线性代数习题参考答案

1 第一章第一章行列式行列式 1 行列式的概念行列式的概念 1 填空 1 排列 6427531 的逆序数为 该排列为 排列 2 时 排列 1274 569 为偶排列 ijij 3 阶行列式由 项的代数和组成 其中每一项为行列式中位于不同行不同列n 的 个元素的乘积 若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列 那么n 列标构成一个元排列 若该排列为奇排列 则该项的符号为 号 若为n 偶排列 该项的符号为 号 4 在 6 阶行列式中 含的项的符号为 含 152332445166 a a a a a a 的项的符号为 324314516625 a a a a a a 2 用行列式的定义计算下列行列式的值 1 11 2223 3233 00 0 0 a aa aa 解 该行列式的项展开式中 有 项不为零 它们分别为 3 所以行列式的值为 2 1 2 12 1 21 11 12 1 000 00 0 n nn nnnnn nnn nnn a aa aaa aaaa 解 该行列式展开式中唯一不可能为 0 的项是 而它的逆序数是 故行列式值为 3 证明 在全部元排列中 奇排列数与偶排列数相等 n 证明 元排列共有个 设其中奇排列数有个 偶排列数为个 对于任意奇排n n 1 n 2 n 列 交换其任意两个元的位置 就变成偶排列 故一个奇排列与许多偶排列对 应 所以有 同理得 所以 1 n 2 n 2 n 1 n 1 n 2 n 2 4 若一个阶行列式中等于 0 的元素个数比多 则此行列式为 0 为什么 nnn 2 5 阶行列式中 若负项的个数为偶数 则至少为多少 nn 提示 利用 3 题的结果 6 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 201 141 183 2 222 111 abc abc 3 2 行列式的性质行列式的性质 1 利用行列式的性质计算系列行列式 1 2141 3121 1232 5062 2 100 110 011 001 a b c d 3 abacae bdcdde bfcfef 4 2 证明下列恒等式 1 33 axbyaybzazbxxyz Daybzazbxaxbyabyzx azbxaxbyaybzzxy 提示 将行列式按第一列分解为两个行列式之和 再利用性质证明 2 222 2 222 2 222 2 222 2 123 123 0 123 123 aaaa bbbb cccc dddd 3 1 11 1221 1000 0100 0001 nn nn nnn x x xa xaxa x aaaaxa 提示 从最后一列起 后列的倍加到前一列 x 5 3 已知四阶行列式 D 的第三行元素分别为 第四行元素的对应的余1 0 2 4 子式依次是 2 10 4 求的值 aa 4 已知 1365 2743 4056 6695 5356 能被 13 整除 证明 能被 13 整除 11365 22743 34056 46695 55356 提示 注意观察行列式中第 2 3 4 5 列元素的特点 5 已知 5 12345 22211 2731245 11122 43150 D 求 1 1222324252 322AAAAA 2 和 414243 AAA 4445 AA 提示 利用行列式按行 列 展开的性质计算 6 6 设 求的根 xabc axbc f x abxc abcx 0f x 解 1 首先 行列式展开式中含项 所以有四个根 而通过观察 将 4 x 0f x 代入行列式 行列式中均有两行元素相同 此时行列式值为 xa xb xc 0 即为根 然后 把所有列加到第一列上 可发现第四个根 xa xb xc 计算如下 解 2 注意各行元素之和相等 可计算的值后 求根 f x 7 3 行列式的计算行列式的计算 1 利用三角行列式的结果计算下列阶行列式n 1 3111 1311 1131 1113 D 提示 注意各行 列 元素之和相等 2 000 000 000 000 xy xy xy yx 提示 可考虑按第一行 列 展开 8 3 1 2 111 111 0 1 2 111 ni n a a Dain a 提示 可考虑第一行的倍加到各行 再化为三角行列式 1 2 用迭代法计算下列行列式 1 2100000 1210000 0000121 0000012 n D 解 按第一行 列 展开 得递推公式 于是 n D 1n D 2n D n D 1n D 1n D 2n D 2 D 1 D 由此得 n D 1n D 2n D 2 D 9 2 0000 1000 01000 0001 00001 n abab abab ab D abab ab 解 按第一行展开 有递推公式 得递推公式 n D 1n D 2n D 1nn DaD 12 nn DaD 21 DaD 同理可得 1nn DbD 联立 与 解方程组得 n D 3 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式 1 111 1 1 1 1 111 nnn nnn n aaan aaan D aaan 0 1 2 an 提示 利用行列式的性质 先化行列式为标准形式的范德蒙行列式 再利用范德蒙行列式的结果计算行列式 10 2 1221 111111 11 