毕业论文：高铁票价的数学模型(数学建模)

毕毕业业论论文文 题题 目 目 高铁票价的数学模型高铁票价的数学模型 所所 在在 系 系 专专 业 业 学学 号 号 作者姓名 作者姓名 指导教师 指导教师 年年 月月 日日 高铁票价的数学模型高铁票价的数学模型 1 数学与计算科学系数学与计算科学系 数学与应用数学专业数学与应用数学专业 作者 作者 学号 学号 指导老师 指导老师 摘摘 要 要 本文主要以京津城际高速铁路为依托 通过拉姆齐定价模型和高峰负荷定价法确定介 于边际成本和盈亏平衡之间的最优票价 同时运用计量经济学的方法对京津城际高铁的票价需求弹 性系数和运营成本做近似估计 并制定出京津城际高铁的票价运价率 最后再根据运价率求出武广 高铁各路段的票价 关键词 关键词 拉姆齐模型 高速铁路 票价 1 引言 1 1 国内外研究现状 高速铁路作为新型运输产品 近几年在我国逐渐兴起 引起了大量学者的研究兴 趣 目前有许多学者从不同角度对与高速铁路相关的问题进行了广泛而深入的研究 同时也取得了丰硕的研究成果 刘重庆对俄罗斯高铁的改革发展情况进行了相关研究 同时也分析了该国的铁 1 路运价策略 谢晓凌对日本的高铁旅客票价政策进行了深度分析 杨洋在借鉴国 2 3 外高铁运价机制基础上 分析影响高铁客运专线票价的影响因素 提出比较完备的客 运专线票价决定策略体系 叶蓓运用系统动力学方法对高速铁路票价优化模型进行 5 了研究 将该模型应用到了京沪高速铁路的定价应中 求得了相应的最优票价 刘晓 佳 李友好将有效性原理应用到京沪高铁的票价制定中 运用经济学中的有效性原 6 理和运输通道客流量动态分配模型制定出京沪高速铁路的最优票价 高自友 四兵锋 将双层规划 灵敏度分析法等模型算法合理的运用到铁路票价领域 周龙 常利 7 4 李丽红等在基于拉姆齐模型定价理论的基础上 利用拉姆齐高峰负荷定价法对地铁 8 票价进行了深度研究 为本文研究高铁票价提供了思路 同时本文将借鉴拉姆齐定价 模型来对高铁票价进行研究 S Proost 等人从外部成本问题上分析了欧洲效能价格与运输价格的偏离程度 然后 基于 TRENEN 模型提出一个包涵所有交通运输方式的最优定价模型 9 国外对于交通运输票价的研究相对较早 但因为各国高铁修建时间早晚不一 组 织形式和采用的技术方法都不同 研究结果存在较大差异 我国高铁在最近几年才开 2 始大量建设运营 无论是技术还是市场都还处于发展阶段 不确定性较大 国外的研 究资料难以直接参照 综上所述 大部分学者多集中于高铁运价策略的研究 而在高铁票价方面 已有 的研究成果并不多 因此 在我国高速铁路迅速发展的情况下 对高铁票价的深入研 究 具有重要的理论价值 同时 这也是本文的创新点所在 1 2 国内高铁的发展概况 高速铁路是指最高运行时速在 200 公里以上的铁路 一般采用动车组 是未来铁 路客运的发展趋势 近年来 中国在高速铁路领域发展迅速 取得了举世瞩目的成就 表 1 我国典型高铁建设及运营情况 时间高铁段时速 公里 h 备注 2007年京哈 京沪 京广等干线200 250 2008年京津城际高铁350 2009年武广高铁350 2010年京沪高铁 486 1 最高 枣庄至蚌埠段综合试验 与其它运输方式相比 高速铁路有明显优势 1 速度快 2 客运量大 3 全天候 4 安全可靠 5 能耗低 6 污染轻 7 占地少 8 舒适 9 效益高 高速铁路运输成本分为折旧成本 资本成本和营运成本三个部分 包括机车燃料 或电力 的消耗费用 机车车辆修理养护费用 机车与列车乘务组工资 高速铁路固 定设备的修理养护费用及有关管理费用等 而高速铁路运营收入包括 旅客客票收入 货物运费收入 行李 包裹 邮政高速铁路收入与其他客货运杂项收入 基础设施经 营收入 其他营业收入 般资收益 补贴收入 营业外收入 