线性控制系统的运动分析.ppt

1 第三章线性控制系统的运动分析 状态空间表达式求解 2 第三章线性控制系统的运动分析 引言状态空间表达式建立后 第二章知识 就需要根据对象的状态空间模型对系统进行分析 以期揭示系统的运功规律和基本特性 对系统的分析包括定性分析和定量分析两类 本章主要对系统的运动规律进行精确研究 定量分析 即在已知外部输入信号和系统初始状态下 如何根据状态空间模型来确定系统未来的状态 3 第三章线性控制系统的运动分析 本章主要内容线性定常系统齐次状态方程的求解状态转移矩阵定义性质求法 直接计算法 拉氏变换法等线性定常系统非齐次状态方程的解直接法 积分法 拉氏变换法 4 3 1线性定常系统的齐次状态方程的解 何谓控制系统的运动分析 即 在给定的输入信号和初始状态下 进一步了解系统状态和输出的时间响应的问题 在数学上 可归结为 对于给定的初始条件和输入u t 来求解系统的动态方程 另一方面 线性系统满足叠加定理 要确定上述系统响应 可分别考虑系统对初始条件的响应和对输入信号的响应 两者叠加就可得到所要的系统响应 5 3 1线性定常系统的齐次状态方程的解 基于此思路 可先单独考虑系统对初始条件的响应 即 需考虑齐次状态方程 也称自由运动方程或自治方程 因为外部输入为零 的求解问题 1 齐次状态方程的解 系统在输入为零的情况下 由系统的初始状态x t0 引起的自由运动 称为系统的自由解或零输入解 6 3 1线性定常系统的齐次状态方程的解 2 齐次状态方程的求解 时域 频域 1 幂级数法设其解为t的向量幂级数形式 为 3 1 3 2 将式3 2代入3 1中 可得 3 3 7 3 1线性定常系统齐次状态方程的解 齐次状态方程的解为 3 3 8 定义 称为矩阵指数函数 简称矩阵指数 又称为状态转移矩阵 齐次方程的解 自由运动的解仅是初始状态的转移 状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息 它唯一决定了系统中各状态变量的自由运动 3 1线性定常系统齐次状态方程的解 9 齐次状态方程的求解问题状态转移矩阵的计算问题 时 3 1线性定常系统齐次状态方程的解 10 2 拉普拉斯变换法 3 1线性定常系统齐次状态方程的解 11 例3 1已知系统状态方程为 初始条件为 试求状态方程的解 解 12 则 13 本节要点 1 线性定常系统的齐次状态方程解的定义及物理意义2 求解的方法 幂级数法拉氏变化法3 状态转移矩阵 3 1线性定常系统齐次状态方程的解 14 3 2状态转移矩阵 3 2 1状态转移矩阵的性质性质1 状态转移矩阵的初值为单位阵 证明 当时 对线性定常系统 状态转移矩阵有以下对应关系 n阶的时变函数方阵 15 3 2状态转移矩阵 性质2 状态转移矩阵的导数 证明 16 3 2状态转移矩阵 性质3 状态转移矩阵的分解 的 性质4 其逆阵 证明 由性质3得 根据逆矩阵的定义 则 17 3 2状态转移矩阵 性质5 通过状态转移矩阵进行状态间的转移 证明 18 3 2状态转移矩阵 性质6 状态转移矩阵的传递性 证明 由性质5 19 3 2状态转移矩阵 证明 性质8 状态转移矩阵的交换性 性质7 注意 请熟练掌握状态转移矩阵的多种性质 以便在解题中灵活应用 若 则 20 例3 2已知状态转移矩阵为 试求 解 根据状态转移矩阵的运算性质有 3 2状态转移矩阵 21 3 2状态转移矩阵 3 2 2状态转移矩阵的计算一 直接计算法 直接根据矩阵指数的定义式计算 特点 步骤简便 编程简单 适合于计算机数值求解 缺点 采用手工计算时 因需对无穷级数求和 难以获得解析表达式 22 例3 3 已知试求状态转移矩阵解 3 2状态转移矩阵 23 二 拉氏变换法 齐次微分方程 3 2状态转移矩阵 特点 当阶次较小时 计算方便 缺点 阶次较高时 不易求解逆矩阵 24 例3 4已知系统状态方程为 试求状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆 解 由状态方程可得 3 2状态转移矩阵 25 3 2状态转移矩阵 由状态转移矩阵的性质 有 26 课堂测验 试用拉普拉斯变换法求矩阵A的状态转移矩阵 27 解 28 3 2状态转移矩阵 三 线性变换法 1 若系统矩阵A为对角矩阵则有状态转移矩阵为 29 若A非对角阵 但其特征值互异 则A可对角化 即 存在一个变换矩阵为 有 3 2状态转移矩阵 对角矩阵 因为 30 3 2状态转移矩阵 所以 有状态转移矩阵 31 例3 5已知系统矩阵试求状态转移矩阵 3 2状态转移矩阵 32 解 该矩阵的特征方程为 矩阵A的三个互异特征值 时 3 2状态转移矩阵 33 即 解得 当时 即 解得 3 2状态转移矩阵 34 则 同理 当时 有 3 2状态转移矩阵 35 3 2状态转移矩阵 36 2 系统矩阵A的特征值互异且为友矩阵 即 有变换矩阵 3 2状态转移矩阵 37 例3 6已知系统状态方程为 试求状态转移矩阵 解 由系统状态方程可得 3 2状态转移矩阵 求特征根特征方程 求变换矩阵状态矩阵A为友矩阵 38 求变换矩阵的逆阵 3 2状态转移矩阵 