高二数学作业2(立体几何)

高二数学作业高二数学作业 2 立体几何 立体几何 一 选择题 1 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列四个命题 若 m 则 m 若 m n 则 m n 若 m 则 m 若 m m 则 其中为真命题的是 A B C D 2 用与球心距离为 1 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 A B C 8 D 8 3 8 2 32 32 3 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 其顶点都在 一个球面上 则该球的表面积为 A B C D 16 3 19 3 19 12 4 3 4 如右图所示 是一个正方体的表面展开图 A B C 均为棱的中点 D 是 顶点 则在正方体中 异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 A 2 5 B C D 3 5 10 5 5 5 5 图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3的几何体的三视图 则这个几何体外接球的表面积为 A 25 cm2 B cm2 C 77 cm2 D 144 cm2 77 2 6 如下图所示 正四棱锥 P ABCD 的底面积为 3 体积为 E 为 2 2 侧棱 PC 的中点 则 PA 与 BE 所成的角为 A B C D 6 4 3 2 7 直三棱柱 ABC A1B1C1的直观图及三视图如下图所示 D 为 AC 的中点 则下列命题是假命题的 是 A AB1 平面 BDC1 B A1C 平面 BDC1 C 直三棱柱的体积 V 4 D 直三棱柱的外接球的表面积为 4 3 8 已知圆锥的底面半径为 R 高为 3R 在它的所有内接圆柱中 全面积的最大值是 A 22 R2 B R2 C R2 D R2 9 4 8 3 5 2 二 填空题 9 已知 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 m 若 m n 且 m n 则 若 m m 则 若 m n 且 m n 则 其中真命题的序号是 10 圆台上 下底面面积分别是 4 侧面积是 6 这个圆台 的体积是 11 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点 则三棱锥 P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为 12 2011 天津文 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何 体的体积为 m3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 13 下图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 PD 平面 ABCD EC PD 且 PD AD 2EC 2 1 请画出该几何体的三视图 2 求四棱锥 B CEPD 的体积 14 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 ADC 45 AD AC 1 O 为 AC 的中点 PO 平面 ABCD PO 2 M 为 PD 的中点 1 证明 PB 平面 ACM 2 证明 AD 平面 PAC 3 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 16 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 2AC AA BC 2 1 若 D 为 AA1的中点 求证 平面 B1CD 平面 B1C1D 2 若二面角 B1 DC C1的大小为 60 求 AD 的长 高二数学作业高二数学作业 2 立体几何 立体几何 一 选择题 1 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列四个命题 若 m 则 m 若 m n 则 m n 若 m 则 m 若 m m 则 其中为真命题的是 A B C D 答案 C 解析 为空间面面平行的性质 是真命题 m n 可能异面 故该命题为假命题 直线 m 与平面 也可以平行也可以相交不垂直 故该命题是一个假命题 为真命题 故选 C 2 用与球心距离为 1 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 A B C 8 D 8 3 8 2 32 32 3 答案 B 解析 S圆 r2 1 r 1 而截面圆圆心与球心的距离 d 1 球的半径为 R r2 d22 V R3 故选 B 4 3 8 2 3 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 其顶点都 在一个球面上 则该球的表面积为 A B C D 16 3 19 3 19 12 4 3 答案 B 解析 设球半径是 R 依题意知 该三棱柱是一个底面边长为 2 侧棱长为 1 的正三棱柱 记上 下底面的中心分别是 O1 O 易知球心是线段 O1O 的中点 于是 R2 2 2 2 因此所求球的表面积是 4 R2 4 选 B 1 2 3 2 2 3 19 12 19 12 19 3 4 如右图所示 是一个正方体的表面展开图 A B C 均为棱的中点 D 是顶点 则在正方体中 异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 A B C D 2 5 3 5 10 5 5 5 答案 C 解析 把展开图复原为正方体后示意图如右图所示 EGF 为 AB 和 CD 所成的角 F 为正方体一棱的 中点 EF GF EG 5 22 cos EGF 10 5 5 图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3的几何体的三视图 则这个几何体外接球的表面 积为 A 25 cm2 B cm2 C 77 cm2 D 144 cm2 77 2 答案 C 解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示 由题意得 V h 5 6 20 h 4 1 3 1 2 从而易知 其外接球的半径为 r 1 2 42 52 62 77 2 从而外接球的表面积为 S 4 r2 4 2 77 选 C 77 2 6 如下图所示 正四棱锥 P ABCD 的底面积为 3 体积为 E 2 2 为侧棱 PC 的中点 则 PA 与 BE 所成的角为 A B C D 6 4 3 2 答案 C 解析 连接 AC BD 交于点 O 连接 OE 易得 OE PA 所求角为 BEO 由所给条件易得 OB OE PA BE 6 2 1 2 2 22 cos OEB OEB 60 选 C 1 2 7 直三棱柱 ABC A1B1C1的直观图及三视图如下图所示 D 为 AC 的中点 则下列命题是假命 题的是 A AB1 平面 BDC1 