《统计物理学基础》PPT课件.ppt

1 热学 研究热现象规律的科学 热现象 一切与温度有关的现象 宏观 大量微观粒子无规则的运动 微观 研究热现象规律有两种方法 热力学 统计力学 热力学 以大量实验为基础研究宏观热现象规律 统计力学 从物质的微观结构出发 以每一个微观粒子遵循的力学规律为基础 利用统计规律来导出宏观的热学规律 2 20章统计物理学基础 20 1统计规律与概率理论 20 2温度与压强 20 3三种统计规律 20 4麦克斯韦 玻尔兹曼统计在理想气体中的应用 20 5能量按自由度均分定理理想气体的内能 20 6分子碰撞的统计规律 3 1 统计规律 大量偶然事件整体所遵从的规律 加尔顿板实验 单个粒子运动 偶然事件 落入那个槽 大量粒子运动 统计规律 粒子在槽中的分布 20 1统计规律与概率理论 4 单个粒子遵循牛顿定律 大量粒子遵从统计规律 牛顿运动定律无法说明 统计规律特点 2 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律 3 与系统所处宏观条件有关 4 存在起伏 涨落 2 概率的定义 事件A出现的概率 1 对大量偶然事件有效 对少量事件不适用 实验总观测次数N 其中出现结果A的次数NA 不矛盾 5 3 概率的基本性质 1 0 W 1 W 0 为不可能事件 W 1 为必然事件 2 A和B为互斥事件 不可能同时出现 则出现A或B的总概率 概率叠加原理 归一化条件 对所有可能发生的事件的概率之和必定为1 或 3 J和K为相容事件 可同时出现 则同时发生J和K的概率 概率乘法定理 6 4 平衡态是概率最大的状态 a b c d4个热运动 可分辨粒子 在等容体A B两室中 中间隔板打开 A B abcd abc d abd c acd b bcd a ab cd ac bd bc ad ab cd ac bc bd ad abc abd acd bcd d c b a abcd 1 4 6 4 1 平衡态概率最大 斯特令公式 由 7 一 微观量与宏观量 统计物理的研究对象 大量微观粒子组成的体系 宏观量 描述系统整体特征和属性的物理量 如 气体的压强 p 体积 V 温度 T 等 微观量 描述系统中单个粒子特征的物理量 如 粒子的质量 m 动量 速度 能量 E 等 20 2温度与压强 热力学研究的对象 大量微观粒子组成的宏观体系 热力学系统 系统 8 二 平衡态 热力学系统的平衡态 系统处于平衡态时 系统的宏观量具有稳定值 而单个粒子的微观量在不断变化 动态平衡 统计物理认为 平衡态下系统宏观量是测量时间内 系统所有微观状态中相应的微观量的统计平均值 微观量 统计平均 宏观量 在不受外界影响的条件下 系统的宏观性质不随时间改变的状态 9 三 理想气体的压强公式 压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生 它等于容器壁单位时间单位面积上受到的平均冲量 建立理想气体微观模型 利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动 利用统计规律处理大量粒子的运动 理想气体压强 1 气体分子看成质点 2 除碰撞外 忽略其它力 3 完全弹性碰撞 10 推导中用到的统计概念和统计假设 1 分子以各种方向入射角去碰S面的概率相同 2 平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势 因而有 3 气体分子相互碰撞时 一个分子失去多少动量必有另一个分子得到相同的动量 4 分子相互碰撞导致分子与S面碰撞的次数增加和减少的机会是相同的 5 推导中不考虑分子间的相互碰撞 11 1 速度在 的一个分子一次碰撞器壁dS面后的动量变化为 一个分子施于器壁的冲量 2 在dt时间内 速度在 方向垂直dS面 在dt时间内 凡是在底面积为dS 高为vixdt的斜柱体内的分子都能与dS相碰 区间内的所有分子对器壁的冲量 这些分子作用于dS冲量为 12 3 dt内各种速度分子对dS的总冲量为 4 压强 由于 其中 为分子的平均平动动能 13 理想气体 