1221 22222222 1 1221 11111111 nnnnn nnnnn n nnnnn nnnnnnnn aabababb aababa bb D aabababb 0 i a 解 在 行中提出因子 i n i a 4 构造辅助行列式法计算下列行列式 1 缺行的范德蒙行列式 2222 4444 1111 abcd D abcd abcd 解 构造辅助范德蒙行列式 为中元素 22222 33333 44444 11111 abcdx Dabcdx abcdx abcdx DD 的余子式 而 3 x 22222 33333 44444 11111 abcdx Dabcdx abcdx abcdx 11 2 1 2 12 111 222 0 nn n a a Da aa nnna 解 构造辅助行列式 1 2 1111 0111 0222 0 n a Da nnna 则 而 n DD D 5 用数学归纳法证明 cos1000 12cos100 cos012cos00 00012cos n Dn 证明 1 时 等式显然成立 1n 2 假定等式对于小于阶的行列式成立 n 12 3 下证阶行列式成立 n 由于 注 按最后一行 列 展开 n D 1n D 2n D 所以 6 求 n xaaa axaa Daaxa aaax 1 0 nax 12nnnn AAA 提示 将所有行加到最后一行 13 3 克来姆 克来姆 Cramer 法则 法则 1 用克来姆法则解下列方程组 1 123 123 123 24 34211 32411 xxx xxx xxx 2 123 12 12 30 250 0 xxx xx xx 2 当取何值时 方程组有非零解 k 123 123 123 0 0 20 kxxx xkxx xxx 14 第二章第二章矩矩 阵阵 1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 1 判断正误 1 设为矩阵 为矩阵 若 则 与必为同阶方阵 Am n Bsp ABBA ABBA 2 与为阶方阵 为实数 有 ABn A BBAAB 3 与为阶方阵 ABn k kk ABA B Nk 4 与为阶方阵 ABn 2 22 2ABAABB 5 为阶方阵 An 2 2 2AEAAE 6 与为阶方阵 ABn 22 AB ABAB 7 为阶方阵 An 2 AEAEAE 8 与为阶方阵 ABn TT ABAB 9 与为阶方阵 ABn TT A BAB 2 选择题 1 设均为阶方阵 则 A B Cn ABBAACCA ABC A B C D ACBCBABCACAB 2 若为实对称矩阵 则的值 A T A A A B C D 不能确定0 0 0 3 设为方阵 则为 A 2 2f xxx f A A B 2 2AA 2 2AAE C D 不能确定 2 AEAE 15 3 设 计算 12 10 23 A 20 11 11 B 1 2 3 1 3 2 AB T AB T A B 4 计算 10 1 n n A 提示 先计算出 以此归纳出 然后用数学归纳法证明结论 23 A A n A 5 设为阶方阵 若对任意的维列向量 均有 证明 Annz0Az 0A 提示 由于维列向量的任意性 考察维列向量 证中各元素nzn 12 n e ee A 为 0 16 6 设为实对称矩阵 若 证明 A 2 0A 0A 提示 证中各元素为 0 A 7 若为阶方阵 且满足 若 求 An T AAE 0A EA 提示 先证明 EAEA 8 试证 若为奇数阶方阵 且满足 则 A T AAE 1A 0EA 提示 先证明 EAEA 9 若为奇数阶反对称方阵 证明 A0A 提示 由反对称阵的定义证明 17 10 设都是对称矩阵 证明 为对称矩阵的充要条件是 A BABABBA 11 设 阶方阵 且与的各行元素之和为 1 是矩阵 n ij Aa ij Bb AB 1n 且每个元素都为 1 求证 1 A 2 的各行元素之和都等于 1 AB 3 若各行元素之和分别为 则的各行元素之和都等于什么 A B k tAB 18 2 逆矩阵逆矩阵 1 判断正误 均为阶方阵 A B Cn 1 000ABAB 或 2 ABACBC 3 为阶方阵 则或 An 2 AAAE 0A 4 1 1 A A 5 1 11 ABB A T TT ABB A 6 A AA E 2 填空 1 设 则 213 012 101 A A A 1 A 2 设为 3 阶方阵 且 则 A4A 1 A 1 4 A 1 1 4 3 AA TA 3 已知 则 100 212 020 001 A BAABE A B 4 设 则 1431 1201 X X 19 3 设 证明 0 k A 121 k EAEAAA 提示 证明 21 k EA EAAAE 4 设方阵满足 证明 及都可逆 并求其逆矩阵 A 2 20AAE A2AE 提示 利用可逆的定义证明 5 设是阶方阵 证明 1 若 则 2 3 An0A 0A 1 n AA 2 0 n AAAA 提示 凡是与伴随矩阵有关的结论 可先考虑等式 AAA E 20 6 设阶非零方阵的伴随矩阵为 且 求证 nA A A T A0A 提示 可考虑用反证法证明 7 设是阶方阵 如有非零矩阵使 则 AnB0AB 0A 8 设均为阶可逆方阵 求 11 A B AB AB n 111 AB 21 3 分块矩阵分块矩阵 1 设 利用分块矩阵计算 12000 