电磁场与电磁波第七章.ppt

第七章导行电磁波本章讨论局域在导波装置中沿一定方向传输的电磁波 导行电磁波 导波装置也称为传输线或导行系统 如果导波装置的横截面尺寸 形状 介质分布 材料及边界均沿传输方向不变 则称之为规则导波装置 常用的导行系统如图7 1所示 其中最简单 最常用的是矩形波导 圆柱形波导和同轴线 主要内容 首先讨论导行电磁波的分析方法 然后具体讨论矩形波导 圆柱形波导的传输模式 场分布以及传输特性 7 1导行电磁波的一般分析分析导行电磁波 就是要得出导行电磁波沿轴向 纵向 的传播规律以及电磁场在横截面内的分布情况 通常有纵向分量法和赫兹矢量法两种分析方法 这里仅采用纵向分量法 纵向分量法的思想是 将导行系统中的电磁场矢量分解为纵向分量和横向分量 由亥姆霍兹方程得出纵向分量满足的标量微分方程 求解该标量微分方程 得到纵向分量 再根据麦克斯韦方程组 找出横向分量与纵向分量之间的关系 用纵向分量来表示横向分量 7 1 1导行电磁波的表达式无源区域内 时谐电磁场满足齐次亥姆霍兹方程 7 1 1a 7 1 1b 在导行系统中 电磁波沿其轴向 纵向 传播 建立广义柱坐标系 u1 u2 z 对于规则导行系统 电磁场在横截面内的分布与纵向坐标z无关 行波状态下沿z方向传播的导行电磁波可写为 7 1 2a 7 1 2b 拉普拉斯算子可写为 7 1 3 将式 7 1 2 和 7 1 3 代入式 7 1 1 可得E u1 u2 H u1 u2 满足的方程为 7 1 4a 7 1 4b 其中 7 1 5 当kc 0时 kc称为本征值 由导行系统的边界条件和传输模式决定 导行系统问题归结为求解方程 7 1 4 7 1 2导波场纵向分量与横向分量的微分方程将电磁场矢量表示为横向分量和纵向分量之和 即 7 1 6a 7 1 6b 将式 7 1 6 代入式 7 1 4 可得到关于电场E u1 u2 以及磁场H u1 u2 横向分量的矢量亥姆霍兹方程和纵向分量的标量亥姆霍兹方程 即 7 1 7a 7 1 7b 矢量方程 7 1 7a 和 7 1 7c 的求解比较困难 因此通常并不直接求解ET和HT 而是结合导行系统的边界条件求解标量波动方程 7 1 7b 和 7 1 7d 得到纵向场分量后 再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横向分量 场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦方程组导出 7 1 7c 7 1 7d 7 1 3导波场的横向分量与纵向分量之间的关系式哈密顿算子也可表示为横向分量与纵向分量之和 即 7 1 8 将式 7 1 6 和 7 1 8 代入无源区域时谐场麦克斯韦方程组的两个旋度方程 并注意到对于行波状态下的导行波有 可得 7 1 9a 7 1 9b 7 1 9c 7 1 9d 由横向方程 7 1 9a 和 7 1 9c 可以求得ET和HT 用j 乘以式 7 1 9a 对式 7 1 9c 作 ez 运算 然后两式相加 并利用矢量恒等式加以整理 可得 7 1 10 可见 只要求得了导波场的纵向分量 由式 7 1 10 便可确定导波场的所有横向分量 式 7 1 10 即为行波状态下场的横向分量与纵向分量之间的关系式 简称行波横 纵关系式 在广义柱坐标中 式 7 1 10 可写为分量形式 7 1 11a 7 1 11b 7 1 11c 7 1 11d 7 1 12a 其中 7 1 12b 式 7 1 11 还可以写成便于记忆的矩阵形式 若电场和磁场在传播方向上的分量Ez 0 Hz 0 即电磁场各分量均在横截面内 则此种传输波型称为横电磁波 简称TEM波或TEM模 对于TEM波 kc 0 TEM波是双导体结构传输系统 例如平行双导线 同轴线 的主模 单导体结构的规则金属波导中不能传输TEM波 7 2导行波波型的分类以及导行波的传输特性7 2 1导行波波型的分类导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场结构形式 也称为传输模式 导行波波型大致分为三类 1 TEM波 2 TE波和TM波若电场在电磁波传播方向上的分量Ez 0 即电场仅在横截面内 则此种波型称为横电波 简称TE波或H波 若磁场在电磁波传播方向上的分量Hz 0 即磁场仅在横截面内 则此种波型称为横磁波 