上海市各区县2015届高三数学上学期期末考试试题分类汇编-立体几何-理

1 上海市各区县上海市各区县 20152015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何立体几何 一 填空题 1 宝山区 2015 届高三上期末 正四棱锥的所有棱长均相等 是的中点 那ABCDP EPC 么异面直线与所成的角的余弦值等于 BEPA E C D P AB 2 崇明县 2015 届高三上期末 圆锥的底面半径为 3 高为 1 则圆锥的侧面积为 3 奉贤区 2015 届高三上期末 如图 在矩形中 为边的中点 ABCDEAD1AB 分别以 为圆心 为半径作圆弧 在线段上 由两圆弧 2BC AD1EBECEADEB 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周 则所形成的几何体的体积为 ECBCAD 4 虹口区 2015 届高三上期末 右图是正四面体的平面展开图 分别为MNG 的中点 则在这个正四面体中 与所成角的大小为 DEBEFE MNCG A B C NE GM DF 5 黄浦区 2015 届高三上期末 已知某圆锥体的底面半径 沿圆锥体的母线把侧面展开后3r 得到一个圆心角为的扇形 则该圆锥体的表面积是 2 3 6 嘉定区 2015 届高三上期末 若圆锥的侧面积是底面积的倍 则其母线与轴所成角的大小是4 结果用反三角函数值表示 7 金山区 2015 届高三上期末 如图所示 在长方体ABCD EFGH中 AD 2 AB AE 1 M为矩形 AEHD内的一点 如果 MGF MGH MG和平面EFG所成角的正切值为 那么点M到平面EFGH的 1 2 2 距离是 8 静安区 2015 届高三上期末 如图 在四棱锥中 已知底面 ABCDP PAABCD 底面是正方形 与底面所成角的大小为 则该四棱锥的体积是 1 PAABCDPCABCD 6 A B C D P 9 浦东区 2015 届高三上期末 如图 已知平面 PAABCABAC BCAP 分别是 的中点 则异面直线与所成角的大小为 30CBADEBCAPACDE P A B C D E 10 普陀区 2015 届高三上期末 如图 正三棱柱的底面边长为 体积为 则直线与23CB1 底面 所成的角的大小为 结果用反三角函数值表示 ABC 11 松江区 2015 届高三上期末 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 BC与平面ABCD所成的 角为60 则 1 BC与AC所成的角为 结果用反三角函数表示 3 12 徐汇区 2015 届高三上期末 若正四棱柱的底面边长为 高为 则异 1111 ABCDABC D 24 面直线与所成角的大小是 结果用反三角函数值表示 1 BDAD 13 长宁区 2015 届高三上期末 如图 圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆 则该圆锥的 母线与底面所成的角的大小是 二 选择题 1 奉贤区 2015 届高三上期末 在空间中 设 是不同的直线 是不同的平面 且mn 则下列命题正确的是 m n A 若 则 B 若 异面 则 平行nm mn C 若 相交 则 相交 D 若 则 mn nm 2 青浦区 2015 届高三上期末 设是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下面四ab 个命题中错误的是 A 若 则 B 若 则 ab ab b ab ab C 若 则 或 D 若 则 a a a a a 3 徐汇区 2015 届高三上期末 已知和是两条不同的直线 和是两个不重合的平面 mn 则下列给出的条件中一定能推出的是 m A 且 B 且 m m C 且 D 且nm n mn n 4 三 解答题 1 宝山区 2015 届高三上期末 如图 正四棱柱的底面边长 1111 DCBAABCD 2 AB 若异面直线与所成角的大小为 求正四棱AA1CB1 2 1 arctan 柱的体积 1111 DCBAABCD 第第 2626 题题 2 崇明县 2015 届高三上期末 如图 在四棱锥的底面梯形中 PABCD ABCDADBC 又已知平面 ABBC 1AB 3AD 45ADC PA ABCD1PA 求 1 异面直线与所成角的大小 PBCD 2 四棱锥的体积 PABCD P D C B A 3 奉贤区 2015 届高三上期末 如图 四棱锥的侧棱都相等 底面是正方形 PABCD ABCD 为对角线 的交点 求直线与面所成的角的大小 OACBDPOOA PAABCD 5 P A B C D O 4 虹口区 2015 届高三上期末 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥 且这两个 圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上 如图 已知圆锥底面面积是这个球面面积的 设球的 3 16 半径为 圆锥底面半径为 Rr 1 试确定与的关系 并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比 Rr 2 求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比 5 黄浦区 2015 届高三上期末 在长方体中 1111 ABCDABC D 1 4 3ABAABC 分别是所在棱的中点 点是棱上的动点 联结 如图所示 EF ABBC P 11 AB 1 EF AC 1 求异面直线所成角的大小 