通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

通信原理 习题第二章 3 第二章习题第二章习题 习题习题 2 1 设随机过程 X t 可以表示成 2cos 2 X ttt 式中 是一个离散随机变量 它具有如下概率分布 P 0 0 5 P 2 0 5 试求 E X t 和 X R 0 1 解解 E X t P 0 2 P 2 cos 2 t 2cos 2 cos 2 sin2 2 ttt cos t 习题习题 2 2 设一个随机过程 X t 可以表示成 2cos 2 X ttt 判断它是功率信号还是能量信号 并求出其功率谱密度或能量谱密度 解解 为功率信号 2 2 2 2 1 lim 1 lim2cos 2 2cos 2 T XTT T TT RX t X tdt T ttdt T 22 2cos 2 jtjt ee 2222 1 1 jfjtjtjf X P fRedeeed ff 习题习题 2 3 设有一信号可表示为 4exp t0 0 t 0 t X t 试问它是功率信号还是能量信号 并求出其功率谱密度或能量谱密度 解解 它是能量信号 X t 的傅立叶变换为 1 00 4 44 1 j ttj tjt Xx t edte edtedt j 则能量谱密度 G f 2 X f 2 22 416 114jf 习题习题 2 4 X t 它是一个随机过程 其中和是相互统 12 cos2sin2xtxt 1 x 2 x 计独立的高斯随机变量 数学期望均为 0 方差均为 试求 2 1 E X t E 2 X t 的概率分布密度 3 2 Xt 12 X Rt t 解解 1 02sin2cos2sin2cos 2121 xEtxEttxtxEtXE 通信原理 习题第二章 4 因为相互独立 所以 X Pf 21 xx 和 2121 xExExxE 又因为 所以 0 21 xExE 1 22 1 2 xExE 22 2 2 1 xExE 故 22222 2sin2cos tttXE 2 因为服从高斯分布 的线性组合 所以也服从高斯 21 xx 和 21 xxtX和是 tX 分布 其概率分布函数 2 2 2 exp 2 1 z xp 3 222112112121 2sin2cos 2sin2cos txtxtxtxEtXtXEttRX 2121 2 2sin2sin2cos2costttt 12 2 2costt 习题习题 2 5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件 1 2 3 ff 2cos2 afa 2 expfa 解解 根据功率谱密度 P f 的性质 P f 非负性 P f P f 偶函数 0 可以判断 1 和 3 满足功率谱密度的条件 2 不满足 习题习题 2 6 试求 X t A的自相关函数 并根据其自相关函数求出其功率 cos t 解解 R t t E X t X t cos cos E AtAt 2 2 1 coscos 2 cos 22 A A EtR 功率 P R 0 2 2 A 习题习题 2 7 设和是两个统计独立的平稳随机过程 其自相关函数分别 tX1 tX2 为 试求其乘积 X t 的自相关函数 21 XX RR和 12 X t Xt 解解 t t E X t X t E R 1212 X t Xt X tXt 1122 E X t X tE Xt Xt 12 XX RR 习题习题 2 8 设随机过程 X t m t 其中 m t 是广义平稳随机过程 且其自cos t 相关函数为 42 10 10 kHZ10 kHZ 0 X ff Pf 其它 1 试画出自相关函数的曲线 2 试求出 X t 的功率谱密度和功率 X R X Pf P 通信原理 习题第二章 5 解解 1 1 10 101 0 x R 其它 其波形如图 2 1 所示 图 2 1 信号波形图 2 因为广义平稳 所以其功率谱密度 由图 2 8 可见 tX XX RP 的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积 因此 X R 2 Sa 2 Sa 4 1 1 2 Sa 2 1 2 1 0202 2 00 x P 2 1 0 2 1 d 2 1 xx RSPP或 习题习题 2 9 设信号 x t 的傅立叶变换为 X f 试求此信号的自相关函数 sinf f 解解 x t 的能量谱密度为 G f 2 X f 2 sinf f 其自相关函数 2 1 10 101 0 jf X RG f edf 其它 习题习题 2 10 已知噪声的自相关函数 k 为常数 tn k e 2 k Rn 1 试求其功率谱密度函数和功率 P 2 画出和的曲线 fPn n R fPn 解解 1 2 22 2 2 kjj nn kk PfRedeed kf 21 x R 1 0 1 通信原理 习题第二章 6 20kRP n 2 和的曲线如图 2 2 所示 n R fPn 图 2 2 习题习题 2 11 已知一平稳随机过程 X t 的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数 1 