简称TM波或E波 TE波和TM波的kc 0 常用的TE波和TM波传输系统是单导体结构的规则金属波导 如矩形波导 圆柱形波导 3 表面波所谓表面波是指电磁波沿传输线表面传播的波型 表面波是TE波和TM波的混合模式 常用的表面波传输系统有介质波导和光纤等 7 2 2导行波的传输特性1 截止波长与传输条件由导行电磁波的表达式 7 1 2 可知 导行波的传输状态取决于传播常数 而 满足关系 7 2 1 这表明 导行系统中的电磁场沿传输方向 z轴 指数衰减 不是传输的波 故称 2 0时为截止状态 2 2 0 即 c 则 j 为虚数 导波场表示为 上式表明 导行系统中的电磁场是沿 z轴传输的等幅波 故称 2 0时为传输状态 3 2 0 即 c 此时 可见 导行系统中的电磁场不是传输波 称为临界截止状态 7 2 5 2 相速 波导波长与群速 无耗的传输状态下 j 由式 7 2 1 有 7 2 6 按相速的定义 可得导行波的相速表达式 7 2 7 导行系统中 沿轴向相位差为2 的两点之间的距离称为波导波长 记为 g 根据波导波长的定义 有 7 2 8 根据群速的定义 并由 7 2 9 可得导行波群速vg的表达式 7 2 10 相速和群速满足关系 由式 7 2 7 和 7 2 10 可见 对于TE波和TM波 kc 0 因而 其相速和群速都是频率的函数 即TE波和TM波为色散波 对于TEM波 kc 0 则有 其相速和群速均与频率无关 因此TEM波为非色散波 3 波阻抗 导行系统中 传输模式的横向电场分量振幅与横向磁场分量振幅之比称为导行波的波阻抗 记为Zw 即 7 2 12 对于TE波 Ez 0 注意到 j 由行波横 纵关系式 7 1 11 可得 7 2 13 对于TM波 Hz 0 同理可得 7 2 14 由波阻抗的定义和横 纵关系式 可以得到 无论是TE波还是TM波 其电场横向分量与磁场横向分量之间存在如下关系 7 2 15 4 传输功率 导行波的复坡印廷矢量为 7 2 17 这里 为导行系统的横截面面积 对于TEM波 有 7 2 16 利用式 7 2 15 可得 沿导行系统 z方向传输的平均功率为 7 3矩形波导规则矩形波导 简称矩形波导 的横截面为矩形 它是微波导行系统的主要形式 对于矩形波导 横截面坐标采用直角坐标 x y 设矩形波导横截面的宽边尺寸为a 窄边尺为b 如图所示 在单导体结构的波导中 只能存在TE波和TM波 下面具体分析矩形波导中的这两种波型 7 3 1矩形波导中的TE波 行波状态下 TE波满足 7 3 1 其中 Hz x y 满足标量波动方程 7 3 2 在直角坐标系中 上述方程可写为 7 3 3 应用分离变量法 令 将上式代入式 7 3 3 整理可得 当传输模式一定时 kc为常数 令 7 3 5 则有 7 3 6a 7 3 6b 其中 7 3 7 式 7 3 6 是二阶常系数齐次微分方程 其解为 所以 方程 7 3 2 的解为 7 3 8 式中A1 A2 B1 B2和kx ky为待定常数 由边界条件 传输模式以及激励源的强度来确定 由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件 可得TE波电场在波导内壁上所满足的边界条件为 根据行波横 纵关系式 7 1 11 可得 即 综合上两式 对于任何金属波导 TE波的边界条件可概括为 7 3 10 将式 7 3 8 代入式 7 3 9 可得 7 3 11 7 3 9 将式 7 3 11 代入式 7 3 8 并令A1B1 Hnm 可得矩形波导中TE波的磁场纵向分量的基本解为 7 3 12 其中 Hnm的值由激励源的强度决定 m n称为波型指数 分别表示场在横截面内沿宽边和沿窄边的半驻波个数 m n不同 其场的结构就不同 故不同的m n代表不同的模式 称为TEnm模或Hnm模 矩形波导中可以仅存在一种单独模式 也可以同时存在多种模式 因此 所有m n的组合也是方程 7 3 2 的解 于是 模纵向磁场分量的一般解为 7 3 13a 将Hnm表达式以及Ez 0代入行波横 纵关系式 7 1 11 可得到TEnm模的所有横向电磁场分量 7 3 13 其中 7 3 14 式 7 3 13 是矩形波导中TEnm模的一般表达式 由此可见不能同时取零 即矩形波导中不存在TE00模 但可以存在TEm0模 TE0n模和TEnm m n 0 模 7 3 2矩形波导中的TM波 行波状态下 