用反三角函数值表示 1 EFAC 2 理科 求以为顶点的三棱锥的体积 EFAP 6 嘉定区 2015 届高三上期末 如图 在直三棱柱中 111 CBAABC 90BAC A B O 1 O R r F C A E B A1 C1 B1 6 点 分别为棱与的中点 2 1 AAACABEFAC 11B A 1 1 求三棱锥的体积 11 EFCA 2 2 求异面直线与所成角的大小 CA1EF 7 金山区 2015 届高三上期末 如图 在四棱锥P ABCD的底面梯形ABCD中 AD BC AB BC AB 2 AD 3 ADC 45 已知PA 平面ABCD PA 1 求 1 异面直线PD与AC所成角的大小 结果用反三角函数值表示 2 三棱锥C APD的体积 8 静安区 2015 届高三上期末 如图 长方体中 1111 DCBAABCD 2 ADAB4 1 AA 点为面的对角线上的动点 不包括端点 平面交于点 P 11A ADD 1 AD PMABCDADM 于点 BDMN N 1 设 将长表示为的函数 xAP PNx 2 当最小时 求异面直线与所成角的大小 结果用反三角函数值表示 PNPN 11C A P D CB A 第 20 题图 A B C D A1 B1 C1 D1 P M N O A A S S B B 7 D C B A D1 A1 C1 B1 M 第 19 题图 9 浦东区 2015 届高三上期末 如图所示 圆锥的底面圆半径 其侧面展开图是一SO1 OA 个圆心角为的扇形 求此圆锥的体积 3 2 10 普陀区 2015 届高三上期末 如图 在两块钢板上打孔 用钉帽呈半球形 钉身为圆柱形的 铆钉 图 1 穿在一起 在没有帽的一端锤打出一个帽 使得与钉帽的大小相等 铆合的两块钢板 成为某种钢结构的配件 其截面图如图 2 单位 mm 加工中不计损失 1 若钉身长度是钉帽高度的 2 倍 求铆钉的表面积 2 若每块钢板的厚度为mm 求钉身的长度 结果精确到 mm 121 11 青浦区 2015 届高三上期末 如图所示 在长方体中 1111 ABCDABC D 2AB 2BC 为棱上一点 1 4CC M 1 CC 19 38 20 图图 1 38 12 12 19 20 图图 2 8 1 若 求异面直线和所成角的正切值 1 1C M 1 A M 11 C D 2 若 求证平面 1 2C M BM 11 AB M 12 松江区 2015 届高三上期末 沙漏是古代的一种计时装置 它由两个形状完全相同的容器和 一个狭窄的连接管道组成 开始时细沙全部在上部容器中 细沙通过连接管道全部流到下部容器所 需要的时间称为该沙漏的一个沙时 如图 某沙漏由上下两个圆锥组成 圆锥的底面直径和高均为 8cm 细沙全部在上部时 其高度为圆锥高度的 2 3 细管长度忽略不计 1 如果该沙漏每秒钟漏下 0 02cm3的沙 则该沙漏的一个沙时为多少秒 精确到 1 秒 2 细沙全部漏入下部后 恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆 求此锥形沙堆的高度 精 确到 0 1cm 13 徐汇区 2015 届高三上期末 如图所示 某传动装置由两个陀螺组成 陀螺之间没有滑 12 T T 动 每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成 每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥 底面半径的 且的轴相互垂直 它们相接触的直线与的轴所成角 若陀螺 1 3 12 T T 2 T 2 arctan 3 中圆锥的底面半径为 2 T 0r r 1 求陀螺的体积 2 T 2 当陀螺转动一圈时 陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点 求与之间的距 2 T 1 TP 1 PP 1 P h 2 3 h 9 离 14 杨浦区 2015 届高三上期末 如图 正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 异面直线 AD与 1 BC 所成角的大小为60 求 1 线段 1 A 1 B 到底面ABCD的距离 2 三棱椎 11 BABC 的体积 A1 A C1 C B1 B D1 D 15 长宁区 2015 届高三上期末 如图 三棱锥中 底面 若底面是ABCP PAABCABC 边长为 2 的正三角形 且与底面所成的角为 若是的中点 求 PBABC 3 MBC 1 三棱锥的体积 ABCP 2 异面直线与所成角的大小 结果用反三角函数值表示 PMAC M A B C P 10 参考答案 一 填空题 1 2 3 4 5 3 3 103 3 2 3 arccos 3 36p 6 7 8 9 10 4 1 arcsin 2 2 2 1 4 2 arccos7arctan 2 1 arctan 11 2 arccos 4 12 13 arctan5 0 60 二 选择题 1 C 2 D 3 C 三 解答题 1 所成的角 为CBAABCB BBAA 111 11 且 2 1 tan 1 BCB 4 分 2 BC 4 1 BB 6 分 16 shV 8 分 2 解 1 在梯形 ABCD 中 过 B 作 交 AD 于 E 则就是异面直线 PB 与 CD 所CDBE PBE 成角 计算得 AE AB 1 连 PE 则 AP AB AE 所以 即异面直线与所成角的大小为 3 PBEPDAC 3 11 2 BC 2 2 5 ABCD S ShV 3 1 6 5 3 为正方形 为 的中点 ABCD O ACBD 又 2 分 PAPC