向量综合应用

向量的综合应用 一 相关知识要点 1 数量积的定义 其中 是与的夹角 范围是 cos baba oa ob ab 0 2 11 yxa 22 yxb 向量垂直的充要条件 ab ba00 2121 yyxx 向量 a 与非零向量 b 共线的充要条件 ab ab 1221 yxyx 3 向量的模 2 1 2 1 2 yxaa 二 主要应用途径 平面向量是高中数学近几年新增的内容 以向量为背景 一些传统的中学数学内容和问题 就有了新的内涵 积极探索向量在数学中各方面的应用 不仅可深入了解数学教科书中新增内 容和传统内容的内部联系 构建合理的数学知识结构 而且有利于拓展想象力 激发创新活力 显现出向量作为一个工具在数学中的重要性 由于向量集数 形于一体 也就是它既有代数的运算性质 又有几何的图形特征 因而许 多代数 几何中的问题都可以转化为向量来处理 它不仅能解决数学学科本身的问题 跨学科 应用也是它的一个特点 主要包括以下几个方面 1 向量知识与三角知识的整合 2 向量知识与几何知识的整合 3 向量知识与函数知识的整合 三 典型例题分析 1 向量知识与三角知识的整合 例 1 设函数 f x 其中向量 2cosx 1 cosx sin2x x R 若将函数 f x ba ab3 按向量 m n m 平移后得到函数 y 2sin2x 的图象 求c 2 c 分析 先通过向量的数量积建立函数关系式 再利用向量平移公式建立方程 求出 m n 解 依题设得 f x 2cos2x sin2x 2sin 2x 1 将函数 f x 的图象按向量ba 3 6 m n 平移后得到函数 y 2sin 2 x m 1 n 的图象 即是函数 y 2sin2x 的图c 6 象 由向量的关系转化为三角函数 m 0 的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 若点 C 在抛 物线的准线上 且 BC x 轴 证明 A O C 三点共线 分析 要证明三点共线可从哪些方面考虑 1 证斜率相等 2 利用定比分点公式 3 证点 C 在直线 AO 上 4 利用向量法 如何用向量法证明两向量共线 是共线向量与只需证OCOA 变式练习 1 若已知 A O C 三点共线 求证 BC x 轴 2 在例 3 前提下若 OM AB 垂足为 M 求点 M 的轨迹方 程 并说明它表示什么曲线 命题有垂直的条件可用向量建立关系 OM AB 0 ABOM 答案 M 的轨迹方程是 0 4 4 222 x p y p x 变式 3 若 求点 R 的轨迹方程OBOAOR 3 解 设 R x y 由得 x y 即 2px y2 y1y2OBOAOR 2 2 2 2 2 1 2 1 y p y y p y 又与共线 代入上式即得 AFBF 2 21 pyy 22 22ppxy 小结 用向量法处理解几中的平行 垂直 共线 轨迹等问题时 目标是将几何问题坐标化 数量化 3 向量知识与函数知识的整合 例 4 已知 且存在实数 k 和 t 使得 且 a 1 3 b 2 3 2 1 btax 3 2 btaky yx 试求的最小值 t tk 2 解 由题意有 2 a1 b 0 2 3 1 2 1 3 baa byx 0 yx 3 2 bta0 btak 4 3 3 t t k 4 7 2 4 1 34 4 1 2 2 2 tt t t t k 即 t 2 时 最小值为 4 7 说明 用向量关系转化为二次函数的最值问题 练习 已知 函数 f x 的图象在 y 轴上的截距为 0 1 i 1 0 j 0 2 4 acbxaxxf 1 在 x 2 处切线的方向向量为 并且函数当 x 1 时取得极值 求 f x 的解析式jbica12 并求 f x 的单调区间 答案 f x 2x4 4x2 1 x y o B C A x y o B C A F R f x 的单调增区间为 和10 1 思考 思考 思考 若 K f t 讨论函数 f t 的单调性与极值 由上例可知 K f t t R 令 f x 0 得 当 t 4 3 3 tt 1 4 3 2 t tf1 1 21 tt 1 时 f t 0 即 f x 单调递增 当 t 1 1 时 f t 0 即 f x 单调递减 当 t 1 时 f t 0 即 f x 单调递增 当 t 1 时 K f t 有极大值 当 t 1 时 K f t 有极小值 4 向量知识与其它知识的整合 从原点出发的某质点 M 按向量移动的概率为 按向量移动的概率为 设 M 1 0 a 3 2 2 0 b 3 1 到达 0 n 点的概率为 Pn 求 Pn 分析 M 到达点 0 n 有两种情形 1 从点按向量移动到点 此时概率为 1 0 n 1 0 a 0 n 1 3 2 n P 2 从点按向量移动到点 此时概率为 2 0 n 2 0 b 0 n 2 3 1 n P 两种情形是互斥的 故有 21 3 1 3 2 nnn PPP 两种情形是互斥的 故有 21 3 1 3 2 nnn PPP 3 n 即 又易得 3 1 211 nnnn PPPP 3 n 9 7 3 2 21 PP 是以为首项 为公比的等比数列 1 nn PP 9 1 12 PP 3 1 于是 2 3 1 3 1 9 1 2 1 nPP nn nn 以下略 由同学们课后完成 本题是用向量 包装 的概率题 又与数列结合 使呆板 平淡的数学题充满活力和无穷魅 力 小结 1 本节课主要复习了平面向量与函数