TM波满足 7 3 15 其中 Ez满足标量波动方程 7 3 16 解得 7 3 17 由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件 TM波的边界条件可概括为 7 3 18 将式 7 3 17 代入式 7 3 19 可得 7 3 20 所以 TMmn模纵向电场分量的一般解为 将上式以及Hz 0代入行波横 纵关系式 7 1 11 可得TMmn模的所有横向电磁场分量 7 3 21a 对于矩形波导 具体表示为 7 3 19 7 3 21 式中 为使场量不为零 式 7 3 21 中的波型指数m n均不能取零 因此 不存在诸如TM00 TMm0和TM0n模 由上述分析可知 矩形波导中能够存在TEmn TMmn无穷多种模式 但在实际系统中究竟哪些模式确实存在 以及这些模式的强度分布如何 则要由激励源的频率 激励方式 波导横截面尺寸和波导中填充的介质等具体因素来决定 7 3 3矩形波导的截止波长 矩形波导中 TEmn模和TMmn模的截止波数均为 7 3 21 7 3 22 故截止波长为 将上式代入式 7 2 6 7 2 10 可得各TEmn模和TEmn模的传播常数 相速 群速 波导波长和波阻抗 由导行系统的传输条件可知 当工作波长 小于某TEmn模和TEmn模的截止波长 c时 电磁波就能够以此模式在导行系统中传播 此模式称为传输模 而当工作波长 大于某模式的截止波长 c时 该模式就不能在波导中传输 称为截止模 截止波长最长的传输模式称为波导的主模或最低次模 其它模式均为高次模 在a 2b的矩形波导中 不同模式截止波长的分布情况如图7 3 2所示 图7 3 2不同模式截止波长的分布 矩形波导的主模是TE10模 并且 对于相同的m和n 模的截止波长相同 这种不同模式具有相同截止波长的现象称为简并现象 这些模式称为简并模 对于矩形波导 当m n分别相等时 TEmn和TEmn模是简并的 也称为E H简并 例 规则金属矩形波导BJ 100 a 22 86mm b 10 16mm 其中填充 r 2 1的聚四氟乙烯 求截止波长较长的前五个模式的截止频率 若工作频率分别为9GHz和11GHz 问波导中可能存在哪些模式 解 由 可得 故仅存在TE10模 当工作频率为9GHz时 工作波长 2 300cm 满足 或 当工作频率为11GHz时 工作波长 1 882cm 此时满足传输条件 c的有TE10 TE20和TE01模 所以 该情形下 波导中可以同时存在这三种模式 TE10模是矩形波导的主模 它是矩形波导中最常用的模式 其优点是场结构简单 频带宽 损耗小 传输稳定 而且易于激励和实现单模传输 7 3 4矩形波导的TE10模 1 TE10模的场结构 7 3 23 场量的复数表达式 瞬时表达式 7 3 24 TE10模的电场只有Ey分量 磁场有Hz和Hx分量 它们均与y无关 即场的各分量沿y轴 波导窄边 均匀分布 沿x轴 波导宽边 Ey和Hx呈正弦分布 Hz呈余弦分布 在x 0和x a处 Ey和Hx均为零 Hz的幅值则最大 在x a 2处 Ey和Hx均为最大值 Hz为零 式中 10为Hz的初相位 图7 3 3 轴的瞬时分布 和 沿 和 因此 Ey Hx和Hz沿波导宽边都是半个驻波分布 且Hx和Hz在xz平面内构成闭合回路 模的瞬时场结构 图7 3 4 2 TE10模在波导内壁上引起的电流分布 理想导体表面面电流密度为Js en H 将式 7 3 24 代入 可得TE10模在波导内壁上引起的面电流分布 7 3 25 TE10模瞬时壁电流分布如图所示 壁电流分布的特点 两窄壁上面电流分布具有对称性 两宽壁上面电流分布具有反对称性 并且在x a 2处 宽壁横向电流为零 只存在纵向面电流 因此 在矩形波导宽壁中央开一纵向狭缝 不会切断高频电流 故不影响波导内电磁波的传播 这样的一条狭缝可用于波导内电磁场的测量 3 TE10模的传输特性截止波长为 因此 单模传输条件为 当a 2b时 a 2a 相位常数与波导波长分别为 相速与群速分别为 波阻抗为 传输功率为 7 4圆柱形波导 规则圆柱形波导 简称圆波导 常用于毫米波的远距离通信 精密衰减器 天线的双极化馈线 微波谐振器等 对于圆波导 横截面坐标采用极坐标 设圆波导的横截面半径为a 如图所示 7 4 1圆波导中的TE波 在极坐标系中H 的标量波动方程为 TE波满足 7 4 1 7 4 2 