平衡态 理想气体状态方程另一种表达式 普适气体常数 k玻耳兹曼常数 n 气体分子数密度 单位体积内的分子数 四 理想气体温度公式 14 对温度概念的理解 1 温度是描述系统平衡态宏观性质的物理量 动态 3 温度所反映的运动 是在质心系中表现的分子的无规则运动 又叫热运动 2 温度是一个统计概念 只能用来描述大量分子无规则运动剧烈程度的集体状态 对单个分子谈论它的温度没有意义 热力学温度是分子平均平动动能的量度 4 温度的微观意义 从统计物理角度看 热力学系统的温度是分子平均平动动能的量度 分子热运动的平均转动动能和振动动能也都和温度有直接的关系 15 一 等概率假设 对于处在平衡态的孤立系 其各个可能的微观态出现的概率相等 如果平衡态下孤立系的微观态总数为W 则系统的任一微观态出现的概率均为1 W 即 平衡态统计理论的基础 系统自发趋向于最概然分布 求经典粒子 气体分子 按能量的最概然分布的思路 1 现将N个粒子按 分布 记为 Ni 分别放到能量为 每一个 i还有gi个量子态 的各种量子态中去的可能占据的方式数 20 3三种统计规律 16 2 求 取最大值的分布 即最概然分布 3 求在最概然分布下 每个能级上的粒子数 能级上每个量子态被占据的概率 4 推导过程中要用到等概率假设和约束条件 孤立体系 粒子数守恒 恒量 能量守恒 恒量 17 经典粒子彼此可以区分 每个量子态中的粒子数不受限制 二 麦克斯韦 玻尔兹曼统计分布 M B分布 2个经典粒子在3个量子态中的可能分布共有多少种 种分布 2个不同粒子放入3个盒子 分2步完成 18 个粒子分别占用能级 Ni个经典粒子分布在 i能级的gi个量子态上的占据方式为 N个可区分粒子 分为 因而 对麦 玻系统 与一个分布 Ni 相应的系统的微观态数为 个量子态的占据方式为 的 个粒子的组合方式为 最概然分布求 取最大值的分布 19 斯特令公式 求最概然分布 证明 20 由宏观约束条件 由拉格朗日乘子法原理 求在最概然分布下 每个能级上的粒子数Ni 21 最后可得 由 可求得 和 经典粒子按能级的最概然分布 M B分布 理论和实验证明 22 20 4麦克斯韦 玻尔兹曼统计在理想气体中的应用 一 麦克斯韦分子速度分布律 利用M B分布可导出在没有势场情况下 理想气体按速度的分布规律 对理想气体 在温度T的平衡态下 分子速度在 的概率 23 利用 24 体积dV中动量为p附近的粒子数 体积V中动量为p附近的粒子数 速度分布律 25 二 麦克斯韦分子速率分布律 如果不考虑分子速度的方向 只考虑大小 由 并对 由0 由0 2 积分 在温度为T的平衡态下 理想气体分子速率在v v dv范围内的概率 麦克斯韦速率分布函数 速率分布函数 概率密度 麦克斯韦速度分布律 26 三 麦克斯韦速率分布实验 27 四 讨论 2 f v 曲线下 宽度为dv的窄条面积的物理意义 曲线下总面积 v1和v2区间的面积 分布函数f v 满足归一化条件 1 f v 曲线为偏态分布 v 0 f v 0 v f v 0 28 1 最概然速率 最可几速率 曲线f v 中极大值所对应的速率vp 由 及 vp 可求得速率vp 五 三种速率 vp附近概率密度最大 或者说 同样速率间隔dv 速率在vp vp dv的分子数最多 2 平均速率 29 3 方均根速率 可以看出 结论 1 三种速率都反映了大量分子作热运动的统计规律 三种速率都与温度 成正比 与分子质量 成反比 2 讨论分子速率分布时用 讨论分子碰撞用 计算分子平均平动动能用 30 同一温度下不同气体的速率分布 N2分子在不同温度下的速率分布 例 1 对同一种气体 三种速率均与温度T开平方成正比 温度越高 分子各种速率均增加 分布曲线右移 2 同一温度下 不同物质三种速率均与质量m开平方成反比 分子质量越小 速率越大 分布曲线右移 31 六 玻尔兹曼能量分布律等温气压公式 麦克斯韦速度分布率 理想气体在没有外势场 在温度为T的热平衡态下 速度在 的分子数为 式中分子动能 玻尔兹曼能量分布律 玻尔兹曼将上述规律推广到有势场情况 得到理想气体在速度区间dvxdvydvz及位置区间dxdydz的分子数为 玻尔兹曼分布 