41010 05001 30000 03000 A 0002 0003 2130 1210 0140 B AB 2 设 1 利用分块矩阵求 2 计算 200 010 001 A 200 012 001 P 11 AP 5 1 P AP 22 3 设均为阶方阵 令 A Bn OA Q BO 1 证明可逆的充要条件是均可逆 Q A B 2 设 使 求出 UV P WX EO PQ OE U V W X 3 当可逆时 求出 Q 1 Q 4 设 利用矩阵分块求 1 2 1 1 0000 0000 0 0000 0000 n n n a a Aaa a a 1 A 23 5 设为阶可逆方阵 为矩阵 为常数 An 1 A1n b 1 T EO P A AA 1 1 T AA Q Ab 1 计算 2 证明 可逆的充要条件是 PQQ 1 11 T A A Ab 6 设为 4 阶矩阵 且 把按列分块为 其中A2A A 1234 AA A A A 是的第列 求 1 2 3 4 j Aj Aj 31241 2 3 AAAAA 提示 根据行列式的性质计算 24 4 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 1 把矩阵化为阶梯形和简单阶梯形 3201 0221 1232 0121 A 2 利用初等变换求逆矩阵 1200 2012 1101 1000 A 3 利用初等变换求解下列矩阵方程 1 41213 22122 31131 X 25 2 021 123 213 231 334 X 4 已知 用初等变换求 并计算的所有代数余子 2222 0111 0011 0001 A 1 A A 式之和 1 n ij i j A 提示 利用 可求 AAA E 1 n ij i j A 26 5 矩阵的秩矩阵的秩 1 判断正误 1 若为矩阵 则 Am n R Ar min rm n 2 若 则的所有的阶子式都不为 0 而所有的阶子式都为 R Ar Ar1r 0 3 若矩阵存在一个阶子式都不为 0 则 Ar R Ar 4 任何一个可逆矩阵都可分解为初等方阵的乘积 且分解唯一 5 设为矩阵 为矩阵 且 则 Am n Bn m mn 0AB 2 设 求 01112 02220 01111 11011 A R A 3 设矩阵 1 为何值时 最大 2 为何值时 3114 4101 17173 2243 A R A 最小 R A 提示 利用初等变换求秩 27 4 讨论阶方阵的秩 n 111 111 111 a a A a 5 不全为零 不全为零 求矩阵 1 2 i a im 1 2 j bjn 的秩 1 11 21 2 1222 12 n n mmmn ababab a ba ba b A a ba ba b 提示 利用秩的定义 考虑行列式的一阶及二阶子式 6 设均为阶方阵 证明 A Bn 1 若 则 R An R ABR B 2 若 则 R Bn R ABR A 提示 利用可逆矩阵可分解为初等方阵的乘积 以及初等变换不改变矩阵的秩证 明 28 第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1 维向量维向量n 1 设 且 求向量 123 214 511 152 323 123 3 2 5 2 向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关 1 用定义判断下列向量组的线性相关性 1 123 121 2 0 2 112 解 设即有齐次线性方程组 112233 0 xxx 123 123 123 20 2020 20 xxx xxx xxx 线性方程组的系数行列式为 故由克拉姆法则方程组有非零解 即 121 2020 112 存在不全为零不全为零的数使得成立 故线性相关 112233 0 xxx 123 2 123 111 1 2 1 310 29 解 设即有齐次线性方程组 112233 0 xxx 123 123 123 0 20 300 xxx xxx xxx 线性方程组的系数行列式为 故由克拉姆法则方程组只有只有零解 111 12110 310 即只存在全为零只存在全为零的数使得成立 故线性无关 112233 0 xxx 123 30 2 设 把表示成的线性组 1 3 0 123 102 0 1 2 101 123 合 问线性表示是否唯一 解 设即有非齐次线性方程组 112233 xxx 123 123 123 021 023 010 xxx xxx xxx 线性方程组的系数行列式为 故由克拉姆法则方程组有唯一解唯一解 102 01210 101 即能表示成的线性组合 且表示唯一 123 3 设 问 123 111 1 2 3 13t 1 当 为何值时 线性无关 当 为何值时 线性相t 123 t 123 关 2 当相关时 将表示为的线性组合 123 3 12 解 1 线性相关 从而 123 111 12350 13 t t 5t 线性无关 123 5t 2 当时5t 321 2 31 4 证明 若向量组中含有零向量 则此向量组一定线性相关 12 s 提示 用定义证明 证明 不妨设 1 0 法一 显然 即存在不全为零不全为零的数使得线性组合 12 100 0 s 12 s 为零 故向量组一定线性相关 法二 由可知向量组线性相关 又 故向量组一定线 1 0 1 112 s 性相关 注意 