求两线段长度值和最小

求两线段长度值和最小求两线段长度值和最小 问题问题 在近几年的中考中 经常遇到求在近几年的中考中 经常遇到求 PA PBPA PB 最小型问题 为最小型问题 为 了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解 特此设了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解 特此设 计了计了 求两线段长度值和最小求两线段长度值和最小 的问题 希望对同学们有所帮的问题 希望对同学们有所帮 助 助 一 在三角形背景下探求线段和的最小值一 在三角形背景下探求线段和的最小值 1 11 1 在锐角三角形中探求线段和的最小值在锐角三角形中探求线段和的最小值 例例 1 1 如图 如图 1 1 在锐角三角形 在锐角三角形 ABCABC 中 中 AB 4AB 4 BAC 45 BAC 45 BAC BAC 的平分线交的平分线交 BCBC 于点于点 D D M NM N 分别是分别是 ADAD 和和 ABAB 上的动点 上的动点 则则 BM MNBM MN 的最小值为的最小值为 分析 在这里 有两个动点 所以在解答时 就不能用我们分析 在这里 有两个动点 所以在解答时 就不能用我们 常用对称点法 我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理常用对称点法 我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理 加以解决 加以解决 解 如图解 如图 1 1 在 在 ACAC 上截取上截取 AE ANAE AN 连接 连接 BEBE 因为 因为 BAC BAC 的平的平 分线交分线交 BCBC 于点于点 D D 所以 所以 EAM NAM EAM NAM 又因为 又因为 AM AMAM AM 所以所以 AME AMNAME AMN 所以 所以 ME MNME MN 所以 所以 BM MN BM ME BEBM MN BM ME BE 因为 因为 BM MNBM MN 有最小值 当有最小值 当 BEBE 是点是点 B B 到直线到直线 ACAC 的距离时 的距离时 BEBE 取最小值为取最小值为 4 4 以 以 BM MNBM MN 的最小值是的最小值是 4 4 故填 故填 4 4 1 21 2 在等边三角形中探求线段和的最小值在等边三角形中探求线段和的最小值 例例 2 2 如图 如图 4 4 所示 等边所示 等边 ABC ABC 的边长为的边长为 6 AD6 AD 是是 BCBC 边上的边上的 中线中线 M M 是是 ADAD 上的动点上的动点 E E 是是 ACAC 边上一点边上一点 若若 AE 2 EM CMAE 2 EM CM 的最小的最小 值为值为 分析 要求线段和最小值 关键是利用轴对称思想 找出这分析 要求线段和最小值 关键是利用轴对称思想 找出这 条最短的线段 后应用所学的知识求出这条线段的长度即可 条最短的线段 后应用所学的知识求出这条线段的长度即可 解 因为等边解 因为等边 ABC ABC 的边长为的边长为 6 AD6 AD 是是 BCBC 边上的中线边上的中线 所以点所以点 C C 与点与点 B B 关于关于 ADAD 对称 连接对称 连接 BEBE 交交 ADAD 于点于点 M M 这就是 这就是 EM CMEM CM 最最 小时的位置 如图小时的位置 如图 5 5 所示 因为所示 因为 CM BMCM BM 所以 所以 EM CM BEEM CM BE 过点 过点 E E 作作 EF BCEF BC 垂足为 垂足为 F F 因为 因为 AE 2AE 2 AC 6AC 6 所以 所以 EC 4EC 4 在直角 在直角 三角形三角形 EFCEFC 中 因为中 因为 EC 4 EC 4 ECF 60 ECF 60 FEC 30 FEC 30 所以 所以 FC 2 EF FC 2 EF 2 2 因为因为 BC 6BC 6 FC 2FC 2 所以 所以 BF 4BF 4 