11R 试求 X t 的功率谱密度并画出其曲线 X Pf 解解 详见例 2 12 习题习题 2 12 已知一信号 x t 的双边功率谱密度为 42 10 10 kHZ10 kHZ 0 X ff Pf 其它 试求其平均功率 解解 34 3 10 10424108 00 2 2102 10 10 33 X f PPf dff df 习题习题 2 13 设输入信号 将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的 0 0 0 t et x t t 高通滤波器 见图 2 3 上 RC 试求其输出信号 y t 的能量谱密度 解解 高通滤波器的系统函数为 H f 2cos 2 X ttt 输入信号的傅里叶变换为 X f 1 1 12 2 jf jf 输出信号 y t 的能量谱密度为 22 11 1 22 y R GfY fX f H f R jfCjf 习题习题 2 14 设有一周期信号 x t 加于一个线性系统的输入端 得到的输出信号 为 y t 式中 为常数 试求该线性系统的传输函数 H f dx tdt n R 2k 0 fPn 1 0 f C R 图 2 3RC 高通滤波器 通信原理 习题第二章 7 解解 输出信号的傅里叶变换为 Y f 所以 H f Y f X f j 2 jfX f 2f 习题习题 2 15 设有一个 RC 低通滤波器如图 2 7 所示 当输入一个均值为 0 双边 功率谱密度为的白噪声时 试求输出功率谱密度和自相关函数 0 2 n 解解 参考例 2 10 习题习题 2 16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2 4 所示 若输入信号是一个均值为 0 双边功率谱密度为的高斯白噪声时 试求 0 2 n 1 输出噪声的自相关函数 2 输出噪声的方差 解解 1 LC 低通滤波器的系统函数为 H f 22 2 12 2 1 4 2 2 jfC f LC jfL jfC 输出过程的功率谱密度为 2 0 0 2 1 2 1 i n PPH LC 对功率谱密度做傅立叶反变换 可得自相关函数为 0 0 exp 4 CnC R LL 2 输出亦是高斯过程 因此 2 0 000 0 0 4 Cn RRR L 习题习题 2 17 若通过图 2 7 中的滤波器的是高斯白噪声 当输入一个均值为 0 双 边功率谱密度为 的白噪声时 试求输出噪声的概率密度 0 2 n 解解 高斯白噪声通过低通滤波器 输出信号仍然是高斯过程 由 2 15 题可知 E y t 0 2 0 0 0 4 y n R RC 所以输出噪声的概率密度函数 2 0 0 12 exp 2 y x RC px nn RC 习题习题 2 18 设随机过程可表示成 式中是一个离散随变 t 2cos 2 tt 量 且 试求及 0 1 2 2 1 2pp 1 E 0 1 R L C 图 2 4LC 低通滤波器 通信原理 习题第二章 8 解 解 1 1 2 2cos 20 1 2 2cos 2 2 1 E 0 1 0 1 1 2 2cos 0 2cos 20 1 2 cos 2 2cos 2 2 2RE 习题习题 2 19 设是一随机过程 若和是彼此独立且 1020 cossinZ tXw tXw t 1 X 2 X 具有均值为 0 方差为的正态随机变量 试求 2 1 E Z t 2 E Zt 2 的一维分布密度函数 Z t f z 3 和 12 B t t 12 R t t 解 解 1 10200102 cossin cos sin 0E Z tE Xw tXw tw tE Xw tE X 因为和是彼此独立的正态随机变量 和是彼此互不相关 所以 1 X 2 X 1 X 2 X 12 0E X X 222222222 10200102 cossin cos sin E ZtE Xw tXw tw tE Xw tE X 又 1 0E X 222 112 D XE XE X 22 1 E X 同理 22 2 E X 代入可得 22 E Zt 2 由 0 又因为是高斯分布 E Z t 22 E Zt Z t 可得 2 D Z t 2 2 1 exp 22 z f Z t 3 12121212 B t tR t tE Z tE Z tR t t 10 120 110 220 2 cossin cossin E Xw tXw tXw tXw t 22 10 10 220 10 2 22 0120 coscossinsin cos cos E Xw tw tXw tw t w ttw 令 12 tt 习题习题 2 20 求乘积的自相关函数 已知与是统计独立的 Z tX t Y t X t Y t 平稳随机过程 且它们的自相关函数分别为 x R y R 解 解 因与是统计独立 故 X t Y t E XYE X E Y 通信原理 习题第二章 9 Z XY RE Z t Z tE X t Y t X tY t E X t X tE Y t Y tRR 习题习题 2 21 若随机过程 其中是宽平稳随机过程 且自相 0 cos Z tm tw t m t 关函数为 是服从均匀分布的随机变量 它与 m R 1 10 1 01 