二次函数(一般式)的图像和性质ppt课件.ppt

二次函数 一般式 图象和性质 陈国彬 1 的顶点坐标是 对称轴是 2 怎样把的图象移动 便可得到的图象 h k 复习提问 直线x h 3 的顶点坐标是 对称轴是 2 5 直线x 2 4 在上述移动中图象的开口方向 形状 顶点坐标 对称轴 哪些有变化 哪些没有变化 有变化的 抛物线的顶点坐标 对称轴 没有变化的 抛物线的开口方向 形状 我们复习了将抛物线向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到的图象 将化为一般式为 那么如何将抛物线的图像移动 得到的图像呢 新课 的图象怎样平移就得到 那么一般地 函数 的图象呢 解 顶点坐标为 3 2 对称轴为x 3 答案 顶点坐标是 1 5 对称轴是直线x 1 的形式 求出顶点坐标和对称轴 练习1用配方法把 化为 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 类似 具体演算如下 化为 的形式 2 用公式法把抛物线 把 变形为 所以抛物线 的顶点坐标是 对称轴是直线 的形式 求出对称轴和顶点坐标 例2用公式法把 化为 解 在 中 顶点为 1 2 对称轴为直线x 1 的形式 并求出顶点坐标和对称轴 答案 顶点坐标为 2 2 对称轴是直线x 2 练习2用公式法把 化成 3 图象的画法 步骤 1 利用配方法或公式法把 化为 的形式 2 确定抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 3 在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图 的图像 利用函数图像回答 例3画出 1 x取什么值时 y 0 2 x取什么值时 y 0 3 x取什么值时 y 0 4 x取什么值时 y有最大值或最小值 分析 我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点 过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴 在对称轴的一侧再找两个点 则根据对称性很容易找出另两个点 这四个点连同顶点共五个点 过这五个点画出图像 1 用顶点坐标公式 可求出顶点为 2 2 对称轴是x 2 2 当x 1时 y 0 即图象与x轴交于点 1 0 根据轴对称 很容易知道 1 0 的轴对称点是点 3 0 又当x 0时 y 6 即图象与y轴交于点 0 6 根据轴对称 很容易知道 0 6 的轴对称点是点 4 6 用光滑曲线把五个点 2 2 1 0 3 0 0 6 4 6 连结起来 就是 的图象 解 列表 2 2 1 0 0 6 3 0 4 6 2 2 x 2 0 6 1 0 3 0 4 6 由图像知 当x 1或x 3时 y 0 2 当1 x 3时 y 0 3 当x 1或x 3时 y 0 4 当x 2时 y有最大值2 x y 练习3画出 的图像 x 1 y x2 2x 2 3 开口方向 当a 0时 抛物线开口向上 当a 0时 抛物线开口向下 1 顶点坐标 2 对称轴是直线 如果a 0 当 时 函数有最小值 如果a 0 当 时 函数有最大值 4 最值 若a 0 当 时 y随x的增大而增大 当 时 y随x的增大而减小 若a 0 当 时 y随x的增大而减小 当 时 y随x的增大而增大 5 增减性 与y轴的交点坐标为 0 c 6 抛物线 与坐标轴的交点 抛物线 抛物线 与x轴的交点坐标为 其中 为方程 的两实数根 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程 7 抛物线 的根的判别式判定 0 有两个交点 抛物线与x轴相交 0 有一个交点 抛物线与x轴相切 0 没有交点 抛物线与x轴相离 例4已知抛物线 k取何值时 抛物线经过原点 k取何值时 抛物线顶点在y轴上 k取何值时 抛物线顶点在x轴上 k取何值时 抛物线顶点在坐标轴上 所以k 4 所以当k 4时 抛物线顶点在y轴上 所以k 7 所以当k 7时 抛物线经过原点 抛物线顶点在y轴上 则顶点横坐标为0 即 解 抛物线经过原点 则当x 0时 y 0 所以 所以当k 2或k 6时 抛物线顶点在x轴上 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 抛物线顶点在x轴上 则顶点纵坐标为0 即 整理得 解得 由 知 当k 4或k 2或k 6时 抛物线的顶点在坐标轴上 所以当x 2时 解法一 配方法 例5当x取何值时 二次函数有最大值或最小值 最大值或最小值是多少 因为所以当x 2时 因为a 2 0 抛物线有最低点 所以y有最小值 总结 求二次函数最值 有两个方法 1 用配方法 2 用公式法 解法二 公式法 又 例6已知函数 当x为何值时 函数值y随自变量的值的增大而减小 解法一 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 解法二 抛物线开口向下 对称轴是直线x 3 当x 3时 y随x的增大而减小 例7已知二次函数 的最大值是0 求此函数的解析式 解 此函数图象开口应向下 且顶点纵坐标的值为0 所以应满足以下的条件组 由 解方程得 所求函数解析式为 相等 则形状相同 1 a决定抛物线形状及开口方向 若 a 0 开口向上 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 a 0 开口向下 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 2 a和b共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 若a b异号 对称轴在y轴右侧 故 若b 0 对称轴为y轴 若a b同号 对称轴在y轴左侧 5 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 3 c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置 当x 0时 y c 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点 0 c c 0 抛物线经过原点 c 0 与y轴交于正半轴 c 0 与y轴交于负半轴 例8已知如图是二次函数y ax2 bx c的图象 判断以下各式的值是正值还是负值 1 a 2 b 3 c 4 b2 4ac 5 2a b 6 a b c 7 a b c 分析 已知的是几何关系 图形的位置 形状 需要求出的是数量关系 所以应发挥数形结合的作用 解 1 因为抛物线开口向下 所以a 0 判断a的符号 2 因为对称轴在y轴右侧 所以 而a 0 故b 0 判断b的符号 3 因为x 0时 y c 即图象与y轴交点的坐标是 0 c 而图中这一点在y轴正半轴 即c 0 判断c的符号 4 因为顶点在第一象限 其纵坐标 且a 0 所以 故 判断b2 4ac的符号 且a 0 所以 b 2a 故2a b 0 5 因为顶点横坐标小于1 即 判断2a b的符号 6 因为图象上的点的横坐标为1时 点的纵坐标为