因为向量组中含有零向量 故行列式 故向量 12 s 12 0 s 组一定线性相关 这样证明是错误的 因为不一定是方阵 12 s 5 已知向量组线性无关 1234 112223 用定义证明 向量组线性无关 334441 1234 解 设 由题条件可得 11223344 0kkkk 141122233344 0kkkkkkkk 又线性无关 故有方程组系数行列式为 1234 14 12 23 34 0 0 0 0 kk kk kk kk 1001 1100 10 0110 0011 由克拉姆法则方程组有只有零解零解 故只有只有全为零 1234 kkk k 11223344 0kkkk 才成立 故向量组线性无关 1234 32 6 若向量可由线性表出 则表示法唯一的充要条件为 12s 线性无关 12s 提示 可考虑用反证法证明 证明 充分性 线性无关表示法唯一 若表示不唯一 设有两个不 12s 同的表示为 1122 1 ss kkk 1122 2 ss lll 由 1 2 得 111222 0 sss klklkl 由两个表示不一样有不全为零 这与 线性无关矛 1122 ss klklkl 12s 盾 故当 线性无关时表示法唯一 12s 必要性 表示法唯一 线性无关 若 线性相关 12s 12s 则存在不全为零的数设为有 12 s mmm 1122 03 ss mmm 又可由线性表出记为 12s 1122 4 ss nnn 由 3 4 可得 111222 5 sss nmnmnm 由不全为零知道 4 5 是两个不同的表示 这与表示唯一矛盾 12 s mmm 故表示法唯一 线性无关 12s 33 7 若向量组线性无关 问常数需满足什么条件时 向量组 123 ml 线性无关 122331 lm 提示 用定义判定 解 设 112223331 0 x lxxm 即有 131122233 0lxxxxxmx 由向量组线性无关得 123 13 12 23 0 0 0 lxx xx xmx 方程组的系数行列式为 由克拉姆法则得时方程组只有只有零解 01 1101 01 l lm m 10lm 当时线性无关 1lm 122331 lm 34 8 判断题 1 若向量组线性相关 则任一向量可由其余向量 12 m 1 i im 线 性表出 正确为 若向量组线性相关 则至少有至少有一个向量 12 m 可由其余向线性表出 反例 1 i im 100 0 1 0 000 2 对任意一组不全为零的数 有 12 m 1122 0 mm 则向量组线性相关 12 m 思考一下这在什么情况下发生思考一下这在什么情况下发生 3 若线性相关 亦线性相关 则有不全为零的 12 m 12 m 数 使 12 m 1122 0 mm 同时成立 1122 0 mm 4 若有不全为 0 的数 使 12 m mm 2211 0 2211 mm 成立 则线性相关 亦线性相关 12 m 12 m 5 对于三维向量 若两向量线性相关 则这两向量平行 若三向量线性相关 则 这三向量共面 9 选择题 1 维向量组线性无关的充分必要条件是 D n 12 3 s sn A 存在不全为零的数 使 s21 1122 0 ss 35 反例线性相关但 100 0 1 0 000 100 0 00 100 000 正确应为 维向量组线性无关的充分必要条件是n 12 3 s sn 对任意的不全为零的数 使 s21 1122 0 ss B 中任意两个向量线性无关 12 s C 中存在一个向量 它不能用其余向量线性表出 12 s D 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 12 s 2 设均为维向量 那么下列结论正确的是 B 12 m n A 若 则线性相关 1122 0 mm 12 m 注意注意 无论是否无关 当时均有 12 m 12 0 m 1122 0 mm B 对任意一组不全为零的数 有 12 m 则向量组线性无关 1122 0 mm 12 m 注意注意 B 意味着 只有 1122 0 mm 12 0 m C 若线性相关 则对任意一组不全为零的数 12 m 有 12 m 1122 0 mm 注意注意 线性相关只是至少存在不全为零的数 有 12 m 12 m 未必是对任意一组不全为零的数有 1122 0 mm 1122 0 mm D 因为 所以线性无关 12 0000 m 12 m 3 设有任意两个维向量组和 若存在两组不n 12 m 12 m 全为零的数和 使 12 m 12 m kkk 111222 mmm kkk 则 D 111222 0 mmm kkk A 和都线性相关 12 m 12 m 36 B 和都线性无关 12 m 12 m C 线性无关 1111 mmmm D 线性相关 1111 mmmm 注意注意 111222111222 0 mmmmmm kkkkkk 111222111222 0 mmmmmm kkkk 4 向量组线性无关 则下列向量组线性相关的是 B 123 A B 122331 112123 C D 122331 122313 2 3 注意注意 向量组与向量组等价 123 112123 线性无关故秩为 3 故秩也为 3 123 112123 5 设向量组 I 11 121 31 a a a 12 222 32 a a a 13 323 33 a a a 向量组 II 则 11 21 1 31 41 a a a a 