以京沪高铁为例 收入方面 按照每公里人次 0 484 元计算 京沪高铁全程票价约 为 600 元左右 按照一般动车的十六节车厢编制定员 1004 人 这样 满员全程票价收 入为 60 万元 按照半小时一趟的密度 京沪高铁每天运营 11 小时 如果还本付息 每天需运行约 17 5 小时 注意 增加速度带来的效率 比起与之带来的增加成本微乎 其微 表 2 京沪高铁大致收支表 3 支出 运营成本 41 亿元 1123 万元 偿还利息 55 亿元 1507 万元 折旧 66 88 亿元支付铁路 30 亿 元 收入98 来源于票价每列 60 万元2 为广告等其他收入 由表 2 可以看出 要制定合理的高铁票价 必须考虑运输成本以及其他影响因素 1 3 问题的提出 本文将以京津城际高速铁路为例 围绕如何确定票价的运价率 重点解决以下问 题 1 根据京津高速铁路的具体情况 分析影响京津城际高速铁路票价的相关因素 收集相关数据 并据此通过数学建模的方法 求出京津城际高速铁路的运价率模型 2 根据得出的运价率模型 来计算武广高铁各路段的票价 1 4 几种常用的定价方法 1 高峰负荷定价法 该方法是差别定价法的一种 是时间差价的一种形式 是指产品 或服务 按不 同时段定不同价格 在对某些公共企业的产出的需求可能会随时间而大幅度变动的情 况下 会出现高峰负荷定价问题 高峰负荷定价最适合于供应缺乏弹性的产品 此时 供应商完全能预测需求的增长 因而能够进行系统化的价格上调 如在电力生产中 超产或贮存产出是不可能的或代价极高的 解决的方法包括 在不同时期收取不同的 价格 在高峰期与非高峰期收取不同的价格对垄断者是有利的 实行高峰负荷定价也 可以改进整个社会资源配置的效率 因为高峰负荷定价使价格接近于边际成本 这将 使消费者剩余与生产者剩余的总额最大化 每年的 春运 期间 铁路 公路 民航 提高票价也属于一个典型的高峰负荷定价问题 2 盈亏平衡定价法 该方法又称为收支平衡定价法或保本定价法 在票价制定中 主要以企业运营成 本为基础 经过成本来确定票价的一种基本定价法 其中心思想是主要以成本为基础 再考虑一般企业以不同目的进行定价 通常企业从自身利益的最大化考虑会造成票价 4 过高 远远超过市民的承受能力 因此考虑到企业和市民两者的利益 可以通关运营 的盈亏平衡作为制定票价模型的依据 从而构造相应的盈亏平衡的定价理论 3 价格需求导向定价法 该方法以旅客需求变化及旅客心理作为定价的基本依据 在定价时 主要考虑旅 客消费行为 旅客所处地 旅客经济承受能力 心理承受能力等因素 是伴随旅客消 费关联的更新而产生的一种新定价方法 4 边际成本定价法 该方法是指每增加或减少单位产品所引起的总成本变化量 由于边际成本与变动 成本比较接近 而变动成本的计算更容易一些 所以在定价实务中多用变动成本替代 边际成本 而将边际成本定价法称为变动成本定价法也叫边际贡献定价法这种定价方 法是使产品的价格与其边际成本相等 即 产品变化量 总成本的变化量 边际成本 1 5 研究意义 我国高铁刚刚起步 相对于国外的先进高铁等相关实践落后了足足 30 多年 目前 我国正处于高速铁路快速建设和发展时期 高速铁路网络的形成将对我国现有交通运 输格局产生较大影响 使得整个运输市场结构和格局发生重大变化 因此 探究一种 合适 新颖的高速铁路票价制定的优化方法仍然是亟待解决的难题 而且我国铁路票 价一直都由政府定价 票价形式单一 不能灵活反应客运市场变化 这使得铁路运输 行业在竞争中占不到优势 如果高铁继续沿用政府定价模式 将无法与航空等运输方 式竞争 所以 迫切的需要制定合理的定价模式 从而提高高铁的市场占有率以获得 最大的社会效益和经济效益 2 拉姆齐定价模型及高峰负荷定价法的介绍 2 1 拉姆齐定价模型的基本思想及模型 由于公用事业的边际成本在不断递减 