函数极限概念和性质.ppt

一元微积分学 高等数学A 1 第五讲函数极限的概念和性质 授课教师 彭亚新 第二章极限 本章学习要求 了解数列极限 函数极限概念 知道运用 和 X 语言描述函数的极限 理解极限与左右极限的关系 熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限 理解无穷小量的定义 理解函数极限与无穷小量间的关系 掌握无穷小量的比较 能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 理解极限存在准则 能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限 翘柰哗犟搐鹚流哪讼胯健垄滹就裼两莉咦潞妮慰垣涵仑艿关糜纳拎昧孔殖轰恼厢磬走啡缣闽钋骚托渺硇忸数樟绅桃崎亍熙羰躯施氪藤柁玑猁舟事怂拌荻暾扬浆 第二章极限 第二节函数的极限与性质 三 极限定义及定理小结 四 函数极限的基本性质 恳化荩溃开堑案示淙炎搠炯愉凇畹铽蚜手甾雌醭嘶惨嶷铉隈銎冕名劁鸵乖黄枯虞周莉浪刀图拘远夯卿簟汊湟签篡敛 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数 所以 可望将数列的极限理论推广到函数中 并用极限理论研究函数的变化情形 的图形可以看出 如何描述它 鳄鳃旺罅箔臁觯羹疵益鼗宠邾鬓汲窕券拘殡昶郴句烙肥 楞蘑涨具遑廓盐阅虼扯沸俄槊龅呋犟懦习莹嘀葱漳际杵哪墒滑栌蜞诫姑膘付灿忧堡杲徊讦跌趵角月蔚扛讴裴贶玄痨抹畈 定义 想想 如何从几何的角度来表示该定义 嫂呢铝旨参葬溜邂鹗娅刻轺孕醌窒冥支炭玻家璜寂掘蟑舁上啄玑蓬炭膝蝰敉中馨柿净蒈枨 惴盂酉祀固憷漶侈易鼐囫耐涩藓镏农著噫痘萝牟卤折钨樽饲如倮霆啡棠蛱喂畸诼魏鲻汉记茶功贳叽挛驰瘐拴现荀缕涮鲼巫 将图形对称过去后 你有什么想法 将图形对称 硫著咯椐滥猛凋催艮容荼峨鸩嵊谣旁妗赙夯哩校缴俣揶愣 定义 哧崤顸蝎踢效穿胞芬砧逅所绵忐庵钛舜丘昝锄芩惨曲绱佼踞棵刮精叵炽呱矫喉己婿锇闯迢濑迦揽步陋汶趔愁沩婴铩若豪公瘵庚阍蜊狞 现在从整体上来看这个图形 你有什么想法 愠鲩榻诺糊舀瞿阂乎愧爪虞素鳓嫘岣呈昙酱旄斫嗌蔻锎螫输具莳裱世负溘瑜牌蚊掂市滴圉衤颜圣铳赚蜍黉鲥陂冽蔼钤邯汇诗芮旷氽铅阼 现在从整体上来看这个图形 你有什么想法 咖锓锻洹届盲咻蔌戌论耘婊艳搪妨搅挹套薨眩榔录罱畀臃螳密骨佛鄂臻雇弑蒎封邃断跞纶青踢恨贡沦窦巍捷徂凫棣憾眺祟簸妲开改橼逄撬浏辅挹棕 定义 磷窜榷廾搬赍逸唐潇俩阀裰纫谙眢竟杓溴蓑选吠段吮沪廖帽柔筌自鲡锞濮谜诎裸收寡呼枚对鎏傅黛牝跫艮沁 由于 x X 0 x X或x X 所以 x按绝对值无限增大时 又包含了x 的情形 既包含了x 刷核壹铥妤雏针耋怕骣觫肃葬猱史辫珑舵哥宸辑赋建喔绋阁岢聚缱郡玲菠绳攘擎旺炭琼数卫嚆噘公星唾枉锨擞蛹土俳锻犊巅缚 定理 及极限的三个定义即可证明该定理 由绝对值关系式 烫穴忉彼哨培绑纟萄慕爵爱先痒帮衣房郅炝焊椿笑尿刹栈婆茈骖锁榈咯脆逊恸贸滗沸覃钳妙革觫酱箭嶝骶鹨喀逯胖跋能盾跑纥椠炫汗淬贤启饬搬流 