在直角三角形 在直角三角形 BEFBEF 中 中 BE BE 二 在四边形背景下探求线段和的最小值二 在四边形背景下探求线段和的最小值 2 12 1 在直角梯形中探求线段和的最小值在直角梯形中探求线段和的最小值 例例 3 3 如图 如图 3 3 在直角梯形 在直角梯形 ABCDABCD 中 中 ABC ABC 90 90 AD BCAD BC ADAD 4 4 ABAB 5 5 BCBC 6 6 点 点 P P 是是 ABAB 上一个动点 当上一个动点 当 PCPC PDPD 的和最小时 的和最小时 PBPB 的长为的长为 分析 在这里有一个动点 两个定点符合对称点法求线段和分析 在这里有一个动点 两个定点符合对称点法求线段和 最小的思路 所以解答时可以用对称法 最小的思路 所以解答时可以用对称法 解 如图解 如图 3 3 所示 作点所示 作点 D D 关于直线关于直线 ABAB 的对称点的对称点 E E 连接 连接 CECE 交 交 ABAB 于点于点 P P 此时 此时 PCPC PDPD 和最小 为线段和最小 为线段 CECE 因为 因为 ADAD 4 4 所以 所以 AE 4AE 4 因为 因为 ABC ABC 90 90 AD BCAD BC 所以 所以 EAP EAP 90 90 因为因为 APE APE BPC BPC 所以所以 APE BPC APE BPC 所以 所以 因为因为 AE 4AE 4 BCBC 6 6 所以 所以 所以 所以 所以 所以 因为因为 ABAB 5 5 所以 所以 PB 3 PB 3 2 22 2 在等腰梯形中探求线段和的最小值在等腰梯形中探求线段和的最小值 例例 4 4 如图 如图 4 4 等腰梯形 等腰梯形 ABCDABCD 中 中 AB AD CD 1AB AD CD 1 ABC 60 ABC 60 P P 是上底 下底中点是上底 下底中点 EFEF 直线上的一直线上的一 点 则点 则 PA PBPA PB 的最小值为的最小值为 分析 根据等腰梯形的性质知道 点分析 根据等腰梯形的性质知道 点 A A 的对称点是点的对称点是点 D D 这 这 是解题的一个关键点 其次运用好直角三角形的性质是解题的是解题的一个关键点 其次运用好直角三角形的性质是解题的 又一个关键 又一个关键 解 如图解 如图 4 4 所示 因为点所示 因为点 D D 关于直线关于直线 EFEF 的对称点为的对称点为 A A 连接 连接 BDBD 交 交 EFEF 于点于点 P P 此时 此时 PAPA PBPB 和最小 为线段和最小 为线段 BDBD 过点 过点 D D 作作 DG BCDG BC 垂足为 垂足为 G G 因为四边形 因为四边形 ABCDABCD 是等腰梯形 且是等腰梯形 且 AB AD CD 1AB AD CD 1 ABC 60 ABC 60 所以 所以 C 60 C 60 GDC 30 GDC 30 所以 所以 GC GC DG DG 因为 因为 ABC ABC 60 60 AD BCAD BC 所以 所以 BAD BAD 120 120 因为 因为 AB ADAB AD 所以 所以 ABD ADB 30 ABD ADB 30 所以 所以 ADBC 30 ADBC 30 所以 所以 BD 2DG 2 BD 2DG 2 所以 所以 PA PBPA PB 的最小值的最小值 为为 2 32 3 在菱形中探求线段和的最小值在菱形中探求线段和的最小值 例例 5 5 如图如图 5 5 菱形菱形 ABCDABCD 中 中 AB 2AB 2 BAD 60 BAD 60 E E 是是 ABAB 的的 中点 中点 P P 是对角线是对角线 ACAC 上的一个动点 则上的一个动点 则 PE PBPE PB 的最小值的最小值 为为 分析 根据菱形的性质知道 点分析 根据菱形的性质知道 点 B B 的对称点是点的对称点是点 D D 这是解 这是解 题的一个关键点 题的一个关键点 解 如图解 如图 5 5 所示 因为点所示 因为点 B B 关于直线关于直线 ACAC 的对称点为的对称点为 D D 连接 连接 DEDE 