高三数学应用题练习

高三数学应用题练习高三数学应用题练习 南京市 17 本题满分 14 分 如图 在半径为 30cm 的半圆形 O 为圆心 铝皮上截取一块矩形材料 ABCD 其中点 A B 在直径上 点 C D 在圆周上 1 怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大 并求最 大面积 2 若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的 圆柱形罐子的侧面 不计剪裁和拼接损耗 应怎样截取 才 能使做出的圆柱形形罐子体积最大 并求最大面积 常州市第 17 题 盐城市 18 本小题满分 14 分 因发生意外交通事故 一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中 为了治污 根据环保部门的 建议 现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂 已知每投放 且个单位的药剂 它在水中释放的浓度 克 升 随着时间 天 变化 14 aa aRyx 的函数关系式近似为 其中 ya f x 16 1 04 8 1 5 410 2 x x f x xx 若多次投放 则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之 和 根据经验 当水中药剂的浓度不低于 4 克 升 时 它才能起到有效治污的作用 若一次投放 4 个单位的药剂 则有效治污时间可达几天 若第一次投放 2 个单位的药剂 6 天后再投放个单位的药剂 要使接下来的 4 天a 中能够持续有效治污 试求的最小值 精确到 0 1 参考数据 取 1 4 a2 18 解 因为 所以 1 分 4a 64 4 04 8 202 410 x yx xx 则当时 由 解得 所以此时 3 分 04x 64 44 8x 0 x 04x 当时 由 解得 所以此时 5 分 410 x 2024x 8x 48x 综合 得 若一次投放 4 个单位的制剂 则有效治污时间可达 8 天 6 分08x 当时 9 分610 x 116 2 5 1 28 6 yxa x 因为 而 16 10 14 a xa x 16 14 4 14 a xa x 14 4 8 x 14a 所以 故当且仅当时 y 有最小值为 12 分4 4 8 a 144xa 84aa 令 解得 所以的最小值为 14 分844aa 24 16 24a a24 16 21 6 镇江市 无锡市 苏州市 徐州市 宿迁市 17 解 1 设点 C 受 A 污染源污染程度为 点 C 受 B 污染源污染程度为 2 ka x 2 18 kb x 其中为比例系数 且 4 分k0k 从而点 C 处受污染程度 6 分 22 18 kakb y xx 2 因为 所以 8 分1a 22 18 kkb y xx 令 得 12 分 33 22 18 b yk xx 0y 3 18 1 x b 又此时 解得 经验证符合题意 6x 8b 所以 污染源 B 的污染强度的值为 8 14 分b 苏北四市第一次调研 19 本小题满分 16 分 如图 1 OA OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤 线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一 条栈桥和防波堤 为观光旅游需要 拟过栈桥 CD 上某点M分别修建与 OA OB 平行的栈桥 MG MK 且以 MG MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK 建立如图 2 所示的 直角坐标系 测得 CD 的方程是 220 020 xyx 曲线 EF 的方程是 200 0 xyx 设点M的坐标为 s t 题中所涉及长度单位均为米 栈桥及防波堤都不计宽度 1 求三角形观光平台 MGK 面积的最小值 2 若要使 MGK 的面积不小于 320 平方米 求t的范围 图 1 图 2 19 1 由题意 得 100 Gt t 100 K s s 0 0 st 又因为 M s t 在线段 CD 220 020 xyx 上 所以 220 020 sts 11 200200140000 400 222 MGK SMG MKstst tsst 4 分 由20 2222 2ststu 得0 50st 当且仅当 10s 5t 时等号成立 6 分 令st u 则 140000 400 2 MGK f uSu u 0 50 u 又 2 110000 1 0 2 f u u 故 f u 在 0 50 上单调递减 注意 若 f u 在 0 50 上单调递减未证明扣 1 分 所以 min 50 225f uf 此时 10s 5t 所以三角形 MGK 面积的最小值为 225 平方米 10 分 2 由题意得 320f u 当 140000 400 320 2 u u 解得 40u 或 1000u 舍去 由 1 知 40st 14 分 即 20 2 40t t 解之得5 555t 所以t的范围是 5 5 55 16 分 泰州市 17 由已知第 7 天的销售价格 销售量 第 7 天的销售收入49p 41q 元 3 分 7 49 412009W 设第天的销售收入为 则 6 分 x x W 44 48 16 20097 56 32 820 x xxx Wx xxx 当时 当且仅当16x 2 44 48 44 48 2116 2 x xx Wxx 时取等号 当时取最大值 9 分 2x 2x 2 2116W 当时 当且仅当820 x 2 56 32 56 32 1936 2 x xx Wxx 时取等号 当时取最大值 12 分 12x 12x 12 1936W 由于 第 2 天该农户的销售收入最大 13 分 2712 WWW 答 第 7 天的销售收入 2009 元 第 2 天该农户的销售收入最大 14 分 扬州市 18 本小题满分 15 分 某广场一雕塑造型结构如图所示 最上层是一呈水平状态的圆环 其半径为 通过金m2 属杆支撑在地面处 垂直于水平面 是圆环上的三 321 CACACABCBBC 321 AAA 等分点 圆环所在的水平面距地面 设金属杆所在直线与圆环所在水m10 321 CACACA 平面所成的角都为 圆环及金属杆均不计粗细 1 当的正弦值为多少时 金属杆的总长最短 321 CACACABC 2 为美观与安全 在圆环上设置个等分点 并仍按上面方法连接 4 21 nAAA n 若还要求金属杆的总长最短 对比 1 中点位置 此时点将 n CACACABC 21 CC 会上移还是下移 请说明理由 18 解 设为圆环的圆心 依题意 CA1O CA2O CA3O O CA1 CA2 CA3 CO 2 cos 2tan 设金属杆总长为 ym 则 6 102tan cos y 2 3sin 10 cos 0 2 2 A B C 3 A 1 A 2 2 3sin1 cos y 当时 当时 1 sin 3 0y 1 sin 3 0y 当时 函数有极小值 也是最小值 7 分