浅谈数学模型与小学数学解决问题

数学模型与小学数学解决问题数学模型与小学数学解决问题 余忠勇 贵州省遵义市正安县第三完全小学 563400 摘 要 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径 构建数学模型有 助于快速 准确地掌握知识的核心 准确地解决典型类应用题 以促进学生建立起科学的数学观 提 高其数学学习兴趣 本文以植树问题 鸡兔同笼问题的数学模型的建立作出例证 谈谈数学模型思想 的建构和在实际生活解题中的应用 关键词 植树问题 鸡兔同笼 数学模型 在小学阶段 典型应用题如植树问题 鸡兔同笼问题 抽屉原理问题等 无疑是学生 在学习中的难点 易错问题 有效地帮助学生建立数学模型 发展数学模型思想是解决此 类问题的关键 义务教育数学课程标准 2011 年版 指出 模型思想的建立是学生体会和理解数 学与外部世界联系的基本途径 建立和求解模型的过程包括 从现实生活或具体情境中抽 象出数学问题 用数学符号建立方程 不等式 函数等表示数学问题中的数量关系和变化 规律 求出结果并讨论结果的意义 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想 提高 学习数学的兴趣和应用意识 下面 我就以植树问题 鸡兔同笼问题为例 谈谈数学模型的建立与此类应用题的解 题 一 植树问题 植树问题通常是指沿着一定的路线植树 这条路线的总长度被平均分成若干段 间隔 由于路线的不同 植树要求的不同 路线被分成的段数 间隔数 和植树的棵数之间的 关系就不同 在现实生活中类似的问题还有 公路两旁安装路灯 花坛摆花 站队中的方 阵 上楼所需时间 锯木问题等等 它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题 我们 把这类问题统称为植树问题 可见 植树问题是我们生活中所必须的知识 学习的重要性 就不言而喻了 模型的建立是基于学生主动的观察和发现 在讨论中总结出规律 然后利用规律求解 从而达到体会和理解数学与生活的联系 植树问题的关键在于发现棵数与间隔数之间的关系 教学中通过将一线段平均分成 4 份 引导学生去探究和发现 图 1 图 2 图 3 上述三个图形充分表示了植树问题的三种情况 两端都栽 棵数 间隔数 1 只栽一 端 棵数 间隔数 两端都不栽 棵数 间隔数 1 同时我们辅助于 5 个手指 进一步强 化这一数学模型 5 层楼就是 4 个间隔 而上楼的时间是和楼层的间隔相关 的 学生在解题时自然就会摆出自己的手进行回想教学 思考解题的策略 充分利用了手的方便性来识记这一模 型 封闭图形中 通过作图让学生观察构建其模型 辅以讲解 让学生明白封闭图形中植 树其实属于 只栽一端 的情况 建立好植树问题的模型后 再拓展开来 让学生明白 公路两旁安装 路灯 花坛摆花 站队中的方阵 上楼所需时间 锯木问题 中 路灯 花盆 每层楼 锯下的每段木 方阵中站的人 其实就是所植的 树 这样将知识集中于一点 便于学 生掌握其核心 而后加以区别对待即可 这里不再赘述 二 鸡兔同笼的问题 鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一 大约在 1500 年前 孙子算经 中就记载了这个 有趣的问题 然而 现实生活中是不可能把鸡和兔关在一起的 那么今天我们再来学习这 类题是否不再有意义了呢 答案是否定的 先来看下面这道题 钢笔每支 8 元 毛笔每支 6 元 两种笔共买了 16 支 花了 108 元 问钢笔和毛笔各买几支 此题表面看和鸡兔同 笼没有关系 但仔细分析后可知它们之间是存在联系的 这样的题还可衍生出如乘车 上 下坡等之类的多种问题 因此掌握好鸡兔同笼的数学解题模型 是发展学生思维 加强数 学与生活联系的一个重要途径 鸡兔同笼问题的典型解法就是假设法 先来看这个问题 有若干只鸡和兔子 它们共 有 35 个头 94 只脚 鸡和兔各有多少只 将这 35 只鸡兔全部看成鸡 那么总的脚就是 35 2 70 只 这比实际总脚数少了 94 70 24 只 而少的原因是因为每只兔子少算了 4 2 2 只 脚 所以兔子的只数就是 24 2 12 只 这样我们就可以构建出数学模型 兔子的只数 总脚数 总头数 鸡的只数 每只兔子的脚数 每只鸡的脚数 回到买 笔的这道题中就是 钢笔的支数 总金额 总支数 毛笔单价 钢笔单价 毛笔单价 即钢笔支数 108 16 6 8 6 6 支 毛笔支数为 16 6 10 支 这里要注意 的是两个量 A 和 B 那么假如全部为 A 则计算出的结果为 B 再来看下面两题 1 某人领得工资 240 元 有 2 元 5 元 10 元三种人民币 共 50 张 其中 2 元与 5 元的张数一样多 那么 2 元 5 元 10 元各有多少张 此题有中三个量 2 元 5 元 10 元 其中 2 元与 5 元张数一样多 我们就可以看成 是 2 5 2 3 5 元一张的人民币 这样就有 鸡脚 3 5 元 兔脚 10 元 总头数 50 张 总脚数 240 元 假设全部 为 3 5 元 则 10 元张数为 240 3 5 50 10 3 5 10 张 2 元和 5 元共有 50 10 40 张 各有 40 2 20 张 2 一旅游队共 124 人 现有小车每辆可坐 7 人 大客车每辆可坐 16 人 两种车共有 10 辆 请问小车和大客车各有多少辆 此题解法不再赘述 这种与生活密切相关的应用题不胜枚举 数学模型思想在小学数学教材中多有体现 授人以鱼 不如授之以渔 广大教师应该在平时的教学中不断渗透数学模型的思想 我们只有帮助学生建构好数学模型 交给学生解题的金钥匙