容斥原理习题加答案

1 1 现有 50 名学生都做物理 化学实验 如果物理实验做正确的有 40 人 化 学实验做正确的有 31 人 两种实验都错的有 4 人 则两种实验都做对的有 A 27 人 B 25 人 C 19 人 D 10 人 答案 B 解析 直接代入公式为 50 31 40 4 A B 得 A B 25 所以答案为 B 2 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半 其中 25 是白色的 75 是蓝色的 如果这批衬衫共有 100 件 其中大号白色衬衫有 10 件 小号蓝 色衬衫有多少件 A 15 B 25 C 35 D 40 答案 C 解析 这是一种新题型 该种题型直接从求解出发 将所求答案设为 A B 本题设小号和蓝色分别为两个事件 A 和 B 小号占 50 蓝色占 75 直 接代入公式为 100 50 75 10 A B 得 A B 35 3 某高校对一些学生进行问卷调查 在接受调查的学生中 准备参加注册会 计师考试的有 63 人 准备参加英语六级考试的有 89 人 准备参加计算机考试 的有 47 人 三种考试都准备参加的有 24 人 准备只选择两种考试都参加的有 46 人 不参加其中任何一种考试的都 15 人 问接受调查的学生共有多少人 A 120 B 144 C 177 D 192 答案 A 解析 本题画图按中路突破原则 先填充三集合公共部分数字 24 再推 其他部分数字 根据每个区域含义应用公式得到 总数 各集合数之和 两两集合数之和 三集合公共数 三集合之外数 63 89 47 x 24 z 24 y 24 24 15 199 x z y 24 24 24 24 15 根据上述含义分析得到 x z y 只属于两集合数之和 也就是该题所讲的 只选择两种考试都参加的人数 所以 x z y 的值为 46 人 得本题答案为 120 4 对某单位的 100 名员工进行调查 结果发现他们喜欢看球赛和电影 戏剧 其中 58 人喜欢看球赛 38 人喜欢看戏剧 52 人喜欢看电影 既喜欢看球赛又 喜欢看戏剧的有 18 人 既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人 三种都喜欢看 的有 12 人 则只喜欢看电影的有多少人 A 22 人 B 28 人 C 30 人 D 36 人 答案 A 解析 本题画图按中路突破原则 先填充三集合公共部分数字 12 再推 其他部分数字 根据各区域含义及应用公式得到 总数 各集合数之和 两两集合数之和 三集合公共数 三集合之外数 100 58 38 52 18 16 12 x 12 0 因为该题中 没有三种都不喜 欢的人 所以三集合之外数为 0 解方程得到 x 14 52 x 12 4 Y 14 12 4 Y 得到 Y 22 人 5 某班统计考试成绩 数学得 90 分上的有 25 人 语文得 90 分以上的有 21 人 两科中 至少有一科在 90 分以上的有 38 人 问两科都在 90 分以上的有多少人 解 设 A 数学成绩 90 分以上的学生 B 语文成绩 90 分以上的学生 那么 集合 A B 表示两科中至少有一科在 90 分以上的学生 由题意知 A 25 B 21 A B 38 现要求两科均在 90 分以上的学生人数 即求 A B 由容斥原理得 A B A B A B 25 21 38 8 点评 解决本题首先要根据题意 设出集合 A B 并且会表示 A B A B 再利用 容斥原理求解 6 某班同学中有 39 人打篮球 37 人跑步 25 人既打篮球又跑步 问全班参加篮球 跑步这两项体育活动的总人数是多少 解 设 A 打篮球的同学 B 跑步的同学 则 A B 既打篮球又跑步的同学 A B 参加打篮球或跑步的同学 应用容斥原理 A B A B A B 39 37 25 51 人 7 某年级的课外学科小组分为数学 语文 外语三个小组 参加数学小组的有 23 人 参加语文小组的有 27 人 参加外语小组的有 18 人 同时参加数学 语文两个小组的有 4 人 同时参加数学 外语小组的有 7 人 同时参加语文 外语小组的有 5 人 三个小组都参加的 有 2 人 问 这个年级参加课外学科小组共有多少人 解 1 设 A 数学小组的同学 B 语文小组的同学 C 外语小组的同学 A B 数学 语文小组的同学 A C 参加数学 外语小组的同学 B C 参加语文 外语小组的同学 A B C 三个小组都参加的同学 由题意知 A 23 B 27 C 18 A B 4 A C 7 B C 5 A B C 2 根据容斥原理二得 A B C A B C A B A C B C A B C 23 27 18 4 5 7 2 54 人 山东公务员行测 数量关系之容斥问题解题原理及方法山东公务员行测 数量关系之容斥问题解题原理及方法 解 2 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数 然后求出最后结果 设 A B C 分别表示参加数学 语文 外语小组的同学的集合 其图分割成七个互 不相交的区域 区域 即 A B C 表示三个小组都参加的同学的集合 由题意 应填 2 区域 表示仅参加数学与语文小组的同学的集合 其人数为 4 2 2 人 区域 表示仅参加 数学与外语小组的同学的集合 其人数为 7 2 5 人 区域 表示仅参加语文 外语小组的 同学的集合 其人数为 5 2 3 人 区域 表示只参加数学小组的同学的集合 其人数为 23 2 2 5 14 人 同理可把区域 所表示的集合的人数逐个算出 分别填入相应的区 域内 则参加课外小组的人数为 14 20 8 2 5 3 2 54 人 点评 解法 2 简单直观 不易出错 由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出 来了 因此提供了较多的信息 易于回答各种方式的提问 8 某车间有工人 100 人 其中有 5 个人只能干电工工作 有 77 人能干车工工作 86 人 能干焊工工作 既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人 解 工人总数 100 只能干电工工作的人数是 5 人 除去只能干电工工作的人 这个 车间还有 95 人 利用容斥原理 先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分 其 总数为 163 然后找出这一公共部分 即 163 95 68 9 某次语文竞赛共有五道题 满分不是 100 分 丁一只做对了 1 2 3 三题得了 16 分 于山只做对了 2 3 4 三题 得了 25 分 王水只做对了 3 4 5 三题 得了 28 分 张灿只做对了 1 2 5 三题 得了 21 分 李明五个题都对了他得了多少分 解 由题意得 前五名同学合在一起 将五个试题每个题目做对了三遍 他们的总分 恰好是试题总分的三倍 五人得分总和是 16 25 30 28 21 120 因此 五道题满分总和 是 120 3 40 所以李明得 40 分 10 某大学有外语教师 120 名 其中教英语的有 50 名 教日语的有 45 名 教法语的有 40 名 有 15 名既教英语又教日语 有 10 名既教英语又教法语 有 8 名既教日语又教法语 有 4 名教英语 日语和法语三门课 则不教三门课的外语教师有多少名 解 本题