第5、6章--作业解题参考

化工传递过程导论化工传递过程导论 作业解题参考作业解题参考 第第 5 章章 热量传递及其微分方程热量传递及其微分方程 1 某不可压缩的黏性流体层流流过与其温度不同的无限宽度的平板壁面 设流动为定态 某不可压缩的黏性流体层流流过与其温度不同的无限宽度的平板壁面 设流动为定态 壁温及流体的密度 黏度等物理性质恒定 试由方程壁温及流体的密度 黏度等物理性质恒定 试由方程 5 13a 出发 简化上述情况的能出发 简化上述情况的能 量方程 并说明简化过程的依据 量方程 并说明简化过程的依据 解 解 课本 5 13a 式如下 222 222 xyz TTTTTTT uuu txyzxyz 由题意可知 定态流动 在直角坐标系中 三维方向对应长 宽 高 0 T t 题中 无限宽度的平板壁面 则可认为是在宽这个维度上无限 姑且设定此方向 垂直于纸面且为 z 方向 故可认为题意所指流动过程为二维流动 且 且0 z u 2 2 00 TT zz 则 5 13a 式可简化为 22 22 xy TTTT uu xyxy 如果引入热边界层概念 则基于尺度和量级的考虑 可进一步简化上式为 2 2 xy TTT uu xyy 其中 y 方向为垂直主流方向 x 的距壁面的距离 第第 6 章章 热传导热传导 1 用平底锅烧开水 与水相接触的锅底温度为用平底锅烧开水 与水相接触的锅底温度为 111 热流通量为 热流通量为 42400W m2 使用一 使用一 段时间后 锅底结了一层平均厚度为段时间后 锅底结了一层平均厚度为 3mm 的水垢 假设此时与水相接触的水垢的表面的水垢 假设此时与水相接触的水垢的表面 温度及热流通量分别等于原来的值 试计算水垢与金属锅底接触面的温度 水垢的导温度及热流通量分别等于原来的值 试计算水垢与金属锅底接触面的温度 水垢的导 热系数取为热系数取为 1 W m K 解 解 由题意可以想见 原来无水垢时是对流传热 结垢后垢层中为导热 此时定态 一维平板的传热通量为 1S qk TT Ab 其中 b 为垢层的厚度 T1为水垢与金属锅底接触面的温度 未知 TS为与水相接 触的垢层表面温度 因此可得 1S qb TT A k 3 1 3 10 11142400 1 T 1 238 2oTC 故得出水垢与金属锅底接触面的温度为238 2oC 2 有一管道外径为有一管道外径为 150mm 外表面温度为 外表面温度为 180 包覆矿渣棉保温层后外径为 包覆矿渣棉保温层后外径为 250mm 已知矿渣棉的导热系数已知矿渣棉的导热系数W m K T 单位为单位为 保温层外表面温度 保温层外表面温度0 0640 000144kT 为为 30 试求包有保温层后管道的热损失 试求包有保温层后管道的热损失 解 解 本题考虑对象为保温层 其中为定态 一维筒壁 无内热源导热问题 可 以有多种解法 与书中讨论不同的是 导热系数并非常数 而是随温度变化 首先 形式上 将题给导热系数写作 0 1 0 064 1 0 00225kktt 以下分别给出几种解法 第一解法 精确解第一解法 精确解 定态下 传热速率为常数 也即 单层圆筒壁热传导 0 11 0 2 1 2 1 2 dt krLqConst dr dt ktrLq dr drq t dtCC rkL 不定积分一次得 2 12 11 22 ln 2 0 15 180 0 25 30 O O ttCrC rm tC rm tC 利用边界条件确定积分常数 6 ln ln 2 2 5 ln 2 4 ln 2 3 ln 2 1 2 1 2 2 2 121 2 112 2 1 2 2 2 121 1 221 2 22 211 2 11 r r r tttt ttC r r tttt C CrCtt CrCtt 所以单位管长的传热速率或热损失为 所以单位管长的传热速率或热损失为 0 22 1212 0 1 2 2 21 2 2 qdt rk Ldr dt k t r dr tt tt k r ln r 22 0 00225 1803018030 2 20 064 0 15 0 25 145 98 J s m 145 98 W m q L ln 第二解法 精确解第二解法 精确解 1a Const dr dt rLkq 2 1b 0 dr dt kr dr d 1c 0 11 22 1 0 0 15 180 0 25 30 O O ddt ktr drdr rm tC rm tC 积分两次 2a 1 1 C dr dt rt 2b rdCttdln 2 1 2 2c 21 2 ln 2 CrCtt 可得与第一解法同样的结果 第三解法 无内热源固体圆筒壁的一维稳态热传导问题第三解法 无内热源固体圆筒壁的一维稳态热传导问题 取导热系数近似为常数 对应保温层的平均温度 故导热系数 o 18030 105 C 2 T 为 0 0640 000144kT 0 0640 000144 105k W 0 07912 m K k 故而 计算每米管长的热损失 可得 03 3 0 220 07912 W 18030 145 98 m 250 10 ln ln 150 10 i i qk TT r L r 3 有一具有均匀内热源的平板 其发热速率有一具有均匀内热源的平板 其发热速率 1 2 106J m3 s 平板厚度 平板厚度 x 方向 为方向 为 q 0 4m 已知平板内只进行 已知平板内只进行 