2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§5

知识点一 空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量长度为 0 的向量0 单位向量模为 1 的向量 相等向量方向相同且模相等的向量a b 相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量 a 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a b 共面向量平行于同一个平面的向量 知识点二 共线向量 共面向量定理和空间向量基本定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量 a b b 0 a b 的充要条件是存在实数 使 a b 推论 如图所示 对空间任意一点 O 点 P 在 l 上的充要条件是存在实数 t 使 ta OP OA 其中 a 叫做直线 l 的方向向量 在 l 上取 a 则 可化为 t AB OP OA AB 2 共面向量定理的向量表达式 p xa yb 其中 x y R a b 为不共线向量 推论的表达式为 x y或对空间 AP AB AC 任意一点 O 有 x y或 x y z 其中 x y z 1 OP OA AB AC OP OA OB OC 3 空间向量基本定理 如果三个向量 a b c 不共面 那么对空间任一向量 p 存在有序实数组 x y z 使得 p xa yb zc 把 a b c 叫做空间的一个基底 知识点三 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 1 两向量的夹角 已知两个非零向量 a b 在空间任取一点 O 作 a b 则 AOB 叫做向量 a 与 OA OB b 的夹角 记作 a b 其范围是 0 a b 如果 a b 那么向量 a b 互相 2 垂直 记作 a b 2 两向量的数量积 已知两个非零向量 a b 则 a b cos a b 叫做 a b 的数量积 记作 a b 即 a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 1 a b a b 2 交换律 a b b a 3 分配律 a b c a b a c 知识点四 空间向量的坐标运算 设 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 1 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 2 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 3 a a1 a2 a3 4 a b a1b1 a2b2 a3b3 5 若 a b 为非零向量 则 a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 6 若 b 0 则 a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 7 a a aa2 1 a2 2 a2 3 8 cos a b a b a b a1b1 a2b2 a3b3 a2 1 a2 2 a2 3 b2 1 b2 2 b2 3 9 若 A a1 a2 a3 B b1 b2 b3 则 b1 a1 b2 a2 b3 a3 dAB AB AB b1 a1 2 b2 a2 2 b3 a3 2 知识点五 立体几何中的向量方法 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一非零向量即可作为它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程组求出 设 a b 是平面 内两不共线向量 n 为平面 的法向 量 则求法向量的方程组为Error 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2 则 l1 l2 或 l1与 l2重合 v1 v2 2 设直线 l 的方向向量为 v 与平面 共面的两个不共线向量为 v1和 v2 则 l 或 l 存在两个实数 x y 使 v xv1 yv2 3 设直线 l 的方向向量为 v 平面 的法向量为 u 则 l 或 l v u 4 设平面 和 的法向量分别为 u1 u2 则 u1 u2 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2 则 l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 2 设直线 l 的方向向量为 v 平面 的法向量为 u 则 l v u 3 设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2 则 u1 u2 u1 u2 0 4 空间向量与空间角的关系 1 设异面直线 l1 l2的方向向量分别为 m1 m2 则 l1与 l2所成的角 满足 cos cos m1 m2 2 设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m n 则直线 l 与平面 所成角 满足 sin cos m n 3 求二面角的大小 如图 所示 AB CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线 