概率论与数理统计.ppt

1 概率论与数理统计 十一 开始王柱2013 04 10 2 一 定义 设离散随机变量X的分布律为P X xk pkk 1 2 若级数 第四章随机变量的数字特征 1 随机变量的数学期望 绝对收敛 则称此级数的和为离散随机变量X的均值 也叫数学期望 记为E X 即 3 二 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 绝对收敛 则称此积分的值为随机变量X的数学期望 记为E X 即 数学期望简称期望 又称为均值 4 定理4 1 1 设Y是随机变量X的函数 Y g X 函数g x 是连续函数 一 设离散随机变量X的分布律为P X xk pkk 1 2 2 随机变量函数的数学期望 若级数 绝对收敛 则有 被称为随机变量函数Y g X 的数学期望 5 二 连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 绝对收敛 则有 被称为随机变量函数Y g X 的数学期望 6 fY y fX h y h y a y b 0 其它 其中a min g x b max g x h y 是g x 的反函数 即x h y 则 二之特别情况证明 随机变量X具有概率密度fX x 设函数g x 处处可导且有g x 0 或恒有g x 0 则Y g X 是连续型随机变量 其概率密度fY y 为 7 作变量替换x h y 当h y 0时 当h y 0时 8 3 设Z是随机变量X Y的函数 Z g X Y 函数g x y 是连续函数 则Z也是一个随机变量 且 一 一 设离散随机变量X Y的分布律为P X xk Y yj pkjk j 1 2 和级数 绝对收敛 则有 被称为随机变量函数Z g X Y 的数学期望 9 二 二 连续型随机变量X Y的概率密度为f x y 若积分 绝对收敛 则有 被称为随机变量函数Z g X Y 的数学期望 10 数学期望的性质 以下均设所遇到的数学期望存在 10设C为常数 则有E C C 20设C为常数 X是随机变量 则有E CX CE X 30X Y是两个随机变量 则有E X Y E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 40X Y是两个相互独立的随机变量 则有E XY E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立随机变量之积的情况 11 30X Y是两个随机变量 证明E X Y E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 12 40X Y是两个相互独立的随机变量 证明E XY E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立随机变量之积的情况 13 定义4 2 1 设X是一个随机变量 若E X E X 2 存在 则称E X E X 2 为随机变量X的方差 记为D X 或Var X 4 2方差 即D X Var X E X E X 2 还引入 称为标准差或均方差 14 对离散型随机变量X的方差 即为 对连续型随机变量X的D X 有 15 对任何随机变量X的方差D X 都可以用如下公式计算 16 方差的性质 以下均设所遇到的方差存在 10设C为常数 则有D C 0 20设C为常数 X是随机变量 则有D CX C2D X 30X Y是两个相互独立的随机变量 则有D X Y D X D Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况 40D X 0的充要条件是X以概率1取常数C 即P X C 1 这些都是级数求和及积分的性质 17 30X Y是两个相互独立的随机变量 证明D X Y D X D Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况 18 例4 2 1 0 1分布 设X为服从0 1分布的随机变量 则D X 1 p 2 p 0 p 2 1 p pq 几种重要随机变量的方差 例4 2 5 二项分布 设X为服从参数为n p的随机变量 n重贝奴利试验 则D X D X1 Xn D X1 D Xn npq 例11 1 例11 2 19 例4 2 3 泊松分布 设X为服从参数为 的随机变量 则 例11 3 20 标准正态分布X N 0 1 则 正态分布Y N 2 注意到 Y X 因此D Y D X D 2D X 0 2 例11 4 1 例11 4 2 21 例4 2 2 均匀分布X在 a b 上均匀分布 则 例11 5 22 指数分布其概率密度为 其中 0 23 24 0 1分布 设X为服从0 1分布的随机变量 则E X pD X pq 几种重要随机变量的数学期望及方差 1 二项分布 设X为服从参数为n p的随机变量 n重贝奴利试验 则E X npD X npq 2 设X为服从参数为N M n的超几何分布 则E X nM N 25 4 设X为服从参数为p的几何分布 则 3 泊松分布 设X为服从参数为 的随机变量 则 26 标准正态分布X N 0 1 则 5 正态分布Y N 2 注意到 Y X 因此E Y D Y 2 6 均匀分布X在 a b 上均匀分布 则 27 7 设X为服从参数为 的指数分布 则 28 本书附表1给出了几种常用随机变量的概率分布 参数 分布律或概率密度 数学期望及方差 演示18 29 例2 系统L由五个相互独立的子系统Li i 1 5连接而成 求两种连接方式 串联 并联 系统L的平均寿命 设子系统Li的寿命为X 概率密度为 其中 0 它们的分布函数为 例11 6 30 解 2 并联 时 系统L的寿命Z max Xi 的分布函数为 系统L的寿命Z max Xi 的密度函数为 31 解 1 串联 时 系统L的寿命Z min Xi 的分布函数为 系统L的平均寿命E N 1 5 系统L的寿命Z min Xi 的密度函数为 两个比较 系统L的平均寿命E M E N 137 60 1 5 11 4 32 解 3 备用 时 系统L的寿命Z X Y的密度函数为 系统L的寿命Z X1 X2 X3 X4 X5的密度函数很难求 但系统L的平均寿命E Z 5E X 5 比较 系统L的平均寿命E Z E M 5 137 60 2 2E Z E N 5 1 5 25 33 例3 按规定 某车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一辆车到站 但到站的时刻是随机的 且两车到站的时间是相互独立的 其规律为 1 一人8 00到站 求他候车时间的数学期望 2 又一人8 20到站 求他候车时间的数学期望 解 例11 7 34 查本书附表2得出一些标准正态分布的概率值 3 3 2 3 1 0 9974 2 2 2 2 1 0 9544 1 1 2 1 1 0 6826 4 4 2 4 1 2 0 99996833 1 0 99993666 0 999999998026825 35 36 3 3 2 3 1 0 9974 这个式子说明 X的值落在上的概率几乎为1 这一事实称为 法则 0 999999998026825 现正在推行的是 管理 0 000003397673 37 设随机变量X具有数学期望E X 和方差D X 2 则对于任意正数 不等式 成立 此不等式称为切比雪夫 Chebyshev 不等式 对一般随机变量这些值的估计要用到一个重要的不等式 38 特别取 3 4 则有 此不等式亦可写成 0 9974 0 99993666 而对标准正态分布的概率值 39 概率论与数理统计 作业 习题四的13 14 16 17 40 13 41 14 42 16 1 43 16 2 44 17 45 几何