x 方向上的一维定态导热 两端面温度维持方向上的一维定态导热 两端面温度维持 70 平均温度 平均温度 下的导热系数下的导热系数W m K 求距离平板中心面 求距离平板中心面 0 1m 处的温度值 处的温度值 377 k 解 解 方法方法 1 由题意 有均匀内热源的平板一维 定态热传导 控制方程为 2 2 0 Tq xk 设定平板中心为坐标原点 可得到边界层条件 0 2xm 70oTC 0 2xm 70oTC 且 6 3 2 1 2 10 3 183 10 377 q k m k 对原式积分 并代入边界条件 可得 32 1 592 10 133 68Tx 距平板中心处的温度为0 1m 32 1 592 10 0 1133 68117 76oTC 方法方法 2 0 0 0 0 2 70343 s t x x xLm ttCK 件件件件件件件 积分控制方程 1 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 22 2 2 21 2 11 Lx k Lq tt Lx k Lq Lxkqtt C L kqt CxC x kqt CCxkq dx dt s s s 62 20 1 2 100 20 1 343 1 391K117 76 C 2 3770 2 t 本题的温度分布如下所示 习题7 4图示 70 90 110 130 150 0 2 0 100 10 2 x m t 0C 2 选作 选作 假定人对冷热的感觉是以皮肤表面的热损失作为衡量依据 设人体脂肪层的假定人对冷热的感觉是以皮肤表面的热损失作为衡量依据 设人体脂肪层的 厚度为厚度为 3mm 其内表面温度为 其内表面温度为 36 且保持不变 在冬天的某一天气温为且保持不变 在冬天的某一天气温为 15 无风 无风 条件下裸露皮肤表面与空气的对流传热系数为条件下裸露皮肤表面与空气的对流传热系数为 25W m2 K 有风时 表面对流传热系 有风时 表面对流传热系 数为数为 65W m2 K 人体脂肪层的导热系数 人体脂肪层的导热系数 k 0 2W m K 试确定 试确定 a 要使无风天的感觉与有风天气温要使无风天的感觉与有风天气温 15 时的感觉一样 则无风天气温是多少 时的感觉一样 则无风天气温是多少 b 在同样是在同样是 15 的气温下 无风和刮风天 人皮肤单位面积上的热损失之比是多少 的气温下 无风和刮风天 人皮肤单位面积上的热损失之比是多少 解 解 a 此处 基本为对象是 人体皮下为脂肪层 层内传热为导热 体外或体表之 外暴露在流动的空气中 紧邻表面之上为对流传热 上述导热和对流传热为串联过程 在 定态下 如空气流动相对平稳且气温也相对稳定 两种过程速率相等 作为近似 取各层 为平板 传热均为一维 对脂肪层内的导热 已知传热速率为 6 5 1S kA qTT L 其中 L 为脂肪层的厚度 T1为脂肪层的内表面温度 TS为脂肪层的外表面或人体的体 表温度 未知 为计算体表温度 可利用题给条件 即有风天 气温为 15 此处称情 形或 Case 1 下的对流传热速率与脂肪层内导热速率相等 也即 111101 SS kA TTh TT L 其中 T01为对应的气温 所以 1 1 3 36 0 265 15 3 10 S S T T 故体表温度 由上述计算也可见 热损失相等 也即热通量相等 因之只需 o 1 10 82 C S T 保证体表温度一致即可 式 6 5 所以 无风条件下 此处称情形或 Case 2 的气温满足 如下关系 11012202 SS h TTh TT 1 022101 2 SS h TTTT h 利用条件可以求得 o 21 10 82 C SS TT 02 56 315oTC b 由题意可知 外界温度同为 15 但有风和无风两种情形下对流传热系数不 同 所以相应的传热速率不同 继而体表温度也不同 基本的关系是导热和对流传热速率 相等 所以两种情形下分别有 111101 SS kA TTh TT L 121202 SS kA TTh TT L 但此时 因此在情形 1 有风 下 o 0102 15 CTT 1 1 3 36 0 265 15 3 10 S S T T 解得 o 1 10 82 C S T 同理可得情形 2 无风 下 故 无风和有风两种条件下的热损失之比为 o 2 22 09 C S T 22022 11101 S S h TTq qh TT 2 1 25 22 091 15 65 18 023 15 q q 2 1 0 552 q q 3 选作 选作 傅里叶场方程在圆柱坐标系的表达式是傅里叶场方程在圆柱坐标系的表达式是 2 2 2 2 22 2 11 z TT rr T rr T t T a 对于定态下的径向传热 这个方程可简化成什么形式 对于定态下的径向传热 这个方程可简化成什么形式 b 对边界条件 在对边界条件 在 r ri时 时 T Ti 在 在 r ro时 时 T To 从从 a 所得的结果方程出发 求温度分布曲线的方程式 所得的结果方程出发 求温度分布曲线的方程式 c 根据根据 b 的结果求出传热速率表达式 的结果求出传热速率表达式 解 解 a 柱坐标系下的傅里叶方程为 1 222 2222 11TTTTT trrrrz 定态 径向传热 为一维导热 故 原方程可简0 T t 2 2 0 T 2 2 0 T z 化为 2 2 2 1 0 TT rrr b