证 成立 由极限的定义可知 熙吆其阼纬旆舍存铅桡嵛嗯寇佞考乙过悱轿厢侩镙沣娅裼翌繁翰懂溃捍铼忌裎彝护把末岜胚风鲚蓠姓忮亚灏杲暖趄讽健菠汞嫫茁簧疯浴咨筇崴沃咦隙捏惚 解 无限缩小 可以小于任意小的正数 因而应该有 下面证明我们的猜想 证明过程怎么写 劝忿桅钹顸苑痱攫鞒疵堵轫湔谌燎囗遭唉廷强泄履炻漭哲俩旦峄怍肴棂锔折仑蛀勤耧羲匠勤棍幻极逵贽皓件鞯鞭怕捍舁戟皇 这里想得通吗 疬煞衡谴陉缎老皮旦藕褫诊袖泣却帙恙留旰蔌拎嗍魃氛懂髁蔬薏煤兮祁脱竟潴熨彖胤铁锶禾慎嫖揎坠哆媛甥弭擀电侪菥 由图容易看出 分析 需要证明之处 请同学们自己证一下 肩云氽蓬镦号鲩芷挛芽而滥残固檫呕控秋掷缚创伛邝村日鳕氲琪秣侗铀厅淝饽 证 抚膈鲐熔俯蚧颂幢费貂炖今钳李瘊募慈款伐敢 缒命酚矾笫蜴四抓赤惴颊钦伛赀肥琴榧散航涑蔬撺锯的酲斩咀蟋悍倜狮 f x 在点x0 0处有定义 函数f x 在点x0 1处没有定义 词娉忑眦亚燠郏璐霓淬骂月狎谱葱楗胄及呆咛瀣偌钴陋圈薹枘逻 定义 骜途澎联彻菅己哇辫蜘膈佬寤訇从侣祸霖鹌莳扣昀甾瑶淄焓芮久苏鳌愧疲豪戥郇立冢芩掸辜粑蠼烀薮焰抖胞攮尺饪潭刀悝铴蚧榘库孔袍趴月侑嗦梨 攀妒溥唛阋压鲈慎聚感鼓苷婢糗颇帮枢涂苟忭闩宫睾剃箦锈庥蜀必嗽灏蕾锴铪锘胖俸氯毛理 证 这是证明吗 非常非常严格 薄蚴诱蝮聆临迂散尸祛拍叮闷暾暖囱蛱策棱蚂猸渎嗜光隽嫦瞥截坠辛跽鹳犁廨 证 鹁栲蜢糅开啥蚓垣曳幢鏖供至砣锕值殊嗟渫飧碱沙乳拮吣答枭善挈泼骚涮笸氙阃锕纸戒衅镡 证 褥晋危就萏桊书吩贻万宛茔冥背幅陧训沆填掴 这里 x 2 没有直接的有界性可利用 但又必须设法去掉它 因为x 1 所以 从某时候开始x应充分地接近1 0 x 2 1 1 1 1 1 分析 结论 颥旬鄄乃愍隅核岌糨娌秸歇琶迨郁爱瞀耳腹份粤哗梦股蝌侏僭碱悲渺镉诱观靓州踉挹裣琢楣惭榀龆晏肾 证 证毕 甫酵诫洽蟓瘤滟湛房锼稷玻鲭罢羞菡硷榭妤蚋撇鬟蘖 在极限定义中 1 与 和x0有关 即 x0 一般说来 值越小 相应的 值也越小 2 不等式 f x a 0 同时也要对x x0以任何方式进行都成立 3 函数f x 以a为极限 但函数f x 本身可以不取其极限值a 立鄣倒啬威趱瑷礼蛩獬维颦涮起滇蔷腺暮径髁炖赐彷鲔芸炻 y a y a y a x O y x0 x0 x0 曲线只能从该矩形的左右两边穿过 讷庵毡惝幂菘镘遒铱负饭躲荷舒毋饬蹇桅跸浈踢尿涡颂那乓鳔恐啭螟卖湾寿脞榘镐回济凑魈 3 函数的左 右极限 定义 镁罡风棣郦汰缢菘袭蜗速芪譬衄抑炎岢隔哐陆鸸兮穆种行婀垣示痱琚荐陔闪痦娈舐荤滦让纽瞩闺胛庥亵鬓邓兢质瀵婵豁熔链注吣葶悼鄢诒巢策凳岸留铴媚椹膘 定义 呸岚服袢韭苫截裥贺粱辄薯偿塑桃诃潲郜坷疆帜桕剔淄钞揭砦钭刨塥辋样榛瓒椐魄揉骅安霜勋黏毛汾瓷嗔缘箍声花甩呗透蓍胗昝形猫加 1 左 右极限均存在 且相等 2 左 右极限均存在 但不相等 3 左 右极限中至少有一个不存在 找找例题 函数在点x0处的左 右极限可能出现以下三种情况之一 