12 22 2 32 42 a a a a 13 23 3 33 43 a a a a 14 24 4 34 44 a a a a A I 相关 II 相关 B I 无关 II 无关 C II 无关 I 无关 D I 无关 II 无关 6 若向量组线性无关 线性相关 则 C A 必可由线性表示 B 必不可由线性表示 C 必可由线性表示 B 必不可由线性表示 注意注意 向量组线性无关 线性无关 又线性相关 必可由线性表示 必可由线性表示 37 3 向量组的秩向量组的秩 1 求下列向量组的秩和一个最大无关组 并把其余向量用最大无关组线性表示 1 1234 1114 1132 2135 3156 提示 首先将向量作为列向量构成矩阵 然后对矩阵进行初等行变换化为最简 阶梯形 解 作矩阵 1 2 3 4 1123 1111 1335 4256 T T T T A 213141 rr rr rr 1123 0212 0212 0636 3242 3rr rr 1123 0212 0000 0000 故 是其一个极大无关组 1234 2R 12 2 1234 1101 1120 0121 1222 解 作矩阵 1 2 3 4 1101 1112 0222 1012 T T T T A 2141 rr rr 1101 0011 0222 0111 24 rr 1101 0111 0222 0011 32 2rr 38 1101 0111 0000 0011 34 rr 1101 0111 0011 0000 故 是其一个极大无关组 1234 3R 124 2 设向量组的秩为 2 求 212 3 2 3 1311 a b ba 解 法一 作矩阵 31 23 121 231 a b A 13 rr 121 23 31 231 b a 213141 2 2rr rar rr 121 041 0321 011 b aa 24 rr 121 011 0321 041 aa b 3242 3 2 4 ra r rbr 121 011 002 005 a b 故即时秩为 2 20 50 a b 2 5 a b 法二 由向量组秩为 2 可得线性相关 故 12 3 2 3 111 a 12 3230 111 a 2a 由向量组秩为 2 可得线性相关 故 212 2 3 311 b 212 230 311 b 5b 39 3 设向量组能由向量组线性表出 证明 12 s 12 t R 12 s R 12 t 注 该结论是线性代数重要结论之一 凡是与秩有关的命题 大多需用该结论证 明 如第 4 题等 证明 令 不妨设 为R 12 s pA 12 p 的极大无关组 令 q 12 s R 12 t B 为的极大无关组 12 q 12 t 考虑向量组 M 12 p 12 q 为的极大无关组 则线性无关 12 q 12 t 12 q 且 能被线性表出 又能由向量组 12 t 12 q 12 s 线性表出 故也能表示 12 t 12 t 12 p 从而线性无关且表示 12 q 即是 M 12 p 12 q 12 q M 的极大无关组 故 12 p 12 q R Mq 由线性无关及秩的定义有 12 p R Mp 故 R 12 s R 12 t 4 设是个维向量 若标准基向量能由它们线性表 12 n nn 12 n e ee 出 证明 线性无关 12 n 提示 用秩法判定向量组的线性相关性 证明 已知 由能由线性表出有 12 n R e een 12 n e ee 12 n 又可得 1212 nn RR e een 12 n Rn 线性无关 12 n Rn 12 n 5 证明 任意个维向量必定线性相关 1 nn 121 n 40 提示 考虑它们与单位向量组的表示关系 再利用第 3 题给出 12 n eee 的秩的范围 最后用秩法判定 121 n 证明 作矩阵则由 121 n A 121 n R AR 又必定线性相关 R An 121 n Rn 121 n 6 设向量组与向量组的秩相等 且向量组 12 s 12 t 能由向量组线性表出 证明 12 s 12 t 与等价 12 s 12 t 证明 设它们的秩为 为的极大无关组 r 12 r 12 s 为的极大无关组 12 r 12 t 考虑向量组 M 12 r 12 r 容易证明也是向量组 的极大无关 12 r M 12 r 12 r 组 故 R Mr 若不能线性表示则必存在一个向量不妨设 12 r 12 r 12 r 满足线性无关 若不能线性表示 1 121 r 121 r 则必存在一个向量不妨设满足 12 r 12 r 2 线性无关 如此继续下去必能找到向量组 1212 r 线性无关且能表示 1212 rk kr 12 r 故是向量组 1212 rk kr M 的极大无关组 故 矛盾 故 12 r 12 r R Mrkr 能线性表示 12 r 12 r 从而能线性表示 故与等 12 s 12 t 12 s 12 t 价 7 设 证明 与等价 123 213 121 n n nn 12 n 12 n 提示 可利用克来姆法则反解出 12 n 证明 由条件可得能线性表示 且 12 n 12 n 41 其中 1212 nn A 0111 1011 1101 1110 A 计算 1 01111111 10111011 2 11011101 1111011110 k nnnn Arr kn 1111 1011 1 1101 11110 n 