交 交 ACAC 于点于点 P P 此时 此时 PEPE PBPB 和最小 为线段和最小 为线段 EDED 因为四边 因为四边 形形 ABCDABCD 是菱形 且是菱形 且 BAD 60 BAD 60 所以三角形 所以三角形 ABDABD 是等边三角是等边三角 形 因为形 因为 E E 是是 ABAB 的中点 的中点 AB 2AB 2 所以 所以 AE 1AE 1 DE ABDE AB 所以 所以 ED ED 所以 所以 PEPE PBPB 的最小值为的最小值为 2 42 4 在正方形中探求线段和的最小值在正方形中探求线段和的最小值 例例 6 6 如图如图 6 6 所示 已知正方形所示 已知正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 8 8 点 点 M M 在在 DCDC 上 且上 且 DM 2DM 2 N N 是是 ACAC 上的一个动点 则上的一个动点 则 DN MNDN MN 的最小值的最小值 为为 分析 根据正方形的性质知道 点分析 根据正方形的性质知道 点 B B 的对称点是点的对称点是点 D D 这是 这是 解题的一个关键点 解题的一个关键点 例例 7 7 如图 如图 7 7 在边长为 在边长为 2cm2cm 的正方形的正方形 ABCDABCD 中 点中 点 Q Q 为为 BCBC 边的中点 点边的中点 点 P P 为对角线为对角线 ACAC 上一动点 连接上一动点 连接 PBPB PQPQ 则 则 PBQ PBQ 周长的最小为周长的最小为 cmcm 结果不取近似值 结果不取近似值 分析 在这里分析 在这里 PBQ PBQ 周长等于周长等于 PB PQ BQPB PQ BQ 而 而 BQBQ 是正方形边是正方形边 长的一半 是一个定值长的一半 是一个定值 1 1 所以要想使得三角形的周长最小 所以要想使得三角形的周长最小 问题就转化成使得问题就转化成使得 PB PQPB PQ 的和最小问题 因为题目中有一个动的和最小问题 因为题目中有一个动 点点 P P 两个定点 两个定点 B QB Q 符合对称点法求线段和最小的思路 所以符合对称点法求线段和最小的思路 所以 解答时可以用对称法 解答时可以用对称法 解解 如图如图 7 7 所示 根据正方形的性质知道点所示 根据正方形的性质知道点 B B 与点与点 D D 关于关于 ACAC 对称 连接对称 连接 DQDQ 交 交 ACAC 于点于点 P P 连接 连接 PBPB 所以 所以 BP DPBP DP 所以 所以 BP PQ DP PQ DQBP PQ DP PQ DQ 在 在 Rt CDQRt CDQ 中 中 DQ DQ 所以 所以 PBQ PBQ 的周长的最小值为 的周长的最小值为 BP PQ BQ DQ BQ BP PQ BQ DQ BQ 1 1 故 故 答案为答案为 1 1 三 在圆背景下探求线段和的最小值三 在圆背景下探求线段和的最小值 例例 8 8 如图 如图 8 8 MNMN 是半径为是半径为 1 1 的的 O O 的直径 点的直径 点 A A 在在 O O 上 上 AMN AMN 30 30 B B 为为 ANAN 弧的中点 弧的中点 P P 是直径是直径 MNMN 上一动点 则上一动点 则 PAPA PBPB 的最小值为的最小值为 A 2 A 2 B B C 1 C 1 D 2 D 2 分析 根据圆的对称性 作出点分析 根据圆的对称性 作出点 A A 的对称点的对称点 D D 连接 连接 DBDB 则 则 线段和的最小值就是线段线段和的最小值就是线段 DBDB 的长度 的长度 解 如图解 如图 8 8 作出点 作出点 A A 的对称点的对称点 D D 连接 连接 DBDB OB ODOB OD 因为 因为 AMN AMN 30 30 B B 为为 ANAN 弧的中点 弧的中点 所以弧所以弧 ABAB 的度数为的度数为 30 30 弧 弧 ABAB 的度数为的度数为 30 30 弧 弧 ANAN 的度的度 数为数为 60 60 根据圆心角与圆周角的关系定理得到 根据圆心角与圆周角的关系定理得到 