新编物理基础学上册第5章课后习题(每题都有)详细答案

第五章 5 1 有一弹簧振子 振幅mA 2 100 2 周期sT0 1 初相 4 3 试写出它的振动位移 速度和加速度方程 分析 根据振动的标准形式得出振动方程 通过求导即可求解速度 和加速度方程 解 振动方程为 2 cos cos t T AtAx 代入有关数据得 3 0 02cos 2 4 xtSI 振子的速度和加速度分别是 3 0 04 sin 2 4 vdx dttSI 222 3 0 08cos 2 4 ad x dttSI 5 2 若简谐振动方程为mtx 4 20cos 1 0 求 1 振幅 频率 角频率 周期和初相 2 t 2s 时的位移 速度和加速度 分析 通过与简谐振动标准方程对比 得出特征参量 解 1 可用比较法求解 根据 4 20cos 1 0 cos ttAx 得 振幅0 1Am 角频率20 rad s 频率 1 210s 周期1 0 1Ts 4rad 2 2ts 时 振动相位为 20 4 40 4 trad 由cosxA sinA 22 cosaAx 得 2 0 0707 4 44 279 xmm s am s 5 3 质量为kg2的质点 按方程 6 5sin 2 0SItx 沿着 x 轴振动 求 1 t 0 时 作用于质点的力的大小 2 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置 分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解 位移最 大时受力最大 解 1 跟据xmmaf 2 6 5sin 2 0 tx 将0 t代入上式中 得 5 0fN 2 由xmf 2 可知 当0 2xAm 时 质点受力最大 为 10 0fN 5 4 为了测得一物体的质量 m 将其挂到一弹簧上并让其自由振动 测得振动频率Hz0 1 1 而当将另一已知质量为 m的物体单独挂到 该弹簧上时 测得频率为Hz0 2 2 设振动均在弹簧的弹性限度内进 行 求被测物体的质量 分析 根据简谐振动频率公式比较即可 解 由mk 2 1 对于同一弹簧 k 相同 采用比较法可得 m m 2 1 解得 4mm 5 5 一放置在水平桌面上的弹簧振子 振幅mA 2 100 2 周期 T 0 5s 当 t 0 时 1 物体在正方向端点 2 物体在平衡位置 向负方向运动 3 物体在mx 2 100 1 处 向负方向运动 4 物体在mx 2 100 1 处 向负方向运动 求以上各种情况的振动方程 分析 根据旋转矢量图由位移和速度确定相位 进而得出各种情况 的振动方程 解 设所求振动方程为 4cos 02 0 2 cos tt T Ax 由 A 旋转矢量图可求出 3 2 3 2 0 4321 题图 5 5 1 0 02cos 4 xt SI 2 0 02cos 4 2 xtSI 3 0 02cos 4 3 xtSI 4 2 0 02cos 4 3 xtSI 5 6 在一轻弹簧下悬挂 0 100mg 砝码时 弹簧伸长 8cm 现在这根弹 簧下端悬挂250mg 的物体 构成弹簧振子 将物体从平衡位置向下 拉动 4cm 并给以向上的 21cm s 的初速度 令这时 t 0 选 x 轴向 下 求振动方程 分析 在平衡位置为原点建立坐标 由初始条件得出特征参量 解 弹簧的劲度系数lgmk 0 当该弹簧与物体m构成弹簧振子 起振后将作简谐振动 可设其振 动方程为 cos tAx 角频率为mk 代入数据后求得7 rad s 以平衡位置为原点建立坐标 有 00 0 04 0 21 xm vm s 据 2 0 2 0 vxA 得 0 05Am 据 A x0 1 cos 得0 64rad 由于 0 0v 应取 64 0 rad 于是 所求方程为 64 07cos 05 0 mtx 5 7 某质点振动的 x t 曲线如题图 5 7 所示 求 1 质点的振动方程 2 质点到达 P 点相应位置所需的最短时间 分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率 求出质点的振动方程 并根据 P 点的相位确定最短时间 0 00 0 1cos 0 2 0 3 1 32 5 6 5 0 1cos 63 20 xAt txAv tst xtm P 解 设所求方程为 从图中可见 