1111 0111 1 0011 00001 n 1 1 1 0 n n 所以可逆 故 即能线性表A 1 1212 nn A 12 n 示 故与等价 12 n 12 n 12 n 8 设有向量组 试证 向量组 2 1 2 n iiii t ttim mn 线性无关 其中为个互不相等且不为 0 的常数 12 m 12 m t tt m 提示 用定义证明 其间涉及范德蒙行列式的计算 证明 作矩阵 故 1 2 m A 12 m R AR 计算矩阵的秩 显然 且矩阵有一个阶子式A R Am Am 故 2 111 2 222 2 m m m mmm ttt ttt ttt 1 11 1 22 1 1 1 1 1 m m m i i m mm tt tt t tt 11 0 m iji iij m ttt R Am 故向量组线性无关 R Am 12 m Rm 12 m 9 设向量组的秩为 向量组的秩为 12 s 1 r t21 2 r 向量组的秩为 证明 1212 st 3 r 12312 max r rrrr 42 证明 设是的极大无关组 1 12 r 12 s 是的极大无关组 显然 2 12 r t21 能线性表示 12 1212 rr 1212 st 故 12 1212 rr R 1212 st R 又 所以 12 121212 rr Rrr 312 rrr 显然能线性表示和 1212 st 12 s t21 故 且 31 rr 32 rr 123 max r rr 10 设同为矩阵 A Bnm 证明 1 R ABR AR B 2 R ABR AR B 证明 记 则 12 n A 12 n B 1122 nn AB 1122 nn AB 记向量组 12 n M 12 n N 1122 nn K 1122 nn L 则 R AR M R BR N R ABR K R ABR L 作向量组 1212 nn H 由向量组秩的关系得 R HR MR NR AR B 显然向量组能表示向量组 故 H K L R HR H R LR H 即有 R ABR AR B R ABR AR B 43 11 设为矩阵 为矩阵 证明 Asm Bps min BRARABR 提示 令 证 证明方法也是考虑它们的列向量组之间ABC ARABR 的关系 再由 证 TTT CB A BRABR 12 向量线性无关的充分必要条件是 12 n 11121 21222 12 0 TTT n TTT n TTT nnnn D 提示 令 则 12 n A T DA A 证明证明 0 T DA A 0 T AA 0A A 0A 线性无关 12 n 44 13 选择题 1 设是阶矩阵 且 则中 C An0 AA A 必有一列元素全为零 B 必有两列元素对应成比例 C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D 任一列向量都是其余向量的线性组合 2 已知线性方程组的系数矩阵是矩阵 且的行向量组线性无关 则A54 A 下列结论正确的是 C A 的列向量组线性无关 A 注 注 的行向量组线性无关的列向量组线性相关A 4R A A B 的增广矩阵的任意四个列向量线性无关 A C 的增广矩阵的行向量组线性无关 A 注 注 的行向量组线性无关 又A 4R A 4R A 4 6 4R A 4R A D 的增广矩阵的列向量组线性无关 A 3 设向量 而 12 1 s s 1122 ss 则下列结论中正确的是 A A R 12 s R 12 s B R 12 s R 12 s C C D 不能 R AR B R A R B R A R B 确定 注 注 APB R AR B BQA R AR B 5 矩阵在下列 D 变换时改变秩 A A 转置 B 初等变换 C 乘以非奇异阵 D 乘以奇异阵 45 46 4 维向量空间维向量空间n 1 证明 是的子空间 230 Vx y zxyz 3 R 证明 不妨记 V 111 x y z 222 xyz 则 111 230 xyz 222 230 xyz 121212 xxyyzz 121212 23xxyyzz 111 23xyz 222 23xyz 0 故 V kR 111 kkx ky kz 111111 23230kxkykzk xyz 故 故是的子空间 kV 230 Vx y zxyz 3 R 2 设 11212 0 nin VxxxxR xxx 21212 0 nin VxxxxR xxx 问是不是向量空间 为什么 12 V V 解 是向量空间 仿照上题证明对线性运算封闭 1 V 1 V 不是向量空间 因为 则 2 V 0 0 0 0000 2 0 0 0 V 3 证明 由构成的一个基 并求在 123 111 2 2 0 300 3 R 5 9 2 这个基下的坐标 证明 故 故线性 123 A 111 22060 300 123 3R 123 无关且构成的一个基 3 123 RR 123 3 R 47 4 设 1212 1120 1011 0131 0131 证明 112 Vspan 212 Vspan 12 VV 提示 只需证明与等价 12 12 证明 由题的条件可知 121212 3 112212 11 3 22 即与等价 12 12 12 VV 设 说明平面上 的几何意义 12 Txx x 12 x x 1 2 x f xf x 2 1 x x A 1 2 3 10 01 A 