B A1C 平面 BDC1 C 直三棱柱的体积 V 4 D 直三棱柱的外接球的表面积为 4 3 答案 D 解析 由三视图可知 直三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 B1C1CB 是边长为 2 的正方形 底面 ABC 是等腰 直角三角形 AB BC AB BC 2 连接 B1C 交 BC1于点 O 连接 AB1 OD 在 CAB1中 O D 分 别是 B1C AC 的中点 OD AB1 AB1 平面 BDC1 故 A 正确 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC AA1 BD 又 AB BC 2 D 为 AC 的中点 BD AC BD 平面 AA1C1C BD A1C 又 A1B1 B1C1 A1B1 B1B A1B1 平面 B1C1CB A1B1 B1C BC1 B1C 且 BC1 B1C 0 BC1 平面 A1B1C BC1 A1C A1C 平面 BDC1 故 B 正确 V S ABC C1C 2 2 2 4 C 正确 1 2 此直三棱柱的外接球的半径为 其表面积为 12 D 错误 故选 D 3 8 已知圆锥的底面半径为 R 高为 3R 在它的所有内接圆柱中 全面积的最大值是 A 22 R2 B R2 C R2 D R2 9 4 8 3 5 2 答案 B 解析 如图所示 为组合体的轴截面 由相似三角形的比例关系 得 PO1 3x 圆柱的高为 PO1 3R x R 3R 3x 所以圆柱的全面积为 S 2 x2 2 x 3R 3x 4 x2 6 Rx 则当 x R 时 S 取最大值 3 4 Smax R2 9 4 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 9 已知 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 m 若 m n 且 m n 则 若 m m 则 若 m n 且 m n 则 其中真命题的序号是 答案 解析 若 m 则 m 与 可能相交 平行或 m 在平面 内 故 错 m n m n 则 与 可能平行 可能相交 故 错 10 圆台上 下底面面积分别是 4 侧面积是 6 这个圆台的体积是 答案 7 3 3 解析 上底半径 r 1 下底半径 R 2 S侧 6 设母线长为 l 则 1 2 l 6 l 2 高 h l2 R r 23 V 1 1 2 2 2 1 33 7 3 3 11 2011 天津文 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几 何体的体积为 m3 答案 4 解析 由三视图可知 此几何体的上面是正四棱柱 其长 宽 高 分别是 2 1 1 此几何体的下面是长方体 其长 宽 高分别是2 1 1 因此该几何体的体积 V 2 1 1 2 1 1 4 m3 12 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点 则三棱锥 P ABC 的主视图与左视图的面 积的比值为 答案 1 解析 依题意得三棱锥 P ABC 的主视图与左视图分别是一个三角形 且这两个三角形的底边 长都等于正方体的棱长 底边上的高也都相等 因此三棱锥 P ABC 的主视图与左视图的面积之比 等于 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 13 本小题满分 10 分 下图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 PD 平面 ABCD EC PD 且 PD AD 2EC 2 1 请画出该几何体的三视图 2 求四棱锥 B CEPD 的体积 解析 1 该组合体的三视图如下图所示 2 因为 PD 平面 ABCD PD 平面 PDCE 所以平面 PDCE 平面 ABCD 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 BC CD 且 BC DC AD 2 又因为平面 PDCE 平面 ABCD CD BC 平面 ABCD 所以 BC 平面 PDCE 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又因为 EC PD PD 2 EC 1 所以四边形 PDCE 为一个直角梯形 其面积 S梯形 PDCE PD EC DC 3 2 3 1 2 1 2 所以四棱锥 B CEPD 的体积 VB CEPD S梯形 PDCE BC 3 2 2 1 3 1 3 14 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 ADC 45 AD AC 1 O 为 AC 的中点 PO 平面 ABCD PO 2 M 为 PD 的中点 1 证明 PB 平面 ACM 2 证明 AD 平面 PAC 3 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值 解析 1 连接 BD MO 在平行四边形 ABCD 中 因为 O 为 AC 的中点 所以 O 为 BD 的中 点 又 M 为 PD 的中点 所以 PB MO 因为 PB 平面 ACM MO 平面 ACM 所以 PB 平面 ACM 2 因为 ADC 45 且 AD AC 1 所以 DAC 90 即 AD AC 又 PO 平面 ABCD AD 平面 ABCD 所以 PO AD 而 AC PO O 所以 AD 平面 PAC 3 取 DO 中点 N 连接 MN AN 因为 M 为 PD 的中点 所以 MN PO 且 MN PO 1 由 1 2 PO 平面 ABCD 得 MN 平面 ABCD 所以 MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 在 Rt DAO 中 AD 1 AO 所以 DO 从而 AN DO 在 Rt ANM 中 1 2 5 2 1 2 5 4 tan MAN 即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 MN AN 1 5 4 4 5 5 4 5 5 15 2010 江苏 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 90 得 BC DC 又 PD DC D 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连接 DE DF 易证 DE BC DF PC 则 DE 面 PBC 点 D E 到面 PBC 的距离相等 点 A 到面 PBC 的距离为点 D 到面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 面 PCD 面 PBC 面 PCD 又 DF PC DF 面 PBC PD DC 1 DF 2 2 点 A 到面 PBC 的距离为 2 方法二 连接 AC 设点 A 到面 PBC 的距离为 h AB DC BCD 90 ABC 90 由 AB 2 BC 1 得 S ABC AB BC 2 1