应用分离变量法 令 7 4 3 将式 7 4 3 代入 7 4 2 整理可得 7 4 4 令 7 4 5 则有 7 4 6 方程 7 4 5 的解为 或记为 7 4 7 式 7 4 6 是贝塞尔方程 其解为 7 4 8 Jm x 和Nm x 分别为第一类和第二类m阶贝塞尔函数 图7 4 2给出了几条低阶贝塞尔函数 纽曼函数和贝塞尔函数导数的曲线 图7 4 2贝塞尔函数及其导数曲线 7 4 9 应用TE波的边界条件表达式 7 3 10 有 所以 可得 7 4 10 由图7 4 2 b 可知 当 0时 Nm kc 场量在 0处应为有限值 因此 式 7 4 8 中B2 0 可得Hz的基本表达式为 7 4 11a 表7 4 1第一类贝塞尔函数导数的根值表 为m m 0 1 2 阶贝塞尔函数导数的第n n 1 2 个根 贝塞尔函数导数的根值如表7 4 1所示 一组m n对应于一种场结构 而各种场结构可同时存在于导行系统中 令C Hmn 于是 圆波导中TEmn模纵向磁场分量的一般表达式为 再由行波横 纵关系式 7 1 11 可得圆波导中TE波的所有横向电磁场分量 7 4 11b 7 4 11c 7 4 11d 7 4 11e TM波的各个场分量为 表7 4 2第一类贝塞尔函数的根值表 7 4 17a mn为m阶贝塞尔函数的第n个根 贝塞尔函数的根值如表7 4 2所示 7 4 17b 7 4 17c 7 4 17d 7 4 17e 在TE波和TM波中 m n不同 场的结构不同 m表示场沿圆周方向整驻波分布的个数 n表示是沿半径方向最大值或零点的个数 7 4 3圆波导的传输特性 1 截止波长和单模传输条件 TEmn模的截止波长为 7 4 18 TMmn模的截止波长为 7 4 19 圆波导中的几个不同模式的截止波长列于表7 4 3 其分布如图7 4 3所示 表7 4 3圆波导中不同模式的截止波长 图7 4 3圆波导中不同模式截止波长分布图 TE11是圆波导的主模 其单模传输条件为 2 简并现象 圆波导中存在两种简并现象 一种是TEmn模和TMmn模之间的简并 E H简并 另一种是极化简并 1 E H简并对于圆波导 由于 因此 故TE0n模和TM1n模为E H简并模 2 极化简并对同一组m n值 只要m 0 场量沿 坐标就可能存在cos m 和sin m 两种分布 两者的场结构形式完全相同 只是极化面不同 它们相互垂直 这种简并称为极化简并 利用圆波导的极化简并可以设计极化分离器和极化衰减器等器件 7 4 4圆波导中的常用模式 圆波导中的常用模式有TE11模 TM01模和TE01三种模式 1 TE11模 TE11模是圆波导中的主模 其截止波长 c 3 413a TE11模的场结构如图7 4 4所示 可见 其场结构与矩形波导中的TE10模相似 利用该特点可用方 圆波导变换器实现矩形波导TE10模到圆波导TE11模的激励 TE11模存在极化简并现象 由于圆波导加工中可能出现细微的不均匀性 传输过程中TE11模场的极化面会发生旋转 因此 尽管TE11模是圆波导中的主模 但它不宜作为传输模式 图7 4 4圆波导中TE11模的场结构 2 TM01模 TM01模是圆波导中E波的最低次模 也是圆波导中的第一个高次模 截止波长 c 2 613a 因为m 0 所以TM01模无极化简并现象 且为轴对称或圆对称模 M01模只有H E 和Ez三个场分量 场结构如图7 4 5所示 由于模的场结构特点及轴对称性 该模常用于雷达天线馈电系统的旋转铰链中 圆波导中TM01模引起的壁电流分布为 7 4 21 TM01模的壁电流分布只有z分量 对于传输该模式的圆波导 可以沿波导纵向开窄槽 插入金属探针作为测量线使用 7 5波导的损耗 实际上波导壁是非理想导体 其电导率值有限 导行系统中所填充的介质是非理想介质 所以电磁波在导行系统中传输时有一定的导体损耗和介质损耗 有损耗的波导中 电磁波的传播常数是复数 j 其中 为衰减常数 7 5 1波导壁损耗 由于存在损耗 电磁波在传播过程中 其电磁场量的幅度按e z衰减 传输功率按e 2 z衰减 因此 z处的传输功率为 7 5 1 其中 P0为z 0处的传输功率 若仅考虑波导壁的损耗 c 单位长度上的损耗功率为 7 5 2 所以 7 5 3 由电磁场理论 7 5 4 7 5 5 其中 是波导的横截面面积 微分面元矢量d 的方向为 z方向 是单位长度的波导壁表面面积微分面元矢量d 的方