容斥原理之三者容斥问题

容斥原理之三者容斥问题 浙江行测答题技巧 容斥原理之三者容斥问题浙江行测答题技巧 容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜 容斥原理是行测数学运算中常考知识点 容斥原理是指 在计数时 必须注意无一重复 且无遗漏 这种方法的基本思想是 先不考虑重叠的情况 把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来 然后再把计数时重复计算的数目排斥出 去 使得计算的结果既无遗漏又无重复 这种计数的方法称为容斥原理 例1 一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种 其中喜欢数学课的有49人 喜欢语文课的有52人 二者都喜欢的有21人 则这个班级有多少人 中公点拨 本题就是一个容斥问题 解决此问题的方法就是先算 49 52 101 把含于 某内容中的所有对象的数目先计算出来 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即 101 21 80人 则整个班级的人数就有80人 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题 所谓三者容斥是指在 题干中有三种集合 集合就是具有共同属性所以元素的的整体 例如上题中喜欢数学的人构 成一个集合 三者容斥问题有一个基本公式 A B C 代表三个集合 则有 A BUC A B C A B A C B C A B C 这个公式表达的含义是 A B C 再减去两两相交之后 中间 E 即 A B C 这部分被减 没了 而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉 故要再加回来 所以又加了一个 A B C 例2 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查 调查他们对三种大球 篮球 足球 排球 的与否 结果显示 他们都至少喜欢三种大球中的一种 其中有58人喜欢篮球 有68 人喜欢足球 有62人喜欢排球 而且 篮球和足球都喜欢的有45人 足球和排球都喜欢的 有33人 三种球都喜欢的有12人 篮球和排球都喜欢的多少人 中公教育解析 由题意可画图如下 则有上述公式可知 58 68 62 45 33 篮球和排球都喜欢 12 100人 故喜欢篮球和排球的人有22人 例3 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查 调查他们对三种大球 篮球 足球 排球 的与否 结果显示 其中有58人喜欢篮球 有68人喜欢足球 有62人喜欢排球 而且 篮球和足球都喜欢的有45人 足球和排球都喜欢的有33人 三种球都喜欢的有12人 还有5 人三种球都不喜欢 则篮球和排球都喜欢的多少人 中公教育解析 本题和上题相比 较一般的三者容斥更为复杂 因为 题干中所出现 的喜欢篮球 喜欢足球 喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查 且题干中出现了同 时不属于这三种集合的元素 中公点拨 此类型题的做法大家只要记住构造全集即可 题干中不知道的设为未知数 外框的长方形代表全集 用 I 来表示 D 代表同时不属于集合 A B C 三个集合的元 素 构造全集 I A B C A B A C B C A B C D 由此可得本题 设篮球和排球都喜欢的有 x 人 则有 100 58 68 62 45 33 x 12 5 解得 x 27 中公教育专家提醒考生 容斥问题的关键在于计数时不能重复 不