由旋转矢量法可知 又 故 点的相位为 0 5 00 4 63 0 4 ppp ttts Ps 即质点到达点相应状态所要的最短时间为 5 8 有一弹簧 当下面挂一质量为m的物体时 伸长量为m 2 108 9 若使弹簧上下振动 且规定向下为正方向 1 当 t 0 时 物体在平衡位置上方m 2 100 8 由静止开始向下 题图 5 7 运动 求振动方程 2 当 t 0 时 物体在平衡位置并以 0 6m s 的速度向上运动 求 振动方程 分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程 解 设所求振动方程为 cos tAx 其中角频率 l g m l mg mk 代入数据得 10 rad s 1 以平衡位置为原点建立坐标 根据题意有 00 0 08 0 xm v 据 2 0 2 0 vxA 得 0 08Am 据 A x0 1 cos 得rad 由于 0 v 0 不妨取rad 于是 所求方程为 1 0 08cos 10 xtSI 2 以平衡位置为原点建立坐标 根据题意有 00 0 0 6 xvm s 据 2 0 2 0 vxA 得 0 06Am 据 A x0 1 cos 得 2rad 由于 0 0v 应取 2rad 于是 所求方程为 2 0 06cos 10 2 xtSI 5 9 一质点沿 x 轴作简谐振动 振动方程为 SI 3 t2cos 104x 2 求 从 t 0 时刻起到质点位置在 x 2cm 处 且向 x 轴正方向运动 的最短时间 分析 由旋转矢量图求得两点相位差 结合振动方程中特征量即可 确定最短时间 解 依题意有旋转矢量图 从图可见 0 2 0 tt 而 0 1 2 ts 故所求时间为 5 10 两个物体同方向作同方向 同频率 同振幅的简谐振动 在振 动过程中 每当第一个物体经过位移为2 A的位置向平衡位置运动 时 第二个物体也经过此位置 但向远离平衡位置的方向运动 试 利用旋转矢量法求它们的相位差 分析 由旋转矢量图求解 根据运动速度的方向与位移共同确定相 位 解 由于2 10 Ax 10 0v 可求得 4 1 由于2 20 Ax 20 0v 可求得 4 2 如图 5 10 所示 相位差 12 2 解答图 5 9 题图 5 10 题图 5 11 题图 5 11 5 11 一简谐振动的振动曲线如题图 5 11 所示 求振动方程 分析 利用旋转矢量图求解 由图中两个确定点求得相位 再根据 时间差求得其角频率 解 设所求方程为 cos tAx 当 t 0 时 11 5 0 xcm v 由 A 旋转矢量图可得 0 2 3 t rad 当 t 2s 时 从 x t 图中可以看出 22 0 0 xv 据旋转矢量图可以看出 2 3 2 t rad 所以 2 秒内相位的改变量 20 3 22 35 6 tt rad 据t 可求出 5 12 trad s 于是 所求振动方程为 52 0 1cos 123 xtSI 5 12 在光滑水平面上 有一作简谐振动的弹簧振子 弹簧的劲度系 数为 K 物体的质量为m 振幅为 A 当物体通过平衡位置时 有一质量 为 m的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起 求 1 m和m粘结 后 系统的振动周期和振幅 2 若当物体到达最大位移处 泥团竖直落到物体上 再求系统振动 的周期和振幅 分析 系统周期只与系统本身有关 由质量和劲度系数即可确定周 期 而振幅则由系统能量决定 因此需要由动量守恒确定碰撞前后 速度 从而由机械能守恒确定其振幅 解 1 设物体通过平衡位置时的速度为v 则由机械能守恒 22 11 22 K KAmvvA m 当 m竖直落在处于平衡位置m上时为完全非弹性碰撞 且水平方向合 外力为零 所以 mvmm u m uv mm 此后 系统的振幅变为 A 由机械能守恒 有 22 11 22 KAmm u mmm AuA Kmm 系统振动的周期为 K mm 2T 2 当m在最大位移处 m竖直落在m上 碰撞前后系统在水平方向 的动量均为零 因而系统的振幅仍为 A 周期为 K mm 2 5 13 设细圆环的质量为 m 半径为 R 挂在墙上的钉子上 求它微小 振动的周期 分析 圆环为一刚体须应用转动定律 而其受力可考虑其质心 解 如图所示 转轴 o 在环上 角量以逆时针为正 则振动方程为 