求锐角三角函数值的策略

1 3 求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值的策略 求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容 求锐角三角函数值的方法 较多 解决时 要根据不同的已知条件 选择灵活的解题方法 一 利用定义求解一 利用定义求解 例例 1 三角形在正方形网格纸中的位置如图 1 所示 则 sin 的值是 A B C D 4 3 3 4 5 3 5 4 分析分析 由正方形网格可知角 的对边的长为 3 邻边 的长为 4 要求 sin 只要根据勾股定理求出三角形的斜 边 再根据三角函数的定义计算即可 解解 设 的对边为 a 邻边为 b 斜边为 c 则 a 3 b 4 所以 c 543 22 所以 sin 选 C 5 3 c a 评注评注 解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长 然后直接 根据定义进行求值 二 设参数求解二 设参数求解 例例 2 在 ABC 中 C 90 sinB 求 tanA 的值 5 4 分析 分析 正切函数的定义 sinB 可设 AC 4k AB 5k 再利用勾 AB AC 5 4 股定理 求出 AB 3k 根据正切函数的定义可求出 tanA 的值 解解 在 ABC 中 C 90 sinB 则设 AC 4k AB 5k 由勾 AB AC 5 4 股定理可求 BC 3k 所以 tanA ACAB 22 4 3 AC BC 评注 评注 在直角三角形中 已知一个锐角的一个三角函数值 就可知道与此 三角函数值有关的边的比值 若知道两条边的比值 就可求出与之对应的三角 函数值 不需要知道具体的边长 所以当已知条件为某个角的三角函数值 求 其它三角函数值时 可设参数表示出边长 然后再利用三角函数的定义求解 三 等角代换法三 等角代换法 例例 3 如图 2 在矩形 ABCD 中 DE AC 于 E 图 1 图 2 2 3 设 ADE ACD 且 AB 3 AD 4 则 tan BAC 等于多少 分析分析 要求 tan BAC 需求 DE AE 的长 但计算比较繁 而 Rt ABC 中 的边易求出 而由条件易得 ADE BAC 所以只需求出 tan BAC 即可 解解 在矩形 ABCD 中 DE AC 于 E 所以 DEA B 90 BC AD 3 由 AD BC 得 DAE ACB 所以 ADE BAC 所以 tan BAC AB BC 3 4 评注评注 在一个图形中有多个直角三角形时 当所求的角的三角函数值计算 比较麻烦或不易解决时 可考虑等角代换 四 化四 化 斜斜 为为 直直 法法 例例 4 如图 3 已知 AD 为等腰三角形 ABC 底边上的高 且 tan B AC 上有一点 E 满足 AE EC 2 3 那么 tan ADE 是 3 4 A B C D 5 3 3 2 2 1 3 1 分析分析 要求 tan ADE 值 需要构造包含 ADE 的直角 三角形 为此需要过点作 FE AD 只要求得即可 FD EF 解解 因为 AD BC 于 D AB AC 所以 BAD CAD 因为 tan B B CAD 90 所以 tan CAD 3 4 4 3 作 EF AD 交 AD 于 F 则 tan CAD 所以 EF 4 3 AF EF AF 4 3 因为 AD BC EF AD 所以 EF CB 又 AE EC 2 3 所以 AF FD 2 3 所以 FE 所以 tan ADE AF 2 3 故选 C 2 1 2 3 4 3 AF AF FD EF 评注评注 当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时 其解题思路是 构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角 本采用了构造直角三角形 的方法 五 利用方程思想五 利用方程思想 图 3 3 3 例例 5 如图 4 ABC 中 C 90 AC BC 7 AC BC AB 5 则 tanB 分析分析 要求 tanB 根据锐角三角函数的定义 则需要求到对边 AC 和邻边 BC 的长 因为知道斜边 AB 5 且 AC BC 7 所以 可以根据勾股定理进行计算 解解 设 AC x 则 BC 7 x 根据勾股定理 得 x2 7 x 2 52 解得 x 4 所以 AC 4 BC 3 所以 tanB 3 4 BC AC 评注评注 本题的解题思路是根据已知条件确定 B 的对边和邻边的长 然后根 据定义进行求值 同时体现了方程思想在求三角函数值中的应用 实际上 本 题是一道填空题 不通过计算直接观察就可以解决 因为斜边是 5 且两条直 角边的和为 7 所以两条直角边的长分别是 4 和 3 六 数形结合法六 数形结合法 例例 6 已知 tan 求 的值 4 3 cossin cossin 分析 分析 解决本题的关键是运用三角函数的定义 由已知条件 tan 可 4 3 设在 Rt ABC C 90 B 则有 AC 3k BC 4k 可求出 sin cos 将其代入计算即可 5 3 5 4 解解 在 Rt ABC 中 令 C 90 B 由 tan 可设 4 3 AC 3k BC 4k 由勾股定理得 AB 5k