勾股定理--最短距离问题

第 1 页 共 10 页 蚂蚁爬行的最短路径 正方体正方体 4 如图 一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处 它爬行的最 短路线是 A A P B B A Q B C A R B D A S B 解 根据两点之间线段最短可知选 A 故选 A 2 如图 边长为 1 的正方体中 一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 解 如图将正方体展开 根据 两点之间 线段最短 知 线段 AB 即为最短路线 AB 512 22 8 正方体盒子的棱长为 2 BC 的中点为 M 一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 解 将正方体展开 连接 M D1 根据两点之间线段最短 MD MC CD 1 2 3 第 6 题 第 7 题 第 2 页 共 10 页 A B 12 1 MD1 1323 22 2 1 2 DDMD 5 如图 点 A 的正方体左侧面的中心 点 B 是正方体的一个顶点 正方体的棱长为 2 一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 解 如图 AB 故选 C 10121 2 2 9 如图所示一棱长为 3cm 的正方体 把所有的面均分成 3 3 个小正方形 其边长都为 1cm 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm 则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点 最少要 用 2 5 秒钟 解 因为爬行路径不唯一 故分情况分别计算 进行大 小比较 再从各个路线中确定最 短的路线 1 展开前面右面由勾股定理得 AB cm 2 展开底面右面由勾股定理得 AB 5cm 所以最短路径长为 5cm 用时最少 5 2 2 5 秒 长方体长方体 10 2009 恩施州 如图 长方体的长为 15 宽为 10 高为 20 点 B 离点 C 的距离为 5 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 需要爬行的最短距离是 解 将长方体展开 连接 A B 根据两点之间线段最短 AB 25 第 3 页 共 10 页 AB A1B1 D C D1 C1 2 1 4 AB A1B1 D C D1 C1 2 1 4 11 如图 一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发 沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处 三 条棱长如图所示 问怎样走路线最短 最短路线长为 解 正面和上面沿 A1B1展开如图 连接 AC1 ABC1是直角三角形 AC1 534214 22 2 2 2 1 2 BCAB 18 2011 荆州 如图 长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm 高为 5cm 若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点 则蚂奴爬行的最短路径长为 cm 解 PA 2 4 2 12 QA 5 PQ 13 故答案为 13 19 如图 一块长方体砖宽 AN 5cm 长 ND 10cm CD 上的点 B 距地面的高 BD 8cm 地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食 需要爬行的最短路径是多少 解 如图 1 在砖的侧面展开图 2 上 连接 AB 第 4 页 共 10 页 则 AB 的长即为 A 处到 B 处的最短路程 解 在 Rt ABD 中 因为 AD AN ND 5 10 15 BD 8 所以 AB2 AD2 BD2 152 82 289 172 所以 AB 17cm 故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm 49 如图 长方体盒子 无盖 的长 宽 高分别 12cm 8cm 30cm 1 在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖 一只小虫从 D 处爬到 C 处去吃 有无数种走法 则最短路 程是多少 2 此长方体盒子 有盖 能放入木棒的最大长度是多少 12 如图所示 有一个长 宽都是 2 米 高为 3 米的长方体纸盒 一只小蚂蚁从 A 点爬到 B 点 那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米 解 由题意得 路径一 AB 路径二 AB 5 路径三 AB 5 5 米为最短路径 13 如图 直四棱柱侧棱长为 4cm 底面是长为 5cm 宽为 3cm 的长方形 一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表面爬到顶点 B 求 1 蚂蚁经过的最短路程 2 蚂蚁沿着棱爬行 不能重复爬行同一条棱 的最长路程 A B C D 12 8 30 第 5 页 共 10 页 解 1 AB 的长就为最短路线 然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行 则经过的路程为 cm 若蚂蚁沿侧面和底面爬行 则经过的路程为 cm 或 cm 所以蚂蚁经过的最短路程是 cm 2 5cm 4cm 5cm 4cm 3cm 4cm 5cm 30cm 最长路程是 30cm 15 如图 长方体的长 宽 高分别为 6cm 8cm 4cm 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 则蚂蚁爬行的最短路径的长是 解 第一种情况 把我们所看到的前面和上面组成一个平面 则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和 6cm 则所走的最短线段是 6 cm 第二种情况 把我们看到的左面与上面组成一个长方形 则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm 所以走的最短线段是 cm 第三种情况 把我们所看到的前面和右面组成一个长方形 则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和 4cm 所以走的最短线段是 2 cm 三种情况比较而言 第二种情况最短 51 圆柱形坡璃容器 高 18cm 底面周长为 60cm 在外侧距下底 1cm 点 S 处有一蜘蛛 与 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm 的点 F 处有一苍蝇 试求急于捕获苍 蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 16 如图是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为 20cm 3cm 2cm A 和 B 是 这个台阶上两个相对的端点 点 A 处有一只蚂蚁 想到点 B 处去吃可口的食物 则蚂蚁沿 着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 cm 第 6 页 共 10 页 解 三级台阶平面展开图为长方形 长为 20cm 宽为 2 3 3cm 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm 由勾股定理得 x2 202 2 3 3 2 252 解得 x 25 故答案为 25 17 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于 5cm 