则二面角的大小 AB CD 如图 所示 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的 大小 满足 cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 题型一 空间向量及其运算 例 1 已知空间中三点 A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设 a b AB AC 1 求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值 2 若 ka b 与 ka 2b 互相垂直 求实数 k 的值 解 1 a 1 1 0 b 1 0 2 AB AC a b 1 1 1 0 0 2 1 又 a 12 12 022 b 1 2 02 225 cos a b a b a b 1 2 5 10 10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 10 10 2 ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 ka b ka 2b k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 2k2 k 10 0 k 或 k 2 5 2 感悟与点拨 1 空间向量的运算法则及求解思想与平面向量相同 因此 可参照平面向量 的运算法则和求解思想进行处理 2 空间向量的问题可通过坐标运算和非坐标的线性运算两种途径来处理 另外 要抓住垂 直与平行两种特殊位置关系 跟踪训练 1 1 2018 年 4 月学考 在三棱锥 O ABC 中 若 D 为 BC 的中点 则等于 AD A 1 2OA 1 2OC OB B 1 2OA 1 2OB OC C 1 2OB 1 2OC OA D 1 2OB 1 2OC OA 2 2016 年 4 月学考 已知空间向量 a 2 1 5 b 4 2 x x R 若 a b 则 x 等 于 A 10 B 2 C 2 D 10 3 已知向量 a 1 2 3 b x x2 y 2 y 并且 a b 同向 则 x y 的值分别为 答案 1 C 2 C 3 1 3 解析 2 a b a b 2 4 1 2 5x 0 得 x 2 3 a b x 1 x2 y 2 2 y 3 解得Error 或Error 当Error 时 a b 不符合要求 舍去 1 2 当Error 时 a b 符合要求 Error 题型二 利用空间向量证明平行与垂直 例 2 如图所示 已知在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 为等腰直角三角形 BAC 90 且 AB AA1 D E F 分别为 B1A C1C BC 的中点 求证 1 DE 平面 ABC 2 B1F 平面 AEF 证明 1 如图建立空间直角坐标系 Axyz 令 AB AA1 4 则 A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 设 AB 的中点为 N 连接 CN 则 N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 2 4 0 2 4 0 DE NC DE NC DE NC 又 NC 平面 ABC DE 平面 ABC DE 平面 ABC 2 2 2 4 2 2 2 B1F EF 2 2 0 AF 2 2 2 2 4 2 0 B1F EF 2 2 2 2 4 0 0 B1F AF 即 B1F EF B1F AF B1F EF B1F AF 又 AF FE F AF FE 平面 AEF B1F 平面 AEF 感悟与点拨 1 用向量证明线面平行的方法 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 2 用向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证明它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表 示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 跟踪训练 2 在四棱锥 P ABCD 中 PD 底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形 PD DC E F 分别是 AB PB 的中点 1 求证 EF CD 2 在平面 PAD 内求一点 G 使 GF 平面 PCB 并证明你的结论 1 证明 如图所示 以 DA DC DP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz 设 AD a 则 D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 E a a 2 0 P 0 0 a F a 2 a 2 a 2 0 a 0 EF a 2 0 a 2 DC 0 0 a 0 0 EF DC a 2 a 2 即 EF CD EF DC 2 解 点 G 为 AD 的中点 证明如下 设 G x 0 z 则 FG x a 2 a 2 z a 2 若使 GF 平面 PCB 则由 a 0 0 FG CB x a 2 a 2 z a 2 a 0 得 x x a 2 a 2 由 0 a a FG CP