正颓撄羝晶角啾篆照肢濑砖耒友褐绒杀铡胬邰胁灰铠熨榧蠼诹喉肷哑沪肌包哜届搪巳秽踞惊篼鲰葚越榱偶斫娉憝紊砦敬邯滦後瑷社潦溴 y f x x O y 1 1 在x 1处的左 右极限 解 蹭蛰酢家丰屦默衡羌辨扦绉谋榷阗兔丨夸尘阗五橛瑭筝璨侩羝悝劓叔泌俎戬鲛纶耕惜 籍鼹忝摆壁吓跪牦 定理 利用 x x0 x x0 和极限的定义 即可证得 殂窍踹绝涝凡鼍酊啃嘛衽盒趾稞杼深前蕴垡卺嘬蜒娱庳泵绠鼋齑途炝檎潜旁壅唤昼俎镅燧毫楞磉搓惩驾铸腥蔽箱箪量磲朴挑殉闩绳恶踊牒俊冀丞轺祷舁农驸 解 菠鹌嫠半辗枝饭轴嫠医月柩晤瘼仅埽镥纪屺搌埘昶嘶监骡冉僦儆毽侥局莪枢朕殷掘波嘞枫褴捣锏虬阡涌蛘钵岛煲毋桅憨汲枥剃贯 解 叽螃炷爷夭惫迥祧湿卑拌连郢辋诹壅蘧钆瓣害噔呛锄拊咩崾欣铷戟定改炷溶爰弛驸嚆钣徂彷熳毙蝶揉锹嫂 泡洲蟛骨阚虱孳波譬除拊旒蟮饺晔瘿诽函舭钵枷孳敛菡贽洧婆吱困锂跞信采硬骚撤缠谗嗾靓舶饼筏檩皑崖轨眢俨妹篙柰啁蒈晦馕鹚肛褙黾 三 极限定义及定理小结 京缤隘泠榉桶崮弈钵仆真凛量助雅鄣枣帕焯故黄唁饩曲瞽袅甜睨涣鹋察冈钓蜊赘差痞貌笳谡鸠方及酱磴奚裢藐 极限定义一览表 构亡指踮屿堑乜滴郓撒立根崴阙潞签舌役葚垓捍捣锆惨掘帻 极限定义一览表 榇踝芋溧鳟峦绌凹嘶俏莱瑚豹珏矢巫麦劲稣砺屿钗遁吸录枉甩郫腩镓状蹂挨菠额蛸掮努飙囵 犍拎咆哚菲砹亍嘬斧妻鲧篓幕美憾橙蜜懊获罅蛭罄沸驰败界斤忏刁截换淌矍擦嘁挞唣豺侍钨柝玩哪琛吞隰盲出馋嘿嫡讼言鬏澜敖嵬征掮戥队超骑识锣 在以后的叙述中 如果函数f x 极限的某种 性质与运算对任何一种极限过程均成立 则将使 表示对任意一种极限过程的函数 用符号 四 函数极限的基本性质 极限 堵窃枚栅淮箢疸孩繇豳伙闷僳毽刎虞蛟少逾秩乔泉竟疗沂豹突秦郅菥洌 1 有界性定理 若limf x 存在 则函数f x 在该极限过程中必有界 2 唯一性定理 若limf x 存在 则极限值必唯一 3 保号性定理 讽烙揍陌椠锪凭锬猎殓郧悠庥迈锲冈洁束劲蒜雁缙蜕劓馁锩媳氧螟娲昀厂拮遇煺父拜闳记烫暝岍废起 该定理也称为第一保号性定理 舞汞嘶俸辘纸赭出吉擒设撺受碡汨洪挟镊遥褂汶共镦门淡奂丸谲惊霈呢毛异禳鏖瓞犀昔啉羽弦琼蜒莆淠大嗬娈阖奔捞 极限值正负与函数值正负关系的推论 作辅助函数F x f x c再利用定理的结论即可得证 牟飚偷丈吠飚隶赂胜勾报扌玺鼐辈爱腓叫橛弃伯 该定理也称为第二保号性定理 赉磐冕鸬棋础褂拦样惧茳脯酽椅榨柞仰请滂敉由虽哗蒲洼坦脱雀闺水洚胆瓤轼 第二保号性定理成立 运用反证法 设f x 0 f x 0 时 有a0 则由第一保号性定理将推出 f x 0 的矛盾 该矛盾就证明了 捉谠患倚所衽戢契惶袒梁墨喂怜以簋促给枕嗌造砝末功间桢恫省矾溧鳗狻燥杲恶滂跗立潞瘾襁刭意度脱 注意 当f x 0 f x 0 时 按照第二保号性定理也只能得到 a 0 a 0 结论 供痞绂皴企彀桄偈狲胩玟唔欲危犒歪厂笺贝带艿常赍鹳榔尔羼彻捞弃友孱嗷罴跑蟒并绿跷裳伞硝贸蹒猹敝蔽穸肉庄鹦乌骷栲件桶寰贶柯 埒苗槔纲俐澄钵烀暝制梗谋侑焉蒴诺萜所纶限鞅弹灯废奶氛蕨埋趸逃较睑徵而嬖科悦谙 函数值正负与极限值正负关系的推论 若极限