00 01 A 01 10 A 48 5 内积与正交向量组内积与正交向量组 1 试用施密特法把下列向量组正交化 1 9 4 1 3 2 1 1 1 1 321 11 1 1 1 21 221 11 111 6 210 3 311 3132 3312 1122 1 3 111 1482 410 323 911 1 3 2 设是维向量 且 证 n 222 提示 根据模与内积的关系以及内积的性质证明 证明 2 又 0 所以 222 3 证明 R 证明 R R R R 22 2 2 R 4 0R 49 第四章第四章线性方程组线性方程组 1 线性方程组的一般理论线性方程组的一般理论 1 判断题 1 有解的充要条件有三种 能由bAx ARAR b 的列向量组线性表出 向量组与向量组 21n aaaA 12 n a aa 等价 12 n a aa b 2 有非零解的充要条件是的列向量组的秩小于 是未知数的个数 0 AxAnn 3 若有无穷多解 则有非零解 0 bbAx0 Ax 4 若有非零解 则必有无穷多解 0 Ax 0 bbAx 2 选择题 1 为阶矩阵 齐次线性方程组有无数个解 则必有 D Am n 0 Ax A nm B R Am C 中有两列对应元素成比例 D 的列向量组线性相关 AA 注注 有无数个解有非零解的列向量组线性0 m n Ax 0 m n Ax m n R An A 相关 2 为阶矩阵 非齐次线性方程组 bAx 的解不唯一 则下列结论正确的Am n 是 D A nm B mR A C 为零矩阵 D 的解不唯一 A0 Ax 注注 bAx 的解不唯一的解不唯一 反之不成立 因为的解不 0 Ax0 Ax 唯一时 bAx 无解 但的解不唯一是 bAx 的解不唯一必要条件 0 Ax 3 已知是非齐次线性方程组 bAx 的两个不同的解 是非齐次线性 12 12 方程组导出方程组的基础解系 则方程组的通解必是Axb 12 k kR Axb B 50 A B 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk C D 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 注注 A 中不是 bAx 特解 12 11212 2 kk 12 2 C 中不是的解 也不是 12 11212 2 kk 12 0Ax 12 2 bAx 特解 D 中与可能相关 12 11212 2 kk 12 1 4 设是四元非齐次非线性方程组的 3 个解向量 且 123 Axb 3 AR 表示任意常数 则线性方程组 1 1 2 3 4 T 23 0 1 2 3 T c 的通解为 C Axb A B 1 2 3 4 1 1 1 1 TT c 1 2 3 3 0 1 2 3 TT c C D 1 2 3 4 2 3 4 5 TT c 1 2 3 4 3 4 5 6 TT c 5 设元个方程的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 则 A nmbAx Ar A 时 必有解 mr bAx B 时 有唯一解 nr bAx C 时 有唯一解 nm bAx D 时 有无穷多解 nr bAx 注注 A 时 又 故时有mr 1 mn R Am 1 mn R AR A mr 必有解 1 mn R AmR A bAx B 时 方程可能无解 若在有解的前提下时有唯nr bAx nr bAx 一解 C 时 有唯一解 这时任何情况都可能发生 nm bAx D 时 方程可能无解 若在有解的前提下 时有nr bAx nr bAx 无穷多解 3 填空题 51 1 方程组有解的充要条件是 414 343 232 121 axx axx axx axx 1 2 3 4 1100 0110 0011 1001 a a A a a 41 rr 1 2 3 41 1100 0110 0011 0101 a a a aa 42 rr 1 2 3 412 1100 0110 0011 0011 a a a aaa 43 rr 1 2 3 4123 1100 0110 0011 0000 a a a aaaa 有解的充要条件是 3R A 3R AR A 4123 0aaaa 2 设阶矩阵的各行元素之和均为 0 且 则方程组的通nA1 nAR0 Ax 解为 阶矩阵的各行元素之和均为 0是的解 nA 1 1 1 T 0 Ax 故方程组的通解为1 nAR dim 1 1Snn 0 Ax 1 1 1 T k 3 设为阶方阵 对任何维列向量 方程都有解的充要条件是 AnnbbAx 对任何维列向量 方程都有解的充要条件是的列向量组能线性表nbbAx A 示任何维列向量 故 又 故充要条件是或n R An R An R An 0A 4 若元齐次线性方程组有个线性无关的解向量 则 n0 AxnA 元齐次线性方程组有个线性无关的解向量n0 Axn dim Sn 0R A 0A 4 判定齐次线性方程组 是否有非零解 1234 1234 1234 1234 3520 5980 518450 2730 xxxx xxxx xxxx xxxx 法一 用克拉姆法则 法二 求出系数矩阵的秩与未知数个数比较 52 5 问 取何值时 非齐次线性方程组有唯一解 无解 有无穷多 123 123 2 123 1xxx xxx xxx 解 解 系数矩阵行列式为 11 11 