sinmgR dt d J 2 2 当环作微小摆动 sin时 2 2 2 0 d dt mgR J 2 2JmR 22 2 R T g 5 14 一轻弹簧在 60 N 的拉力下伸长 30 cm 现把质量为 4 kg 的 物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 再把物体向下拉 10 cm 然 后由静止释放并开始计时 求 1 此小物体是停在振动物体上面还 是离开它 2 物体的振动方程 3 物体在平衡位置上方 5 cm 时 弹簧对物体的拉力 4 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运 动到上方 5 cm 处所需要的最短时间 5 如果使放在振动物体上的 小物体与振动物体分离 则振幅A需满足何条件 二者在何位置开 解答图 5 13 始分离 分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零 即两物体具 有相同的加速度 而小物体此时加速度为重力加速度 因此可根据 两物体加速度确定分离条件 解 选平衡位置为原点 取向下为x轴正方向 由 fkx 200 f kN m x 507 07 k mrad s 1 小物体受力如图 设小物体随振动物体的加速度为a 按牛顿第二定律有 maNmg agmN 当N 0 即a g时 小物体开始脱离振动物体 已知 A 10 cm 200 7 07 kN mrad s 系统最大加速度为 22 max 5aAm s 此值小于g 故小物体不会离开 2 00 010cos 0sintxcmAvA 时 解以上二式得 100Acm 振动方程0 1cos 7 07 xt SI 3 物体在平衡位置上方 5 cm 时 弹簧对物体的拉力 fm ga 而 22 2 5axm s 29 2fN 4 设 1 t时刻物体在平衡位置 此时0 x 即 1 0cos At 此时物体向上运动 0v 11 0 222 22 tts 再设 2 t时物体在平衡位置上方5cm处 此时5xcm 即 2 5cos At N mg 题图 5 14 x 5 cm O 题图 5 14 此时物体向上运动 0v 22 22 0 296 33 tts 21 0 074ttts 5 如使a g 小物体能脱离振动物体 开始分离的位置由N 0 求得 xag 2 2 19 6xgcm 即在平衡位置上方 19 6 cm 处开始分离 由gAa 2 max 可得 2 19 6Agcm 5 15 在一平板下装有弹簧 平板上放一质量为 1 0Kg 的重物 现使 平板沿竖直方向作上下简谐振动 周期为 0 50s 振幅为m 2 100 2 求 1 平板到最低点时 重物对板的作用力 2 若频率不变 则平板以多大的振幅振动时 重物会跳离平板 3 若振幅不变 则平板以多大的频率振动时 重物会跳离平板 分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零 解 重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动 向下为正建立坐标 振动方程为 4cos 02 0 tx 设平板对重物的作用力为 N 于是重物在运动中所受合力为 fmgNma 2 ax 而 据牛顿第三定律 重物对平板的作用力 N为 2x gmNN 1 在最低点处 Ax 由上式得 12 96NN 2 频率不变时 设振幅变为 A 在最高点处 Ax 重物与平 板间作用力最小 设0 N可得 2 0 062Agm 3 振幅不变时 设频率变为 在最高点处 Ax 重物与平 板间作用力最小 设0 N可得 1 2 3 52 2 g AHz 5 16 一物体沿 x 轴作简谐振动 振幅为 0 06m 周期为 2 0s 当 t 0 时位移为0 03m 且向轴正方向运动 求 1 t 0 5s 时 物体的位移 速度和加速度 2 物体从0 03xm 处向 x 轴负方向运动开始 到达平衡位置 至 少需要多少时间 分析 通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间 解 设该物体的振动方程为 cos tAx 依题意知 2 0 06Trad s Am 据 A x0 1 cos 得 3 rad 由于 0 0v 应取 3 