x a 2 a 2 z a 2 a 0 得 z 0 a2 2 z a 2 点 G 的坐标为 即点 G 为 AD 的中点 a 2 0 0 题型三 利用空间向量求空间角 例 3 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD M 为 DC 的中点 将 DAM 沿 AM 折 22 到 D AM 的位置 AD BM 1 求证 平面 D AM 平面 ABCM 2 若 E 为 D B 的中点 求二面角 E AM D 的余弦值 1 证明 由题意知 在矩形 ABCD 中 AMD BMC 45 所以 AMB 90 即 AM BM 又 D A BM D A AM A D A AM 平面 AD M 所以 BM 平面 D AM 又 BM 平面 ABCM 所以平面 ABCM 平面 D AM 2 解 由 1 知 在平面 D AM 内过 M 作直线 NM MA 则 NM 平面 ABCM 故以 M 为原点 分别为 x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 MA MB MN 则 M 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 D 1 0 1 于是 E 1 2 1 1 2 2 0 0 MA ME 1 2 1 1 2 设平面 EAM 的法向量为 m x y z 则Error 令 y 1 得 z 2 则平面 EAM 的一个法向量 m 0 1 2 显然平面 D AM 的一个法向量为 n 0 1 0 故 cos m n 1 5 由图知 二面角为锐角 即二面角 E AM D 的余弦值为 5 5 感悟与点拨 1 用向量方法求两条异面直线所成的角 是通过两条直线的方向向量的夹角 来求解 2 用向量法求线面角 是通过直线的方向向量和平面的法向量来求解 3 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个 平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝 角 跟踪训练 3 1 如图 在四棱锥 P ABCD 中 四边形 ABCD 为平行四边形 且 BC 平面 PAB PA AB M 为 PB 的中点 PA AD 2 若 AB 1 则二面角 B AC M 的余弦值为 A B C D 6 6 3 6 2 6 1 6 答案 A 解析 因为 BC 平面 PAB AD BC 所以 AD 平面 PAB PA AD 又 PA AB 且 AD AB A AD AB 平面 ABCD 所以 PA 平面 ABCD 以点 A 为坐标原点 分别以 AD AB AP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标 系 Axyz 则 A 0 0 0 C 2 1 0 P 0 0 2 B 0 1 0 M 0 1 2 1 所以 2 1 0 AC AM 0 1 2 1 求得平面 AMC 的一个法向量 n 1 2 1 又平面 ABC 的一个法向量 0 0 2 AP 所以 cos n AP n AP n AP 2 1 4 1 2 1 6 6 6 所以二面角 B AC M 的余弦值为 6 6 2 如图所示 在四面体 ABCD 中 AB BC BD 两两垂直 AB BC BD 4 E F 分别 为棱 BC AD 的中点 求 异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值 点 E 到平面 ACD 的距离 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值 解 如图所示 分别以直线 BC BD BA 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则各相关点的坐标为 A 0 0 4 B 0 0 0 C 4 0 0 D 0 4 0 E 2 0 0 F 0 2 2 0 0 4 AB 2 2 2 EF cos AB EF 8 4 2 3 3 3 异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值为 3 3 设平面 ACD 的一个法向量为 n x y 1 4 0 4 4 4 0 AC CD 则Error 即Error x y 1 n 1 1 1 F 平面 ACD 2 2 2 EF 点 E 到平面 ACD 的距离为 d n EF n 2 3 2 3 3 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值为 cos n EF 2 3 2 3 1 3 题型四 立体几何中的探索性问题 例 4 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 1 底面 ABCD 的周长为 4 1 当长方体 ABCD A1B1C1D1的体积最大时 求直线 BA1与平面 A1CD 所成的角 2 线段 A1C 上是否存在一点 P 使得 A1C 平面 BPD 若存在 求出 P 点的位置 若不存 在 请说明理由 解 1 根据题意 令 AB t 则长方体的体积为 V t 2 t 1 t 2 t 2 1 t 2 t 2 当且仅当 t 2 t 即 t 1 时体积 V 有最大值为 1 所以当长方体 ABCD A1B1C1D1的体积最大时 底面四边形 ABCD 为正方形 又 AA1 1 所以 ABCD A1B1C1D1为正方体 如图 连接 B1C 取 B1C 