BON BON 30 30 由垂径定理得 弧 由垂径定理得 弧 DNDN 的度数为的度数为 60 60 所以 所以 BOD BOD BON BON DON DON 30 60 90 30 60 90 所以所以 DB DB 所以选择所以选择 B B 四 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值四 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值 例例 9 9 如图如图 9 9 正比例函数 正比例函数 y y x x 的图象与反比例函数的图象与反比例函数 y y k 0k 0 在第一象限的图象交于 在第一象限的图象交于 A A 点 过点 过 A A 点作点作 x x 轴的垂轴的垂 线 垂足为线 垂足为 M M 已知三角形 已知三角形 OAMOAM 的面积为的面积为 1 1 1 1 求反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式 2 2 如果 如果 B B 为反比例函数在第一象限图象上的点 点为反比例函数在第一象限图象上的点 点 B B 与与 点点 A A 不重合 且不重合 且 B B 点的横坐标为点的横坐标为 1 1 在 在 x x 轴上求一点轴上求一点 P P 使 使 PA PBPA PB 最小最小 分析 利用三角形的面积和交点坐标的意义 确定出点分析 利用三角形的面积和交点坐标的意义 确定出点 A A 的的 坐标是解题的第一个关键 坐标是解题的第一个关键 要想确定出要想确定出 PA PBPA PB 的最小值 关键是明白怎样才能保证的最小值 关键是明白怎样才能保证 PA PBPA PB 的和最小 同学们可以联想我们以前学过的对称作图问的和最小 同学们可以联想我们以前学过的对称作图问 题 明白了最小的内涵 解题的过程就迎刃而解了 题 明白了最小的内涵 解题的过程就迎刃而解了 解 解 1 1 设点 设点 A A 的坐标为 的坐标为 x x y y 且点 且点 A A 在第一象限 在第一象限 所以所以 OM x AM yOM x AM y 因为三角形因为三角形 OAMOAM 的面积为的面积为 1 1 所以 所以所以所以 xy 2xy 2 所以反比例函数的解析式为所以反比例函数的解析式为 y y 2 2 因为 因为 y y x x 与与 y y 相交于点相交于点 A A 所以 所以 x x 解得 解得 x 2x 2 或 或 x 2 x 2 因为因为 x x 0 0 所以 所以 x 2x 2 所以 所以 y 1y 1 即点 即点 A A 的坐标的坐标 为 为 2 2 1 1 因为点 因为点 B B 的横坐标为的横坐标为 1 1 且点 且点 B B 在反比例函数的在反比例函数的 图像上 所以点图像上 所以点 B B 的纵坐标为的纵坐标为 2 2 所点 所点 B B 的坐标为 的坐标为 1 1 2 2 所以点所以点 B B 关于关于 x x 轴的对称点轴的对称点 D D 的坐标为 的坐标为 1 1 2 2 设直线 设直线 ADAD 的解析式为的解析式为 y kx by kx b 所以 所以 解得解得 k 3k 3 b 5b 5 所以函数的解析式为 所以函数的解析式为 y 3x 5y 3x 5 当 当 y 0y 0 时 时 x x 所以当点 所以当点 P P 在 在 0 0 时 时 PA PBPA PB 的值最小 的值最小 五 在二次函数背景下探求线段和的最小值五 在二次函数背景下探求线段和的最小值 例例 1010 如图 如图 1010 在平面直角坐标系中 点 在平面直角坐标系中 点 A A 的坐标为 的坐标为 1 1 AOB AOB 的面积是的面积是 1 1 求点 求点 B B 的坐标 的坐标 2 2 求过点 求过点 A A O O B B 的抛物线的解析的抛物线的解析 式 式 3 3 在 在 2 2 中抛物线的对称轴上是否存在点 中抛物线的对称轴上是否存在点 C C 使 使 AOC AOC 的周长最小 若存在 求出点的周长最小 