边际成本定价法会导致企业的亏损 而平均 成本定价法则会导致社会福利的净损失 作为对边际成本和平均成本定价的改进 Baumol 和 Bradford 借鉴拉姆齐的征收比例税的次优方法 提出了拉姆齐定价 在盈亏 5 平衡的约束下 次优的定价方法是实现消费剩余的最大化 当拉姆齐定价模型运用在运输行业中 其平均成本要比边际成本高很多 如若采 取边际成本预测定价方法 企业可能会出现巨额亏损的现象 还有可能会导致道路交 通过于拥挤而造成事故 如果采取盈亏平衡定价 又会超出一般人承受水平 导致不 能解决道路交通问题 所以应该找一个处于中间状态的票价定价理论 而处于中间状 态的定价水平可以用拉姆齐模型来确定 其表达式为 P MCP 1 其中 为盈亏平衡点时相对应的平均票价 为边际成本 为价格需求弹性系数 PMC 为拉姆齐指数 2 2 高峰负荷定价法在模型中的应用 拉姆齐模型其实就是在考虑边际成本的基础上面添加了一个加价 如果要是考虑 到市场是否属于高峰期 也就是在区分高峰期与非高峰期时段的价格差别的时候 可 以令 和 分别表示高峰期和非高峰期的票价 边际成本 价格需求弹 i P i MC i 2 1 i 性系数 由拉姆齐模型可得 1 2 222 111 PMCP PMCP 2 这个公式就是拉姆齐模型的高峰负荷定价法 即得到 处于高峰期时段的价格的 敏锐程度要比非高峰期时段价格的敏锐程度要小 这样就可以在高峰时段采取高一点 的价格 而在非高峰时段采取低一点的价格的定价策略 因此 可以运用高峰负荷定 价法来求解 如果企业在不考虑是否为高峰时段时 计算出来一个盈亏的平衡点 与相对应P 的边际成本和价格需求弹性系数 再根据非高峰期的边际成本和价格需求MC 2 MC 弹性指数就可以求出来 由于道路最拥挤繁忙是在高峰时段 那么政府要是 2 PP 2 用高峰期的票价来代替平衡点的票价的话 既可以解决道路的客流问题 特别的 1 PP 能够应付高峰时段的客流量问题 因此 本文最主要的是求出非高峰期的票价 以 2 P 此来求运价率更具代表性 根据实际情况可知 在城市交通的各个时段的边际成本变化很小时 6 那么拉姆齐模型可以改为 MCMCMC 21 1 2 22 11 PMCP PMCP 3 由此可以计算京津城际高速铁路的票价定价方案 3 京津城际高铁的运价率模型及求解 3 1 京津城际高铁简介 京津城际高速铁路于 2005 年 7 月 4 号正式开工 2008 年 8 月 1 号正式开通运营 连接北京 天津两大直辖市 起点为北京南站 终点为天津站城际场 为双线电气化 铁路 线路全长 119 4 公里 其中无砟轨道长度为 113 6 公里 全线设北京南 亦庄 永乐 武清 天津 5 个车站 线路通过繁华市区 以桥梁和路基工程为主 目前试运 行的最高速度是 398 4 公里 小时 正常运行 350 公里 小时 试运行一直比较平稳 由 于数据收集的原因 而且京津城际高速开通的较早 所以本文建模选择这个路段的高 速铁路来作为研究对象 交通票价问题向来是敏感而又复杂的问题 其往往具有双面 性 过高的票价会使众多旅客不堪负重 也可能使得铁路部门因售票情况不佳而损失 惨重 过低的票价可能使建设和运营成本难以收回 3 2 问题分析 城市交通是城市的重要组成部分 城市交通运输与城市发展与具有相互制约的密 切关系 目前 我国正大力建设城市轨道交通 而票价的高低始终是老百姓在运营前最 关注的问题 随着城市客运交通运输市场竞争环境的日益激烈和复杂 制定票价策略的 难度也越来越大 不仅要考虑到高铁的运输成本 还要考虑到公众的承受能力 其他 交通工具的竞争 政府补贴问题等情况 但成本是才是影响票价制定的主要因素 京津城际高速铁路是我过最早投入运营的一条高速铁路 也是北京与天津第一条 区域性城际高速铁路 也是区域内投资最大的单体铁路建设项目 对于这条高铁如何 