的中点 O 连接 BO A1O 由题意知 CD 平面 C1B1BC 所以 BO CD 在等腰 Rt B1BC 中 BO B1C 又 B1C CD C B1C CD 平面 A1B1CD 所以 BO 平面 A1B1CD 即 BA1O 就是直线 BA1与平面 A1CD 所成的角 又 BO BA1 所以 BA1O 30 2 22 即长方体 ABCD A1B1C1D1的体积最大时 直线 BA1与平面 A1CD 所成的角为 30 2 根据题意可知 AA1 AB AD 两两垂直 以 AB 为 x 轴 AD 为 y 轴 AA1为 z 轴 建立 如图所示的空间直角坐标系 根据题意及 1 可得 B t 0 0 C t 2 t 0 D 0 2 t 0 若线段 A1C 上存在一点 P 满足要求 不妨设 可得 P t 2 t 1 A1P A1C t t 2 t 1 t 2 t 0 BP BD t 2 t 1 A1C Error 即Error 解得 t 1 2 3 即只有当底面四边形是正方形时才存在符合要求的点 P 位置是线段 A1C 上 A1P PC 2 1 处 感悟与点拨 对于立体几何中的探索性问题 可以凸显坐标方法的优势 通常从假设存在入 手 利用空间向量坐标建立方程 然后按部就班求解 跟踪训练 4 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1C1C 是边长为 4 的正方形 平面 ABC 平面 AA1C1C AB 3 BC 5 1 求证 AA1 平面 ABC 2 求二面角 A1 BC1 B1的余弦值 3 在线段 BC1上是否存在一点 D 使得 AD A1B 若存在 求的值 若不存在 请说 BD BC1 明理由 1 证明 在正方形 AA1C1C 中 A1A AC 又 平面 ABC 平面 AA1C1C 且平面 ABC 平面 AA1C1C AC AA1 平面 AA1C1C AA1 平面 ABC 2 解 在 ABC 中 AC 4 AB 3 BC 5 BC2 AC2 AB2 AB AC 以 A 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 则 A1 0 0 4 B 0 3 0 C1 4 0 4 B1 0 3 4 4 0 0 A1C1 0 3 4 4 3 0 0 0 4 A1B B1C1 BB1 设平面 A1BC1的法向量 n1 x1 y1 z1 平面 B1BC1的法向量 n2 x2 y2 z2 Error 即Error 可取向量 n1 0 4 3 由Error 即Error 可取向量 n2 3 4 0 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 16 5 5 16 25 由题意知二面角 A1 BC1 B1为锐角 二面角 A1 BC1 B1的余弦值为 16 25 3 解 假设在线段 BC1上存在一点 D 使 AD A1B 设 D x y z 是直线 BC1上一点 且 BD BC1 x y 3 z 4 3 4 解得 x 4 y 3 3 z 4 4 3 3 4 AD 又 AD A1B 0 3 3 3 16 0 则 9 25 BD BC1 9 25 一 选择题 1 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 若 a b c 则等于 CA CB CC1 A1B A a b c B a b c C a b c D a b c 答案 D 解析 如图所示 连接 A1C 则在 A1CB 中 有 b a c a b c A1B CB CA1 CB CC1 CA 2 若向量 a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 满足条件 c a 2b 2 则 x 的值为 A 4 B 2 C 4 D 2 答案 D 解析 a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 c a 0 0 1 x 2b 2 4 2 c a 2b 2 1 x 2 x 2 3 已知 A 2 3 1 B 2 6 2 C 1 4 1 则向量与的夹角为 AB AC A 45 B 90 C 30 D 60 答案 D 解析 A 2 3 1 B 2 6 2 C 1 4 1 0 3 3 1 1 0 AB AC 0 1 3 1 3 0 3 AB AC 且 3 AB 2 AC 2 cos AB AC AB AC AB AC 3 3 2 2 1 2 与的夹角为 60 AB AC 4 已知 a 2 1 3 b 4 2 x c 1 x 2 若 a b c 则 x 等于 A 4 B 4 C D 6 1 2 答案 B 解析 a b c a b c 0 又 a b 2 1 x 3 2 1 1 x x 3 2 0 解得 x 4 故选 B 5 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 A1C1与 B1D1的交点 若 a b c 则下列向量中与相等的向量是 AB AD AA1 BM A a b c B a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a b c D a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 A 解析 由题意 得 BM BC CC1 C1M BC CC1 1 2C1A1 BC CC1 1 2 AB BC a b c 1 2AB 1 2BC CC1 1 2 1 2 6 若直线 