二项式定理（高二（下）数学同步测试题）

高二 下 数学同步测试题 二项式 一 选择题 1 二项式 a b 2n的展开式的项数是 A 2n B 2n 1 C 2n 1 D 2 n 1 2 在 2x3 n n N 的展开式中 若存在常数项 则n的最小值是 1 x2 A 3 B 5 C 8 D 10 3 已知 2 x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 则a8等于 A 180 B 180 C 45 D 45 4 1 x 4n 1展开式中系数最大的项是 A 第 2n项 B 第 2n 1 项 C 第 2n和第 2n 1 项 D 第 2n 2 项 5 在的展开式中 只有第 5 项的二项式系数最大 则展开式中常数项是 n x x 1 2 3 A 7 B 7 C 28 D 28 6 在x 1 x 6的展开式中 含x3项的系数为 A 30 B 20 C 15 D 10 7 在 1 x3 1 x 10的展开式中 x5的系数是 A 297 B 252 C 207 D 207 8 若 x n的展开式的各项系数之和为 64 则展开式的常数项为 1 x A 10 B 20 C 30 D 120 9 设 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a9x9 则 a0 a1 a2 a9 的值为 A 29 B 49 C 39 D 59 10 若对于任意的实数 x 有 x3 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a3 x 2 3 则 a2的值为 A 3 B 6 C 9 D 12 11 设 1 x 8 a0 a1x a2x2 a8x8 则 a0 a1 a2 a8中奇数的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 12 x2 2 5的展开式的常数项是 1 x2 1 A 3 B 2 C 2 D 3 二 填空题 13 二项式 9的展开式中 x3的系数是 x 1 x 14 4的展开式中的常数项为 x 2 x 15 已知 1 ax 5 1 10 x bx2 a5x5 则b 16 已知 1 mx 6 a0 a1x a2x2 a6x6 若 a1 a2 a6 63 则实数 m 三 解答题 17 已知 1 x 8的展开式 求 1 二项式系数最大的项 2 系数最小的项 18 已知在 n的展开式中 第 6 项为常数项 3 x 1 23x 1 求n 2 求含x2项的系数 3 求展开式中所有的有理项 19 已知二项式的展开式中 前三项系数的绝对值成等差数列 n x x 2 1 3 3 1 求展开式的第四项 2 求展开式的常数项 20 已知 2x 3y 9 a0 x9 a1x8y a2x7y2 a9y9 求 1 各项系数之和 2 所有奇数项系数之和 3 系数绝对值的和 4 分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和 21 利用二项式定理证明 49n 16n 1 n N 能被 16 整除 22 已知 i 是虚数单位 x 0 n N n x i x 1 2 2 1 如果展开式中的倒数第 3 项的系数是 180 求 n 的值 2 对 1 中的 n 求展开式中系数为正实数的项 高二 下 数学同步测试题 二项式 1 B 解 根据二项式定理可知 展开式共有 2n 1 项 2 B 解 Tk 1 C 2x3 n k k 2n k Cx3n 5k 令 3n 5k 0 0 k n n k n 1 x2k n 的最小值为 5 3 A 解 a8 C 22 180 8 10 4 B 解 4n 1 为奇数 展开式中中间有两项 一正一负 故第 2n 1 项系数最 大 5 B 解 只有第 5 项的二项式系数最大 则展开式共 9 项 即 n 8 Tr 1 C 8 r r8 x 2 r C 1 r 8 r x8 r 当r 6 时为常数项 T7 7 1 3 x r8 1 2 4 3 6 C 只需求 1 x 6的展开式中含x2项的系数即可 而含x2项的系数为 C 15 2 6 7 C 解 x5应是 1 x 10中含x5项 含x2项分别与 1 x 3相乘的结果 其系数为 C C 1 207 5 102 10 8 B 解 由 2n 64 得n 6 Tk 1 Cx6 k k