充分考虑各种因素 制定出既符合社会效益又满足企业正常运转的合理票价是个复杂 的问题 国内现有的研究大多侧重于定性分析 而相关的定量分析较少 因此 本文 运用拉姆齐数学模型对制定高铁票价来进行定量分析 拉姆齐模型作为非线性定价模型 在国外被广泛应用于交通 电信 电力等行业 7 的定价 为此将拉姆齐模型应用于京津城际高铁的票价的制定 为国内城市公共交通 特别是轨道交通的定价提出一种新的思路和方法 3 3 基本假设 根据不同的定价理论和目标来建立定价模型和确定其最优平均票价水平 运用拉 姆齐定价模型来进行数学建模 一般来说 影响票价高低的主要因素有 运营成本 市场需求 公众的承受能力 其他交通工具的竞争 政府补贴问题 因为数据的收集 以及刻画太过宏观 本文将只以客运量以及运营成本来作为影响高铁票价的主要影响 因素进行研究 进而建立数学模型 求出最优价格 根据这些因素提出以下基本假设 1 客流量随价格的变动变化 2 短期内 假设为一年轨道公司的营运成本保持不变 3 在成本核算时不考虑广告等收人的影响 4 不考虑公共交通由于外界原因造成的影响 5 不考虑坐车 候车的成本 6 不考虑人民币价值变动的影响 7 用某些类似地区高铁的客运信息代替京津城际客运信息 符号说明 符号定义 abe待定常数 C运输成本 Q客流量 P票价 MC边际成本 价格需求弹性系数 拉姆齐指数 3 4 数据的收集及价格需求弹性系数和的确定 1 2 采取方法估计弹性系数 设 客流量为 人次 平均票价为 元 OLS 7 QP 则它们满足公式 8 aPQ 其中 为待定常数 为价格需求弹性系数 a 两边同时取对数得 PaQlnlnln 因京津城际高铁途经的站点较多 但它经过北京和天津两大城市 所以在数据收 集上为了简便起见 更具说服力 本文选择首都北京作为京津城际高速的参照城市 由于京津城际高铁 08 年才开始投入运营 所以只找到了表 3 中 08 年至 12 年的数据 其中日均客流量 万 人次 与平均票价 元 人次 的收集是为了确定高峰期的价格需 求弹性系数 而全年客流量 万 人次 与客运成本 万元 的收集是为了求出边际 1 成本 MC 平均成本 元 人次 的收集为了反映高铁的运营成本在不断提升 平均票 价 元 人次 的收集还能与下文求出的盈亏平衡点相对应的平均票价进行误差对比 表 3 北京 08 年 12 年运营数据 年份 年 全年客流量 万 人次 日均客流 量 万 人 次 平均成本 元 人次 客运成本 万元 平均票价 元 人次 20085765 719 9312 0269304 8 52 20098989 819 9812 73712128 37 20101176520 0112 98732868 31 20111355020 0213 29801258 29 20121364920 0813 35890588 11 数据来源 北京高铁有限公司 北京高铁 2011 2012 年年度报告 根据北京高铁总公司提供的日均客流量与平均票价 运用 Excel 软件线性回归可得 9 y 0 3764x 23 1369 19 92 19 96 20 20 04 20 08 20 12 88 18 28 38 48 58 6 平均票价 元 人次 日均客流量 万 人次 日均客流量 万 人次 线性 日均 客流量 万 人次 图 1 由图 1 可知 PQln3764 0 1369 23ln 通过 Excel 检验得到值为 0 021 小于置信水平 0 05 所以的估计值符合实际p 情况 即取 376 0 1 现将与我国民航票价需求弹性做比较 表 4 民航需求弹性估计表 城市状况百万人口以上 所有时段的平均值 0 36 高峰时段的平均值 0 23 非高峰时段的平均值 0 42 对比可得出我们求出的的估计值是符合实际情况的 而且这个数值是所有时段 的平均值 