rad 可得 3 cos 06 0 tx 1 0 5ts 时 振动相位为 3 6trad 据 22 cos sin cosxAvAaAx 得 2 0 052 0 094 0 512 xmvm sam s 2 由 A 旋转矢量图可知 物体从0 03xm m 处向 x 轴负方向运 动 到达平衡位置时 A 矢量转过的角度为5 6 该过程所需 时间为 0 833ts 题图 5 16 5 17 地球上 设 2 8 9smg 有一单摆 摆长为 1 0m 最大摆角为 5 求 1 摆的角频率和周期 2 设开始时摆角最大 试写出此摆的振动方程 3 当摆角为3 时的角速度和摆球的线速度各为多少 分析 由摆角最大的初始条件可直接确定其初相 解 1 3 13 g lrad s 2 2 01Ts 2 由 t 0 时 max 5 可得振动初相 0 则以角量表示的振 动方程为cos3 13 36 t SI 3 由cos3 13 36 t SI 当3 时 有 max cos 0 6 而质点运动的角速度为 2 maxmax sin1 cos0 218 ddtrad s 线速度为 0 218 vl ddtm s 5 18 有一水平的弹簧振子 弹簧的劲度系数 K 25N m 物体的质量 m 1 0kg 物体静止在平衡位置 设以一水平向左的恒力 F 10 N 作用 在物体上 不计一切摩擦 使之由平衡位置向左运动了 0 05m 此时 撤除力 F 当物体运动到最左边开始计时 求物体的运动方程 分析 恒力做功的能量全部转化为系统能量 由能量守恒可确定系 统的振幅 解 设所求方程为 0 cos xAt 5 K rad s m 因为不计摩擦 外力做的功全转变成系统的能量 故 2 12 0 2 2 Fx FxKAAm K 00 0 txA 又 故所求为 0 2cos 5 xtSI 5 19 如题图 5 19 所示 一质点在x轴上作简谐振动 选取该质点 向右运动通过A点时作为计时起点 t 0 经过 2 秒后质点第一 次经过B点 再经过 2 秒后质点第二次经过B点 若已知该质点在 A B两点具有相同的速率 且AB 10 cm 求 1 质点的振动方 程 2 质点在A点处的速率 题图 5 19 AB v x 分析 由质点在A B两点具有相同的速率可知A B两点在平衡位 置两侧距平衡位置相等距离的位置 再联系两次经过 B 点的时间即 可确定系统的周期 而相位可由A B两点位置确定 解 由旋转矢量图和 AB vv 可知 24 8TsTs 11 1 2 84 srad s 1 以AB的中点为坐标原点 x轴指向右方 05costxcmA 时 25cos 2 sintsxcmAA 时 vB x A B O t 0 t 2 s t 4 s vA vB 题解图 5 19 题图 5 18 由上二式解得 1tg 因为在A点质点的速度大于零 所以 35 44 或 cos5 2Axcm 振动方程 2 3 5 2 10cos 44 t xSI 2 速率 2 d5 2103 sin d444 xt SI t v 当t 0 时 质点在A点 221 d5 23 10sin 3 93 10 d44 x m s t v 5 20 一物体放在水平木板上 这木板以Hz2 的频率沿水平直线作 简谐振动 物体和水平木板之间的静摩擦系数50 0 s 求物体在木 板上不滑动时的最大振幅 max A 分析 物体在木板上不滑动的临界条件是摩擦力全部用来产生其加 速度 2 max 222 max mg0 1 2 3 cos 4 1 2 3 4 4 0 031 x xs ss ss N fma fN aAt amg mg Aggm 解 设物体在水平木板上不滑动 竖直方向 水平方向 且 又有 由得 再由此式和得 5 21 在一平板上放一质量为2mkg 的物体 平板在竖直方向作简谐 振动 其振动周期0 5Ts 振幅4Acm 求 1 物体对平板的 压力的表达式 2 平板以多大的振幅振动时 物体才能离开平板 分析 首先确定简谐振动方程 再根据物体离开平板的临界位置为 最高点 且对平板压力为零 解 物体与平板一起在竖直方向上作简谐振动 向下为正建立坐标 振动方程为 0 04cos 4 xtSI 设平板对物体的作用力为 N 于是物体在运动中所受合力为 xmmaNmgf 2 1 据牛顿第三定律 物体对平板的作用力 N为 2x gmNN 即 4cos 28 1 6 19 