32 对所有速度积分 得体积元dxdydz内的总分子数 由速度分布函数的归一化条件 得 七 玻尔兹曼分布律的应用 重力场中粒子按高度的分布 33 用空间粒子数密度表示 令C n0为Ep 0处的粒子数密度 八 重力场中等温气压公式 重力场中粒子按高度的分布 恒温气压公式 上式给出每升高10m 大气压强约降低133Pa 34 空气密度 气体压强p可以看作单位面积上空气柱重量 由 重力场中粒子按高度的分布 另一种推导方法 35 20 5能量按自由度均分定理理想气体的内能 系统内所有粒子各种能量的总和 热力学内能 系统内所有分子热运动动能和分子间相互作用势能的总和称为系统内能 用E表示 内能是状态量 理想气体内能 理想气体的内能是温度的单值函数 一 内能 36 二 能量均分定理 1 自由度 单原子分子 i 3 刚性双原子分子 i 5 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 刚性多原子分子 i 6 2 能量均分定理 在温度为T的平衡态下 分子每一个可能的自由度都占有相同的能量 kT 2 例 粒子的平均平动动能 37 设分子有t个平动自由度 r个转动自由度 s个振动自由度 每个振动自由度又占有振动动能和振动势能2份能量 则分子的平均能量为 单原子分子 刚性双原子分子 多原子分子 i t r 2s 常温下 理想气体 38 3 理想气体内能 1mol理想气体分子数为NA 内能为 质量为m的理想气体内能为 一定质量的理想气体的内能只是温度的函数 而且和热力学温度成正比 39 例 用绝热材料制成的一个容器 体积为2V0 被绝热板隔成A B两部分 A内储有1mol单原子理想气体 B内储有2mol双原子理想气体 A B两部分压强相等均为p0 两部分体积均为V0 求 1 两种气体各自的内能 2 抽去绝热板 两种气体混合后处于平衡时的温度 解 1 末内能 2 初内能 40 分子热运动 碰撞示意图 20 6分子碰撞的统计规律 一 分子平均碰撞频率 分子平均碰撞频率 由于分子向各个方向运动的概率相同 所有两分子运动方向的平均夹角将是0 至180 之间的平均值90 因此 所以 41 即每秒内一个分子要发生几十亿次碰撞 例 估计氢气分子 H2 在标准状况下 常温常压下 的平均碰撞频率数量级 二 平均自由程 分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值 将p nkT代入上式得 估计平均自由程的数量级为 分子直径 可以将气体分子看成质点 42 总结 1 压强 4 三种速率 2 温度 3 速率分布函数 5 平均碰撞频率和平均自由程 43 例1 用总分子数N 气体分子速率v和速率分布函数f v 表示下列各量 指出其物理含义 1 速率大于v0的分子数 2 速率大于v0的那些分子的平均速率 3 速率大于v0的分子数占总分子数的比例 或 多次观察某一分子的速率 发现其大于v0的几率 44 温度T相同 哪个是H2 哪个是O2 都个是H2 温度不同 哪个温度高 例2 45 用 表示数率分布函数 简化运算 例3 46 例4 求300K时 空气中速率在vp附近和10vp附近单位速率区间 的分子数占总分子数的百分比各是多少 解 47 例5 有N个粒子 其速率分布函数为 求粒子平均速率 解 f v 应满足归一化条件 平均速率 48 例6 一瓶气体由N个分子组成 试证不论分子速率分布函数如何 总有 证 49 例7 负温度 以二能系统为例 当T增加 N2增加 N1减小 N2 N1 当T 时 N2 N1 当T 0时 粒子数反转 激光 负温度状态 是比正 还高的温度 50 例8 已知一定量的某种理想气体 在温度T1与T2时的分子最可几速率分别为vp1和vp2 分子速率分布函数的最大值分别为f vp1 和f vp2 若T1 T2则 答 C 51 不相等 2 相等 1 3 不相等 例9 有两个容器 一个装氢 H2 一个装氩 Ar 均视为理想气体 已知两种气体的体积 质量 温度都相等 问 1 两种气体的压强是否相等 2 每个氢分子和每个氩分子的平均平动动能是否相等 3 两种气体的内能是否相等 氩的摩尔质