因此 表中的可作为高铁非高峰时段的需求弹性值 42 0 2 3 5 京津城际高速铁路边际成本的确定MC 依照经济学原理 高速铁路客流量与运营成本满足函数 QC e bQQC 4 其中 为待定常数 be 在生产规模不变 固定成本不变 的情况下 边际成本实际上是客运成本对客流 量的导数 将 4 式的两边分别取对数 得 QebQClnln ln 10 1 e e beQ dQ bQd dQ QdC MC 5 根据表 3 收集的全年客流量和客运成本数据 通过 Excel 回归可得 y 1 9566x 55575 65000 71000 77000 83000 89000 95000 550075009500115001350015500 全年客流量 万 人次 客运成本 万元 客运成本 万元 线性 客 运成本 万 元 图 2 由图 2 可知 QQCln9566 1 55575 ln 通过 Excel 检验得到值为 0 034 小于置信水平 0 05 把对应的客流量和拟合数p 据代入 5 式中 得 元 将边际成本 高峰期价格需求359 4 MC359 4 MC 弹性系数 拉姆齐指数代入 1 式中 可以求出盈亏平衡点376 0 1 11 179 0 时相对应的平均票价 元 人次 31 8 1 P 3 6 京津城际高速铁路的平均票价 把盈亏平衡点的平均票价 元 人次 高峰时段和非高峰时段的需求弹性31 8 1 P 系数 边际成本 元 代入公式 3 得 376 0 1 42 0 2 359 4 MC 元 即为所求的高铁非高峰期平均票价 094 8 2 P 3 7 最终运价率的确定 世界各国的轨道交通系统 大约有 60 都采用计程票价方案 因此 对于京津城 际高速铁路 我们可以才用分段计程票价的方法 具体步骤如下 10 1 在考虑北京居民的承受能力以及别的城市高速铁路的相关经验之上 采用基 11 本票价的方案 即 30 2 PP 为平均票价 元 4238 2 30094 8 30 2 PP 2 由北京客运公司数据可知 北京的人均乘距为 8 1856 公里 人次 根据 可得 人均乘距基本票价平均票价运价率 元 公里 6922 0 1856 84238 2 094 8 2 人均乘距运价率PP 最终可以得到 里程运价率票价 4 基于运价率的武广高铁票价 4 1 武广高速铁路简介 2005 年 6 月 23 号开工建设的武广高铁路线是京广铁路专线的重要组成部分 位于 广东 湖南 湖北三省境内 途径广州 清远 韶关 郴州 衡阳 株洲 长沙 岳 阳 咸宁 武汉等市 全线共 15 个车站 线路全长 1069 公里 其中路基 323 公里 桥梁 684 座 468 公里 隧道 226 座 177 公里 采用世界上最先进的国产 和谐号 高 速动车组和牵引供电 列车控制等系统 列车时速 350 公里 行车密度可达 3 分钟 列 4 2 武广高铁票价的计算 由于武广路途径 15 个大小站点 为了方便计算 本文预测票价只取用其中 10 个 站点来进行研究 各段里程也均采用近似值 表 5 是武广高速铁路各路段原有的一等 软座票价 表 6 即是根据票价 运价率 里程而计算出的各站点之间一等软座的票价 表 5 武广高铁各站间的铁路里程及原有票价 公里 元 里程 票价 武 汉 咸宁 北 岳阳 东 长沙 南 株洲 西 衡阳 东 郴州 西 韶 关 清 远 广州 南 武汉0852153624145396928429861069 咸宁北650130277329454607757901984 岳阳东160950147199324477627771854 长沙南265205110052177330480624707 株洲西305240145400125278428572655 衡阳东394334240130900153303447530 12 