若存在 求出点 C C 的的 坐标 若不存在 请说明理坐标 若不存在 请说明理 由 由 分析 在这里分析 在这里 AOC AOC 周长等于周长等于 AC CO AOAC CO AO 而 而 A OA O 是定点 所是定点 所 以以 AOAO 是一个定长 所以要想使得三角形的周长最小 问题就转是一个定长 所以要想使得三角形的周长最小 问题就转 化成使得化成使得 AC COAC CO 的和最小问题 因为题目中有一个动点的和最小问题 因为题目中有一个动点 C C 两 两 个定点个定点 A OA O 符合对称点法求线段和最小的思路 所以解答时可符合对称点法求线段和最小的思路 所以解答时可 以用对称法 以用对称法 解 解 1 1 由题意得 由题意得 所以所以 OB 2OB 2 因为点 因为点 B B 在在 x x 轴的负半轴上 所以点轴的负半轴上 所以点 B B 的坐标为 的坐标为 2 2 2 2 因为 因为 B 2 0 O 0 0 B 2 0 O 0 0 所以设抛物线的解析式为 所以设抛物线的解析式为 y axy ax x 2x 2 将 将点点 A A 的坐标为 的坐标为 1 1 代入解析式得 代入解析式得 3a 3a 所以 所以 a a 所以函数的解析式为 所以函数的解析式为 y y x x 3 3 存在点 存在点 C C 如图如图 1010 根据抛物线的性质知道点 根据抛物线的性质知道点 B B 与点与点 O O 是对称点 所以连接是对称点 所以连接 ABAB 与与抛物线的对称轴抛物线的对称轴 x x 1 1 交交 ACAC 于点于点 C C 此时 此时 AOC AOC 的周长最小的周长最小 设对称轴与设对称轴与 x x 轴的交点为轴的交点为 E E 过点过点 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 x x 轴于点轴于点 F F 则 则 BE EO EF 1 BE EO EF 1 因为因为 BCE BBCE BA AF F 所以所以 所以所以 所以 所以 CE CE 因为点 因为点 C C 在第二象限 所以点在第二象限 所以点 C C 的坐标为 的坐标为 1 1 六 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值六 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 例例 1111 在平面直角坐标系中 矩形 在平面直角坐标系中 矩形的顶点的顶点 O O 在坐标原在坐标原 点 顶点点 顶点 A A B B 分别在分别在 x x 轴 轴 y y 轴的正半轴上 轴的正半轴上 OA 3OA 3 OB 4OB 4 D D 为边为边 OBOB 的中点的中点 1 1 若 若 E E 为边为边 OAOA 上的一个动点 当上的一个动点 当 CDE CDE 的周长最小时 的周长最小时 求点求点 E E 的坐标 的坐标 2 2 若 若 E E F F 为边为边 OAOA 上的两个动点 且上的两个动点 且 EF 2EF 2 当四边形 当四边形 CDEFCDEF 的周长最小时 求点的周长最小时 求点 E E F F 的坐标的坐标 分析 本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求分析 本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求 最小值问题糅合在一起 并很好的运用到平面直角坐标系中 最小值问题糅合在一起 并很好的运用到平面直角坐标系中 解 解 1 1 如图 如图 1212 作点 作点 D D 关于关于 x x 轴的对称点轴的对称点 连接 连接 C C 与与 x x 轴交于点轴交于点 E E 连接 连接 DE DE 若在边若在边 OAOA 上任取点上任取点 与点 与点 E E 不重合 连接不重合 连接 C C D D 由由 D D C C C C C C D D CE DE CE CE DE CE 所以 所以 的周长最小的周长最小 因为因为 在