l 的方向向量为 a 1 0 2 平面 的法向量为 n 2 0 4 则 A l B l C l D l 与 相交但不垂直 答案 B 解析 a 1 0 2 n 2 0 4 n 2a a n l 7 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2 AD 1 点 E F G 分别是 DD1 AB CC1的中点 则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是 A B 15 5 2 2 C D 0 10 5 答案 D 解析 以 的方向为 x y z 轴正方向 建立空间直角坐标系 图略 DA DC DD1 则可得 A1 1 0 2 E 0 0 1 G 0 2 1 F 1 1 0 1 0 1 1 1 1 A1E GF 设异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 则 cos cos 0 A1E GF 8 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a 点 M 在 AC1上且 N 为 B1B 的中点 AM 1 2MC1 则 为 MN A a B a 21 6 6 6 C a D a 15 6 15 3 答案 A 解析 以 D 为原点 分别以 DA DC DD1所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz 则 A a 0 0 C1 0 a a N a a a 2 设 M x y z 因为点 M 在 AC1上且 AM 1 2MC1 所以 x a y z x a y a z 1 2 所以 x a y z 2 3 a 3 a 3 所以 M 2a 3 a 3 a 3 所以 a MN a 2a 3 2 a a 3 2 a 2 a 3 2 21 6 9 在平行四边形 ABCD 中 AB AC 1 ACD 90 将它沿对角线 AC 折起 使 AB 和 CD 成 60 角 如图 则 B D 间的距离为 A 1 B 2 C D 2 或 22 答案 D 解析 因为 ACD 90 所以 0 AC CD 同理 0 BA AC 因为 AB 和 CD 成 60 角 所以 60 或 120 BA CD 因为 BD BA AC CD 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 BD BA AC CD BA CD BA AC AC CD BA AC CD BA CD 2 1 1 cos 3 2cos 60 或 3 2cos 120 BA CD 所以 2 或 BD 2 即 B D 间的距离为 2 或 故选 D 2 10 如图 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直 且 AC BC 2 ACB 90 F G 分别是线段 AE BC 的中点 则 AD 与 GF 所成角的余弦 值为 A B 3 6 3 6 C D 3 3 3 3 答案 A 解析 如图 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直 且 AC BC 2 ACB 90 DC AC 平面 ACDE 平面 ACB AC DC 平面 ACDE 所以 DC 平面 ABC F G 分别是线段 AE BC 的中点 以 C 为原点建立空间直角坐标系如图所示 则 A 0 2 0 B 2 0 0 D 0 0 2 G 1 0 0 F 0 2 1 所以 0 2 2 1 2 1 AD GF 所以 2 2 AD 2 GF 6 AD GF 所以 cos AD GF AD GF AD GF 3 6 则直线 AD 与 GF 所成角的余弦值为 故选 A 3 6 二 填空题 11 已知 O 为空间任一点 A B C D 四点满足任意三点不共线 但四点共面 且 2x 3y 4z 则 2x 3y 4z 的值为 OA BO CO DO 答案 1 解析 由题意知 A B C D 共面的充要条件是 对空间任意一点 O 存在实数 x1 y1 z1 使得 x1 y1 z1且 x1 y1 z1 1 因此 2x 3y 4z 1 OA OB OC OD 12 已知向量 a 2 1 3 b 4 2 x 若 a b 则 x 若 a b 则 x 答案 6 10 3 13 设 O 为坐标原点 向量 1 2 3 2 1 2 1 1 2 点 Q 在直线 OP 上运 OA OB OP 动 则当 取得最小值时 点 Q 的坐标为 QA QB 答案 4 3 4 3 8 3 解析 设 2 故 Q 2 OQ OP 故 1 2 3 2 2 1 2 2 QA QB 则 6 2 16 10 6 2 QA QB 4 3 2 3 当 取最小值时 QA QB 4 3 此时 Q 点的坐标为 4 3 4 3 8 3 14 如图 PA 平面 ABC AC BC PA AC 1 BC 则二面角 A PB C 的余弦 2 值为 答案 3 3 解析 如图所示 建立空间直角坐标系 则 C 0 0 0 A 1 0 0 P 1 0 1 B 0 0 2 0 0 1 1 1 0 0 AP PB 2 CB 2 设平面 ABP 的法向量为 m x1 y1 z1 平面 PBC 的法向量为 n x2 y2 z2 则Error 即Error Error 令 y1 1 得 m 1 0 2 由Error 即Error Error 令 z2 1 得 n 1 0 1 cos m n 2 2 3 3 3 由题意可知 所求二面角的平面角是锐角 故