PBPDPOAC POBD 因为与交于一点 ACBDO 平面 4 分PO ABCD 为直线与平面所成的角 5 分PAO PAABCD 在 6 分Rt PAOPAPO 中 45PAO 所以直线与平面所成的角为 7 分PAABCD45 4 1 解 22 3 4 16 rR 3 2 rR 3 1VVhh 大小大小 2 解 2 22323 2 1143 3338 hr VVVr hr hRr hR RR 小 大小球大小小 5 解 1 联结 在长方体中 有 AC 1111 ABCDABC D ACEFA 又是直角三角形的一个锐角 1 CAC 1 ACC 就是异面直线所成的角 1 CAC 1 ACEF与 由 可算得 1 4 3ABAABC 22 5ACABBC 即异面直线所成角的大小为 1 1 4 tan 5 CC CAC AC 1 ACEF与 4 arctan 5 理 2 由题意可知 点到底面的距离与棱的长相等 PABCD 1 AA 1 1 3 P AEFAEF VSAA 1133 2 2222 AEF SAE BF 1 11 3 4 2 33 2 P AEFAEF VSAA 6 1 5 分 3 2 2 1 3 1 3 1 11111 111111 AAFACAAASVV FCAFCAEEFCA 参考答案只给出最后结果 如果结果错误 可视中间步骤适当给分 参考答案只给出最后结果 如果结果错误 可视中间步骤适当给分 2 取中点 联结 则 1 分 1 AAGEGFGEGCA1 12 所以 是异面直线与所成的角 或其补角 2 分 FEG CA1EF 在 中 4 分 EFG2 FGEG6 EF 所以 故 6 分 2 3 2 cos 222 EGEF FGEFEG FEG 6 FEG 所以 异面直线与所成角的大小为 7 分 CA1EF 6 7 解 1 过点C作CF AB交AD于点F 延长BC至E 使得CE AD 连接DE 则AC DE 所以 PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角 2 分 因为 ADC 45 所以FD 2 从而BC AF 1 且 DE AC AE PE PD 在 中 5202110PDE 10 23 cos PDE 所以 异面直线与所成角的大小PDAC为 8 分 10 23 arccos 2 因为VC APD VP ACD S ACD CF AD 3 2 1 PA 底面ABCD 三棱锥P ACD的高为PA 1 VP ACD S ACD PA 1 3 1 所以 三棱锥C APD的体积为 1 14 分 8 1 在 中 2 分 APM 5 52x PM 5 5x AM 其中 3 分 520 x 在 中 4 分 MND 5 5 2 2 2 xMN 在 中 6 分 PMN2 5 52 10 9 PN 2 xx 52 0 x 2 当时 最小 此时 8 分 9 52 x 52 0 PN 3 4 PN 因为在底面中 所以 又 为异面直ABCDBDACBM DNACMN ACCA 11 PNM 线与所成角的平面角 11 分 PN 11C A 在 中 为直角 所以 PMNPMN 4 2 tan PNM 4 2 arctan PNM P D CB A F E 13 异面直线与所成角的大小 或等 14 分 PN 11C A 4 2 arctan 3 1 arcsin 9 解 因为 所以弧长为 2 分1 OAAB 2 又因为 则有 所以 4 分 3 2 BSA 2 3 2 SA3 SA 在中 6 分SOARt 1 OA 22 hSOSAOA 22 所以圆锥的体积 8 分 3 22 3 1 2 hrV 10 设钉身的高为 钉身的底面半径为 钉帽的底面半径为 由题意可知 1 分hrR 1 圆柱的高 2 分382 Rh 圆柱的侧面积 3 分 rhS 2 1 760 半球的表面积 5 分 10834 2 1 22 2 RRS 所以铆钉的表面积 7 分 21 SSS2 mm 2 8 分 240024100 1 2 1 hrV 9 分 3 13718 19 3 2 3 4 2 1 33 2 RV 设钉身长度为 则lrV 2 3 10 分ll 100 由于 所以 12 分 213 VVV l 100 3 13718 2400 解得 13 分70 lmm 答 钉身的表面积为 钉身的长度约为 2 1843 mm mm70 11 解 1 由题意 得 1 分 111 1 2C MB CBC 111 BCC M 1 5B M 所以异面直线和所成角即为和所成角 3 分 1111 ABC D 1 A M 11 C D 1 A M 11 AB 长方体中 面 1111 ABCDABC D 1111111 ABBCABB B 11 AB 11 B BCC 故可得为锐角且 6 分 111 ABB M 11 B AM 1 11 11 5 tan 2 B M B AM B A 2 由题意 11 2BCBC 1 2C M 1 4CC 2CM 即 8 分 222 11 BBBMB M 1 90BMB 1 BMB M 又由面可得 10 分 11 AB 11 B BCC 11 ABBM 14 故平面 12 分BM 11 AB M 12 解 1 开始时 沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为 216 8 33 H 底面半径为 28 4 33 r 2 分 2 2 11816 3333 Vr H 39 71 5 分 198602 0 V 秒 所以 沙全部漏入下部约需 1986 秒 7 分 2 细沙漏入下部后 圆锥形沙堆的底面半径 4 9 分 设高为 H 2 11024 4 381 VH 12 分 64