大一(上)-微积分-知识点(重点)

精品文档 1欢迎下载 大一 上 微积分 知识点 第 1 章 函数 1 A B 则 A B 是分离的 二 设有集合 A B 属于 A 而不属于 B 的所有元素构成的集合 称 为 A 与 B 的差 A B x x A 且 x B 属于前者 不属于后者 三 集合运算律 交换律 结合律 分配律与数的这三定律一致 摩根律 交的补等于补的并 四 笛卡尔乘积 设有集合 A 和 B 对 x A y B 所有二元有序 数组 x y 构成的集合 五 相同函数的要求 定义域相同 对应法则相同 六 求反函数 反解互换 七 关于函数的奇偶性 要注意 1 函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的 若函数 的定义域关于原点不对称 则函数无奇偶性可言 那么函数既不是 奇函数也不是偶函数 2 判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义 若对所有的 fDx xfxf 成立 则 xf 为偶函数 若对所有的 fDx xfxf 成立 则 xf 为奇函数 若 xfxf 或 xfxf 不 能对所有的 fDx 成立 则 xf 既不是奇函数也不是偶函数 3 奇偶函数的运算性质 两偶函数之和是偶函数 两奇函数之和是 奇函数 一奇一偶函数之和是非奇非偶函数 两函数均不恒等于零 两奇 或两偶 函数之积是偶函数 一奇一偶函数之积是奇函数 第 2 章 极限与连续 一 一个数列有极限 就称这个数列是收敛的 否则就称它是发散 的 二 极限存在定理 左 右极限都存在 且相等 三 无穷小量的几个性质 1 limf x 0 则 2 若limf x limxg 0 则 0 lim xgxf 精品文档 2欢迎下载 3 若limf x limxg 0 则lim xf xg 0 4 若 g x 有界 g x M 且limf x 0 则limf x g x 0 四 无穷小量与无穷大量的关系 若 y 是无穷大量 则 y 1 是无穷小量 若 y y 0 是无穷小量 则 y 1 是无穷大量 5 无穷小量的阶数比较 假设 0 lim lim xgxf 若 0 lim xg xf 称 f x 是较 g x 高阶的无穷小量 若 lim xg xf 称 f x 是较 g x 低阶的无穷小量 若 0 g x f x lim CC 称 f x 是较 g x 同阶的无穷小量 若 1 lim xg xf 称 f x 是较 g x 等价的无穷小量 记为 xgxf 六 极限的运算法则 lim yx yxlimlim xlim y xlim ylim Clim y yClim n xlim limx n xnlim 1 lim 1 x n y x y x lim lim lim 0lim y 精品文档 3欢迎下载 七 求极限的几种技巧 当极限过程是 x 时 除以最高次项 当带有根号时 进行有理化 当遇到分式的加 减运算时 进行通分 当极限过程是 x 时 分子最高次项的指数低于分母最高次项的 指数时 结果为 0 分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数 时 结果为 分子 分母最高次项的指数相等时 结果为最高次 项的系数比 八 两个重要极限 0 1 sin lim x x x 0 1 tan lim x x x 1 1lim xe x x 0 1lim 1 xex x 九 等价无穷小量 乘积的时候才可以换 0 sin xxx 0 tan xxx 0 arcsin xxx 0 arctan xxx 0 2 cos1 2 x x x 0 11 x n x x n 0 1ln xxx 0 1 xxex 十 证明在某一点处连续 需证明 lim oo xxxfxf o x 十一 出现函数的间断点的情况 在点处 xf 没有定义 o x lim o xxxf 不存在 精品文档 4欢迎下载 虽然 o xf 有定义 且 lim o xxxf 存在 但 lim oo xfxxxf 十二 间断点分类 1 第一类间断点 如果函数 xf 在点 o xx 处的左 右极限都存在 但不全等于 o xf 就称点 o xx 为 xf 的第一类间断点 可去间断点 属于第一类间断点 函数间断点的左 右极限存 在并相等 只是不等于该点的函数值 那么我们可以重新定义函数 在间断点的值 使得所形成的函数 在该点连续 跳跃间断点 属于第一类间断点 函数间断点的左 右极限存 在但不相等 2 第二类间断点 如果函数 xf 在点 o xx 处的左 右极限至少有 一个不存在 就称点 o xx 为 xf 的第二类间断点 无穷间断点 属于第二类间断点 只要左右极限有一个为 振荡间断点 13 介值定理 如果函数 xf 在闭区间上连续 m 和 M 分别为 ba xf 在上的最小值和最大值 则对介于 m 与 M 之间的任一实数 ba c 即 Mcm 至少存在一点 ba 使得 Cf 推论 如果函数 xf 在闭区间上连续 且 af 与 bf 异号 则 ba 至少存在一点 ba 使得 0 f 精品文档 5欢迎下载 第 3 章 导数与微分 1 xy 在 0 x 处不可导 1 xy 就在 1 x 处不可导 第 5 章 不定积分 一 基本积分公式表 1 为常数 CCdx0 2 1 1 1 aC a x dxx a a 3 Cxdx x ln 1 4 1 0 ln 1 aaCa a dxa xx 5 Cedxe xx 6 Cxxdxcossin 7 Cxxdxsincos 8 Cxdxx cotcsc2 9 Cxxdxtansec2 10 Cx x dx arcsin 1 2 11 Cx x dx arctan 1 2 12 Cxxdx coslntan 13 Cxxdx sinlncot 精品文档 6欢迎下载 14 Cxxxdxtanseclnsec 15 Cxxxdxcotcsclncsc 16 0 arctan 1 22 aC a x axa dx 17 0 ln 2 1 22 aC xa xa axa dx 18 0 arcsin 22 aC a x xa dx 19 0 ln 22 22 aCaxx ax dx 20 0 2 arcsin 2 22 2 22 aCxa x a xa dxxa 二 一般地 如被积函数含有 n bax 令 n bax t 可以消去根号 如被积函数含有 n x m x 令 k x t k 为 m 与 n 的最小公倍数 可 同时消去两个根号 三 三角代换 被积函数含有 22 xa 可作代换 taxsin 或 taxcos 被积函数含有 22 xa 可作代换 taxtan 或 taxcot 被积函数含有 22 a x 可作代换 taxsec 或 taxcsc 化被积函数为新变量 t 的三角函数的积分 积