郴州西4944393492452051150150294377 韶关5945394493543142251100144227 清远689634544449414329215105083 广州南739689599504469389275165600 表 6 基于运价率的武广高铁票价 元 票价 武 汉 咸宁 北 岳阳 东 长沙 南 株洲 西 衡阳 东 郴州 西 韶 关 清 远 广州 南 武汉0 咸宁北590 岳阳东149900 长沙南2511921020 株洲西287228138360 衡阳东373314224123870 郴州西4794203302281921060 韶关5835244343322962101040 清远6836245344323963092041000 广州南740681591489453367261157570 现以武汉站为起点站 将武汉站至其他 9 个站点的原有票价与基于运价率的票价 进行对比 见下表 表 7 原有票价与基于运价率的票价对比 武汉 原有票价 元 基于运价率的票 价 元 差价 元 咸宁北65596 岳阳东16014911 长沙南26525114 株洲西30528718 衡阳东39437321 13 郴州西49447915 韶关59458311 清远6896836 广州南739740 1 由表 7 可知 武汉至咸宁北 岳阳东 长沙南 株洲西 衡阳东这几个站点的差 价逐渐递增 而从武汉至衡阳东 郴州西 韶关 清远 广州南这几个站点的差价逐 渐递减 甚至随着距离的增加 还超过了政府原有定价 同时 从表 7 中的差价还可 以看出基于运价率的高速票价大多都略低于原有票价 且差价不大 因此 本文所研 究的运价率模型有一定的参考价值 5 模型的评价 5 1 模型的优点 1 城际高铁由于固定成本投入巨大 票价的制定不能只依赖于边际成本 而拉 姆齐定价法正是在边际成本的基础上添加了一个加价 这样就能使得加价部分能够弥 补高铁运营企业的亏损 同时又能体现福利性 2 从结论上看 考虑客流量和客运成本的因素 对京津城际高铁的票价采用拉 姆齐定价模型 并运用高峰负荷定价法来求解 得出的票价运价率更具参考价值 5 2 模型的不足 1 于某种程度上 该模型并不完善 因为采用的数据是高铁数据 高速铁路大 部分采用两步定价 消费者分担一定量的固定成本 而拉姆齐模型却将政府对从事公 共事业企业的转移支付排除掉 2 拉姆齐定价模型的实用性受到质疑 主要问题在于信息问题 本文数据只研 究了京津城际高速铁路途径的一个城市 还是根据高速铁路总公司的历史数据或者参 考类似城市的相关数据 不能很好的反映所研究的问题 3 本文根据拉姆齐定价模型而得出的运价率 只得出了高铁的一等软座票价 并没有得到二等软座票价 所以在高铁票定价时 拉姆齐定价模型很有可能不会被采 用 5 3 模型的改进 14 1 不能用所研究问题 地区的近似数据代替 应该采用直接相关数据 避免因 此而带来的误差 2 应把政府对公共事业企业的转移支付考虑在内 明确票价对政府和消费者的 分摊 3 采用统一的价格弹性指数 避免对消费者存在价格歧视 也能避免引起消费 者和政府的不满 参考文献 1 刘重庆 俄罗斯铁路运价政策 J 铁道经济研究 2006 1 39 41 2 谢晓凌 日本铁路票价政策对我国铁路的启示 J 铁路运输与经济 2008 7 4 5 3 杨洋 铁路客运专线票价制定问题研究 D 北京 北京交通大学 2008 4 周龙 拉姆塞定价模型在地铁定价中的运用 J 交通科技与经济 2001 3 4 47 49 5 叶蓓 高速铁路运营成本及票价测算系统的研究 D 北京 北京交通大学 2005 6 刘晓佳 李友好 未来京沪高速铁路运营票价制定的探析 D 厦门 福建夏门集美大学 2006 7 四兵锋 高自友 合理定制铁路票价的优化模型及算法 J