Cx6 2k 由 6 2k 0 得 k6 1 xk6 k 3 T4 C 20 3 6 9 B 解 判断a0 a2 a4 a8为正 a1 a3 a5 a9为负 故令x 1 即 可 10 B 解 设 x 2 t 则 x t 2 原式化为 2 t 3 a0 a1t a2t2 a3t3 a2 C 2 6 故选 B 2 3 11 A 解 a0 C 1 a1 C 8 a2 C 28 a3 C 56 a4 C 70 a8 C 0 81 82 83 84 88 8 1 12 D 解 第一个因式取 x2 第二个因式取含的项得 1 C 1 4 5 第一个因 1 x24 5 式取 2 第二个因式取常数项得 2 1 5 2 故展开式的常数项是 5 2 3 13 答案 84 解 由Tr 1 Cx9 r r C x9 2r知 9 2r 3 解得 r 3 系数为 C 84 r9 1 x r93 9 14 答案 24 解 Tr 1 Cx4 r r C 2 r x4 2r 令 4 2r 0 r 2 常数项为 r4 2 x r4 T3 C 2 2 24 2 4 15 答案 40 解 根据题意知 二项展开式的第二项为 C ax 10 x 1 5 a 2 第三项为 C ax 2 bx2 即b 40 2 5 16 答案 1 或 3 解 由题设知 a0 1 令 x 1 得 a0 a1 a2 a6 1 m 6 即 1 m 6 64 故 1 m 2 m 1 或 3 17 解 1 因为 1 x 8的幂指数 8 是偶数 所以由二项式系数的性质知 中间一项 即第 5 项 的二项式系数最大 该项为T5 C x 4 70 x4 4 8 2 二项展开式系数的最小值应在各负项中确定 由题意知第 4 项和第 6 项系数 相等且最小 分别为T4 C x 3 56x3 T6 C x 5 56x5 3 85 8 18 解 1 通项公式为Tr 1 Cx rx r n n r 3 1 2 r 3 C rx 第 6 项为常数项 r 5 时 有 0 即n 10 r n 1 2 n 2r 3 n 2r 3 2 令 2 得r n 6 2 所求的系数为 C 2 n 2r 3 1 22 10 1 2 45 4 3 根据通项公式 由题意得Error 令 k k Z 10 2r 3 则 10 2r 3k 即r 5 k r Z k应为偶数 k可取 2 0 2 3 2 即r可取 2 5 8 第 3 项 第 6 项与第 9 项为有理项 它们分别为 C 2x2 C5 C8x 2 2 10 1 2 5 10 1 2 8 10 1 2 19 解 因为第一 二 三项系数的绝对值分别为 C 所以 0 n C1 n 2 C2 n 4 C 2 即 n2 9n 8 0 n 2 解得 n 8 0 n C2 n 4 C1 n 2 1 第四项 T4 C 5 3 7x 3 8 3 x 1 2 3x 2 3 2 通项公式为 Tk 1 C 8 k k C k 8 2k k 8 3 x 1 2 3xk 8 1 2 3 x C kx 令 0 得 k 4 k 8 1 2 8 2 3 k 2k 8 3 所以展开式中的常数项为 T5 C 4 4 8 1 2 35 8 20 解 1 令x 1 y 1 得 a0 a1 a2 a9 2 3 9 1 2 由 1 知 a0 a1 a2 a9 1 令x 1 y 1 可得a0 a1 a2 a9 59 将两式相加 可得a0 a2 a4 a6 a8 59 1 2 3 法一 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a3 a9 令x 1 y 1 则 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a3 a9 59 法二 a0 a1 a2 a9 即为 2x 3y 9的展开式中各项的系数和 令x 1 y 1 得 a0 a1 a2 a9 59 4 奇数项的二项式系数之和为 C C C 28 0 92 98 9 偶数项的二项式系数之和为 C C C 28 1 93 99 9 21 证明 49n 16n 1 48 1 n 16n 1 C 48n C 48n 1 C 48 C 16n 1 0 n1 nn 1nn n 16 C 3 48n 1 C 3 48n 2 C 3 n 0 n1 nn 1n 49n 16n 1 能被 16 整除 22 解 1 由已知 得 C 2i 2 180 即 4C