化为 1 当 0 a1 时 不等式化为 2 由f 4 1 知 2 等价于 0 u 4 即 0 x2 ax 5 4 从上式可知 只有当x2 ax 5 4 有唯一解即 D a2 4 0 a 2 时 不等式 0 x2 ax 5 4 有 唯一解x 1 综上所述 当a 2 时原不等式有且只有一个解 例 5 已知a 0