11 A 11 11 11 2131 rr rr 2 11 011 011 32 rr 2 11 011 002 2 21 2 21 由克拉姆法则可知即且是有唯一解 2 210 1 2 当时增广矩阵为1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2131 rr rr 1111 0000 0000 即有且 故当方程组有无穷多解 1R AR A 3R A 1 当时增广矩阵为2 2111 1212 1124 A 12 rr 1212 2111 1124 2131 2 rr rr 12 rr 1212 0333 0336 31 rr 1212 0333 0003 即有 故当方程组无解 23 R AR A 2 6 线性方程组 证明 若互不相等 则方程组无 3 43 2 4241 3 33 2 3231 3 23 2 2221 3 13 2 1211 axaxax axaxax axaxax axaxax 1234 a a a a 53 解 证明 系数矩阵为阶矩阵 故 A4 3 3R A 又增广矩阵为 故 23 111 23 222 23 333 23 444 1 1 1 1 aaa aaa A aaa aaa 14 0 ji ij Aaa 4R A 故 所以方程组无解 R AR A 7 设有三维列向量 问取何值时 123 2 1110 1 1 1 111 1 可由唯一线性表示 2 可由多种线性表示 123 321 3 不能由线性表示 321 提示 将线性表示问题转化为方程组解的讨论 解 设 问题化为方程组 112233 xxx 123 123 2 123 10 1 1 xxx xxx xxx 有唯一解 无解 有无穷多解 仿照 EX5 8 已知三个平面 试求1 zyx2 2 33xayz 3 2 3ayaz 使三平面 有唯一交点 有无穷多交点 无公共交点 a 提示 相交问题即是三平面方程联立成的方程组的解的判定问题 54 9 设 则三直线 111 122232 333 abc abc abc 22 0 0 iiiii a xb ycab 交于一点的充要条件是线性相关 而线性无关 123 12 55 3 齐次线性方程组齐次线性方程组 1 求解下列齐次线性方程组 1 1234 1234 1234 20 20 2220 xxxx xxxx xxxx 2 1234 1234 1234 20 3630 51050 xxxx xxxx xxxx 3 1234 1234 1234 124 320 5230 11250 350 xxxx xxxx xxxx xxx 56 2 设 求一个矩阵 使 且 1234 2345 A 24 B0AB 2R B 分析的列向量是的解 又的列向量是0AB B0Ax 2R B B 的两个线性无关解 0Ax 解 由题意 的两个线性无关解可作为的列向量 0Ax B 1234 2345 A 21 2rr 1234 0123 2 r 1234 0123 故同解方程组为 12 2rr 1012 0123 0Ax 134 234 33 44 2 23 xxx xxx xx xx 由此有两个线性无关解 故0Ax 12 23 10 01 12 23 10 01 思考 是否唯一 B 3 设是秩为 2 的矩阵 是齐次线性方程组A45 123 115 211 2412 419 的解向量 求的解空间 S 的一个正交规范基 0Ax 0Ax 解 是秩为 2 的矩阵可得 为求的解空间 S 的一个A45 dim 422S 0Ax 正交规范基只需选择两个线性无关的解正交规范化即可 0Ax 显然是无关的 12 令 11 1 2 2 4 21 22 11 11 12 5 4225 14 6 5 2 3 1 3 5 1865 53 9 5 令 1 1 1 1 2 1 25 4 2 2 2 2 1 3 65 50 3 57 即为所求 12 思考为什么齐次方程组一组解正交规范化后仍是齐次方程组一组解 4 求一个齐次线性方程组 使它的基础解系为 12 03 12 21 30 提示 由通解消去任意常数得方程组 法一 由题意知道 1 2 1 122 3 4 x x kk x x 12 03 12 21 30 kk 2 12 12 1 3 2 2 3 k kk kk k 即 由消去得 12 212 312 41 3 1 2 2 2 3 3 4 xk xkk xkk xk 3 2 2124 3 3 124 12 k k 214 341 320 320 xxx xxx 即为所求 法二 分析 齐次方程组系数矩阵的行与方程组的每一个解正交 这只需要与一个基础 解系中每个解正交即可 解 设所求方程组为 设系数矩阵的行向量为 则有0Ax 1234 xxxx 234 123 230 1 320 xxx xxx 故的行向量组为的两个线性无关的解 42R A A 1 解方程组系数矩阵 1 0123 3210 B 12 rr 3210 0123 1 1 3 r 21 10 33 0123 故的同解方程组是 12 2 3 rr 1012 0123 1 134 234 33 44 2 23 xxx xxx xx xx 58 得的两个线性无关的解为 故 1 12 23 10 01 1210 2301 A 5 设都是阶方阵 且 1 证明 2 若 BA n0AB R AR Bn 2 AA 证明 R AR AEn 提示 的列向量是的解向量 B0