16 22 txgmN 2 当频率不变时 设振幅变为 A 在最高点处 xA 物体与 平板间作用力最小 令0 N可得 2 0 062Agm 5 22 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动 已知氢原子质量 Kgm 27 1068 1 振动频率Hz 14 100 1 振幅mA 11 100 1 试计 算 1 此氢原子的最大速度 2 与此振动相联系的能量 分析 振动能量可由其最大动能 此时势能为零 确定 解 1 最大振动速度 3 26 28 10 m vAAm s 2 氢原子的振动能量为 220 1 3 31 10 2 m EmvJ 5 23 一物体质量为 0 25Kg 在弹性力作用下作简谐振动 弹簧的 劲度系数 k 25N m 如果起始振动时具有势能 0 06J 和动能 0 02J 求 1 振幅 2 动能恰等于势能时的位移 3 经过平衡位置时物体的速度 分析 简谐振动能量守恒 其能量由振幅决定 解 2 1 1k 2 KP EEEA 1 2 2 k 0 08 KP AEEm 22 1 2 k2 2 2 KPKPPP EEEAEEEEEkx 因为 当时 有 又因为 22 2 20 0566 xAxAm 得 即 2 1 3 0 2 KP xEEEmv 过平衡点时 此时动能等于总能量 1 2 2 0 8 KP vEEmm s 5 24 一定滑轮的半径为 R 转动惯量为 J 其上挂一轻绳 绳的一 端系一质量为 m 的物体 另一端与一固定的轻弹簧相连 如题图 5 24 所示 设弹簧的劲度系数为 k 绳与滑轮间无滑动 且忽略轴 的摩擦力及空气阻力 现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后放手 证明物体作简谐振动 并求出其角频率 分析 由牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可 得到证明 解 取如图 x 坐标 平衡位置为原点 O 向下为正 m在平衡位置时 弹簧已伸长 0 x 0 1 mgkx 设m在x位置 分析受力 这时弹簧伸长 0 xx 20 2 Tk xx 由牛顿第二定律和转动定律列方程 1 3 mgTma m 题图 5 24 12 4 T RT RJ 5 aR 联立 1 2 3 4 5 解得x mRJ k a 2 由于x系数为一负常数 故物体做简谐振动 其角频率为 2 2 2 mRJ kR mRJ k 5 25 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 2 1 1 4 10cos2 8 xtSI 题图 5 24 2 2 1 3 10cos2 4 xtSI 求 1 合振动的振幅和初相 2 若另 有一同方向同频率的简谐振动 2 3 5 10cos 2 xtSI 则 为多少 时 31 xx 的振幅最大 又为多少时 32 xx 的振幅最小 分析 合振动的振幅由其分振动的相位差决定 解 1 2cos 21 tAxxx 按合成振动公式代入已知量 可得合振幅及初相为 2222 4324cos 2 4 106 48 10Am 4sin 4 3sin 2 1 12 4cos 4 3cos 2 arctgrad 所以 合振动方程为 12 12cos 1048 6 2 SItx 2 当 k2 1 即4 2 k时 31 xx 的振幅最大 当 12 2 k 即2 32 k时 32 xx 的振幅最小 5 26 有两个同方向同频率的振动 其合振动的振幅为0 2m 合振动 的相位与第一个振动的相位差为6 第一个振动的振幅为0 173m 求第二个振动的振幅及两振动的相位差 分析 根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅 解 采用旋转矢量合成图求解 取第一个振动的初相位为零 则合振动的相位为 6 据 21 AAA 可知 12 AAA 如图 1 0cos2 1 2 2 12 mAAAAA 由于A 1 A 2 A的量值恰好满足勾股定理 故 1 A与 2 A垂直 即第二振动与第一振动的相位差为2 题图 5 26 5 27 一质点同时参与两个同方向的简谐振动 其振动方程分别为 2 1 5 10cos 4 3 xtSI 2 2 3 10sin 4 6 xtS