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第五节常见连续型随机变量的分布 一 均匀分布二 指数分布三 正态分布 一 均匀分布 分布函数 均匀分布的期望与方差 例1 分布函数 二 指数分布 或 某些元件或设备的寿命服从指数分布 例如无线电元件的寿命 电力设备的寿命 动物的寿命等都服从指数分布 应用与背景 对于任意的0 a b 例2 解 指数分布的期望与方差 某人乘车或步行上班 他等车的时间X 单位 分钟 服从参数为0 2的指数分布 如果等车时间超过10分钟 他就步行上班 若以Y表示他一周 五天工作日 步行上班的天数 求 他一周内至少有一天步行上班的概率 例3 解 1 则他步行上班 等车超过10分钟 的概率为 Y服从 的二项分布 即 2 Y表示他一周 五天工作日 步行上班的天数 三 正态分布 正态概率密度函数的几何特征 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量高度等都近似服从正态分布 正态分布的应用与背景 正态分布的期望与方差 正态分布下的概率计算 原函数不是初等函数 方法一 利用MATLAB软件包计算 方法二 转化为标准正态分布查表计算 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 标准正态分布的密度函数图形 例1证明 证明 标准正态分布的密度函数为偶函数 解 例2 例3设X N 0 1 求P X 1 96 P X 1 96 1 1 96 1 1 1 96 0 975 2 1 96 1 0 95 1 96 解 P X 1 96 P X 1 96 例4设X N 0 1 P X a 0 9515 P X b 0 0495 求a b 解 a 0 9515 1 2 所以 a 0 反查表得 1 66 0 9515 故a 1 66 而 b 0 04950 反查表得 1 65 0 9505 即 b 1 65 故b 1 65 定理若 则 正态变量的标准化 例6设随机变量X N 2 9 试求 1 P 1 X 5 2 P X 0 3 P X 2 6 解 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 解设车门高度为hcm 按设计要求 即 0 99 故 查表得 例7 因为分布函数非减 1 已知X N 3 22 且P X C P X C 则C 2 设X N 2 则随 的增大 概率P X 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 3 图示 f x x 0 P X P X 练习 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当时 正态变量的 原则 将上述结论推广到一般的正态分布 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 当时 m 3s m 2s m s m s m 2s m 3s
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