3cm 和 1cm A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点 A 点上有一只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食物 请你想一 想 这只蚂蚁从 A 点出发 沿着台阶面爬到 B 点 最短线路是 cm 解 将台阶展开 如下图 因为 AC 3 3 1 3 12 BC 5 所以 AB2 AC2 BC2 169 所以 AB 13 cm 所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm 答 蚂蚁爬行的最短线路为 13cm 圆柱圆柱 21 有一圆柱体如图 高 4cm 底面半径 5cm A 处有一蚂蚁 若蚂蚁欲爬行到 C 处 求 蚂蚁爬行的最短距离 解 AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离 C D 分别是 BE AF 的中点 AF 2 5 10 AD 5 AC 16cm 22 CDAD 故答案为 16cm 第 2 题 第 7 页 共 10 页 A B 5 12 22 有一圆形油罐底面圆的周长为 24m 高为 6m 一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对 角 B 处吃食物 它爬行的最短路线长为 解 AB m13125 22 23 如图 一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1的端点 A 到达 A1 若圆柱底面半径为 高为 5 则蚂蚁爬行的最短距离为 6 解 因为圆柱底面圆的周长为 2 12 高为 5 6 所以将侧面展开为一长为 12 宽为 5 的矩形 根据勾股定理 对角线长为 13 故蚂蚁爬行的最短距离为 13 24 如图 一圆柱体的底面周长为 24cm 高 AB 为 9cm BC 是上底面的直径 一只蚂蚁 从点 A 出发 沿着圆柱的侧面爬行到点 C 则蚂蚁爬行的最短路程是 解 如图所示 由于圆柱体的底面周长为 24cm 则 AD 24 12cm 2 1 又因为 CD AB 9cm 所以 AC 15cm 故蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是 15cm 故答案为 15 25 2006 荆州 有一圆柱体高为 10cm 底面圆的半径为 4cm AA1 BB1为相对的两条 母线 在 AA1上有一个蜘蛛 Q QA 3cm 在 BB1上有一只苍蝇 P PB1 2cm 蜘蛛沿圆 第 3 题 第 8 页 共 10 页 柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇 最短的路径是 cm 结果用带 和根号的式子表 示 解 QA 3 PB1 2 即可把 PQ 放到一个直角边是 4 和 5 的直角三角形中 根据勾股定理得 QP 最短路线问题通常是以 平面内连结两点的线中 线段最短 为原则引申出来的 人们在生产 生活实践中 常 常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题 下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题 对于数学中的最短路线问题可以分为两大类 第一类为在同一平面内 第二类为空间几何体中的最短路线 问题 对于平面内的最短路线问题可先画出方案图 然后确定最短距离及路径图 求三点距离相等时 一点到两点的距离最短设计方案求三点距离相等时 一点到两点的距离最短设计方案 例1 为改善白银市民吃水质量 市政府决定从新建的 A 水厂向 B C 供水站供水 已知 A B C 之间的距离相等 为了节约成本降低造价 请你设计一种最优方案 使铺设的输水管道最短 在图中用实 线画出你所设计方案的线路图 解析 可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质 可求最短路线及设计图 解析 可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质 可求最短路线及设计图 1 可设计 AB AC 路径 2 可设计 AD BD CD 路径 3 可设计 AE EB EC 路径 通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为 3 求一点 使它与其余两点之和最小的方案设计 求一点 使它与其余两点之和最小的方案设计 例2 为了改善农民生活水平 提高生产 如图 A B 是两个农场 直线 m 是一条小河 现准备在河 岸某处修建一提灌点 准备给两农场浇水 如何修建 使得提灌点与两农场的距离之和最小 请你在图中 画出设计方案图 解析 两点之间线段最短 可利用轴对称性质 从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一解析 两点之间线段最短 可利用轴对称性质 从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一 条线段长的问题 条线段长的问题 第 9 页 共 10 页 应用 应用 已知三角形 ABC 中 A 20度 AB AC 20cm M N 分别为 AB AC 上两点 求 BN MN MC 的最小值 求圆上点 使这点与圆外点的距离最小的方案设计 求圆上点 使这点与圆外点的距离最小的方案设计 例3 已知圆形花坛以及花坛外一居民区 要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择 一点 使其与居民区之间的距离最小 解析 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案 解析 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案 应用应用 一点到圆上的点的最大距离为9 最短距离为1 则圆的半径为多少 关于立体图形表面的最短路径问题 又称 绕线问题 是几何中很富趣味性的一类向题 它牵涉的知识 面广 沟通了平面几何 立体几何以及平面三角的联系 能训练学生的空间想象能力 而且 也很富有技巧性 在此讨论几个问题 仅供参考 在圆柱中 可将其侧面展开求出最短路程 在圆柱中 可将其侧面展开求出最短路程 在长方体 正方体 中 求最短路程 在长方体 正方体 中 求最短路程 例5 在长方体盒子的 A 点有一昆虫 在 B 点有它最喜欢吃的食物 沿盒子表面爬行 如何爬行使 得所爬路程最短 如果长方体的长 宽 高分别为 a b c 则最短路程为多少 解析 将其中含有一点的面展开 与含另一点的面在同一平面内即可 主要可以分为三种情形解析 将其中含有一点的面展开 与含另一点的面在同一平面内即可 主要可以分为三种情形 1 将右侧面展开与下底面在同一平面内 可得其路程为 s1 2 将前表面展开与上表面在同一平面内 可得其路程为 s2 3 将上表面展开与左侧面在同一平面内 可得其路程为 s3 然后比较 s1 s2 s3的大小 即可得到最短路程 应用 应用 一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点 A 处 一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点 C1处 蜘蛛急于捉住苍蝇 沿着长方体的表面向上爬 它要从 A 点爬到 C1点 它应沿着怎样的路线爬行 才能 在最短的时间内捉住苍蝇 在圆锥中 求最短路径问题 在圆锥中 求最短路径问题 例6 在某杂技表演中 有一形似圆锥的道具 杂技演员从 A 点出发 在其表面绕一周又回到 A 点 如果绕行所走的路程最短 画出设计方案图 第 10 页 共 10 页 解析 将圆锥侧面展开 根据同一平面内的问题可求出最优设计方案解析 将圆锥侧面展开 根据同一平面内的问题可求出最优设计方案 应用 应