0 m R 彼此统计独立 m t 1 证明是宽平稳的 Z t 2 绘出自相关函数的波形 Z R 3 求功率谱密度及功率 S Z P w 解 解 1 是宽平稳的为常数 Z t E Z t 00 cos cos E Z tE m tw tE m t Ew t 2 0 0 1 cos 0 2 w tdE Z t 121210 120 2 cos cos Z Rt tE Z t Z tE m tw tm tw t 120 10 2 cos cos E m t m tEw tw t 只与有关 1221 m E m t m tRtt 21 tt 令 21 tt 0 101 cos cos Ew tw t 0 10 100 10 cos cos cossin sin Ew tw tww tw 2 00 100 10 1 cos cos sin cos sin wEw twEw tw t 00 1 1 cos 1 cos2 0 2 wEw t 0 1 cos 2 w 所以只与有关 证毕 120 1 cos 2 Zm Rt twR 2 波形略 通信原理 习题第二章 10 0 00 1 1 cos 10 2 11 cos 1 cos 01 22 0 Zm w RwRw ZZ P wR 而的波形为 Z R 可以对求两次导数 再利用付氏变换的性质求出的付氏变换 m R m R 2 sin 2 1 2 1 22 mm ww RP wSa w 22 00 1 422 Z wwww P wSaSa 功率 S 0 1 2 Z SR 习题习题 2 22 已知噪声的自相关函数 a 为常数 求和 n t exp 2 n a Ra n P w S 解 解 因为 22 2 exp a a wa 所以 2 22 exp 2 nn aa RaP w wa 0 2 a SR 习题习题 2 23是一个平稳随机过程 它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数 t 在区间 1 1 上 该自相关函数 试求的功率谱密度 1R t P w 解 解 见第 2 4 题 2 1 2 w RSa 通信原理 习题第二章 11 因为 所以 2 T n ttn T tRt 据付氏变换的性质可得 R P wP w F w 而 2 T nn ttnwn 故 22 22 R nn wwn P wP w F wSawnSawn 习题习题 2 24 将一个均值为 0 功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角 0 2 n 频率为 带宽为 B 的理想带通滤波器上 如图 c w 1 求滤波器输出噪声的自相关函数 2 写出输出噪声的一维概率密度函数 解 解 1 2 0 2 oi n P wH wP wH w 因为 故 0 20 0 w GwSa w w 2 B GwBSa B 又 2 Bcc H wGwwwww 1 cos ccc wwwww 由 付氏变换的性质 1212 1 2 f t f tF wF w 可得 00 2 0 22 cos oBcc c nn P wH wGwwwww Rn BSa Bw 2 0 o Et 2 00 0 REtBn 2 0 o REt 所以 2 0 0 RRBn 又因为输出噪声分布为高斯分布 通信原理 习题第二章 12 可得输出噪声分布函数为 2 0 0 0 1 exp 22 t ft BnBn 习题习题 2 25 设有 RC 低通滤波器 求当输入均值为 0 功率谱密度为的白噪 0 2 n 声时 输出过程的功率谱密度和自相关函数 解 解 1 1 1 1 jwC H w jwRC R jwC 1 2 0 2 1 21 Oi n P wP w H w wRC 2 因为 22 2 exp a a wa 所以 00 2 1 exp 2 14 oO nn p wR wRCRCRC 习题习题 2 26 将均值为 0 功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端 0 2 n 1 求输出噪声的自相关函数 2 求输出噪声的方差 解 解 R H w RjwL 1 2 2 00 22 exp 2 4 oiO RnnR P wP w H wR RwLLL 2 0 0E n t 2 0 0 0 4 n R RRR L 习题习题 2 27 设有一个随机二进制矩形脉冲波形 它的每个脉冲的持续时为 脉冲 b T 幅度取的概率相等 现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无 1 b T 关 且过程具有宽平稳性 试证 1 自相关函数 0 1 b bb T R t TT 通信原理 习题第二章 13 2 功率谱密度 2 bb P wT SafT 解 解 1 REtt 当时 与无关 故 0 b T t t R 当时 因脉冲幅度取的概率相等 所以在内 该波形取 b T 1 2 b T 1 1 1 1 1 1 1 1 的概率均为 1 4 A 波形取 1 1 11 时 在图示的一个间隔内 b T 1 11 4 4 REtt B 波形取 1 1 1 1 时 在图示的一个间隔内 b T 1 4 b bb T R