求取 39 3 2状态转移矩阵 3 系统矩阵A可化为约当形矩阵 若系统矩阵A具有n重特征值 则A必可变换为约当形矩阵 40 3 2状态转移矩阵 将A阵化为约当形的变化矩阵 41 解 根据A阵的特殊性 可知 例3 7已知系统矩阵 试求状态转移矩阵 3 2状态转移矩阵 42 3 2状态转移矩阵 若系统矩阵A具有m重特征值 其它m 1 n个特征值互异 则A可变换为约当形矩阵 43 3 2状态转移矩阵 44 3 2状态转移矩阵 四 凯莱 哈密顿Caley Hamilton定理法 1 基本思路 首先化为A的有限项 然后通过求待定时间函数获得 2 Caley Hamilton 凯莱 哈密顿 定理 矩阵A满足它自己的特征方程 零化特征多项式 设n阶矩阵A的特征多项式为 则有 45 3 2状态转移矩阵 46 3 2状态转移矩阵 因为可由一个无穷项的幂级数表示 47 3 2状态转移矩阵 例3 8 已知 根据Caley Hamilton定理 得 48 3 2状态转移矩阵 49 3 2状态转移矩阵 注意 实际并不采用此方法计算ai t 因为 1 得不到ai t 的解析表达式2 当A的维数较高时 计算很繁琐 50 3 2状态转移矩阵 3 计算 1 A的特征值互异时 3 30 51 3 2状态转移矩阵 例3 9已知 互异根 52 3 2状态转移矩阵 53 3 2状态转移矩阵 2 A有n个相同特征值时 n重根 3 31 54 3 2状态转移矩阵 例3 10已知 求 二重根 解 先求矩阵A的特征值 由得 由 3 31 55 3 2状态转移矩阵 56 3 2状态转移矩阵 3 如果A有一个m重的特征值 n m个互异根 则 则重根部分先按式 3 31 处理 非重根部分仍按式 3 30 处理 如 一个两重根 一个单根的情形 注意3 32 57 3 2状态转移矩阵 显然 一共1 m 1 n m n个方程 n个待求系数 联立解方程组 可求得 58 3 2状态转移矩阵 思路1 思路2 对重根求导 显然这两种求系数的方法是等价的 例3 11 59 3 2状态转移矩阵 本节的要点 掌握矩阵指数函数 状态转移矩阵 的多种计算方法 并灵活应用 1 直接计算法2 拉氏变换法3 线性变换法4 凯莱 哈密顿定理法 60 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 对于线性定常系统 当系统输入不为零时 状态方程为 非齐次状态方程 两种求解的方法 描述了系统的在输入控制信号作用下的强迫运动 3 1齐次状态方程 无输入的系统 描述了自由运动 61 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 一 直接法 积分法 给定线性定常系统非齐次状态方程为 初始条件为 两边在 0 t 区间积分 62 零输入响应初始状态引起的自由运动 零状态响应输入引起的强迫运动 与输入的大小及性质有关 系统初始状态的转移 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 3 35 3 37 63 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 若初始时刻为t0 则 由解的表达式 系统在任意时刻t的状态 取决于t0时的初始状态和t 0时的输入 而输入信号是由系统设计者确定的 因此可望通过适当选取控制输入 使得系统状态轨迹满足所期望的要求 3 36 3 34 64 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 二 拉氏变换法 给定线性定常系统非齐次状态方程为 取拉氏变换 得 65 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 例3 12已知系统状态空间方程为当输入为单位阶跃函数时 求系统状态方程的解 解 66 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 u t 1 t 67 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 例3 13设系统状态方程为且 试求在作用下系统的状态响应 解 68 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 系统的单位阶跃响应 69 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 如果初始状态为零 即 则为 70 课堂练习 已知线性定常系统的状态方程如下 初始条件为x 0 试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解 71 解 72 3 3线性定常系统非齐次状态方程的解 本节的要求 掌握非齐次状态方程解的两种计算方法 并灵活应用 1 积分法2 拉氏变换法 磁盘驱动器 磁盘驱动器读入设备的目标是将读入磁头定位以便读取存在磁道上的数据 目的 需要精确控制的变量是安装