指数与指数幂的运算教案

2 1 1 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算 2 课时 课时 第一课时第一课时 根式根式 教学目标 教学目标 1 理解 n 次方根 根式 分数指数幂的概念 2 正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质 3 培养学生认识 接受新事物和用联系观点看问题的能力 教学重点 教学重点 根式的概念 分数指数幂的概念和运算性质 教学难点 教学难点 根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法 教学方法 学导式 教学过程 教学过程 I 复习回顾 复习回顾 引例 引例 填空 1 a0 1 a n na aa anN 个 0 n n a a 1 Nn 0a 2 m n Z m n Z n Z mnm n aaa mnmn aa n nn abab 3 9 9 0 4 0a a 2 a 2 II 讲授新课 讲授新课 1 引入 引入 1 填空 1 2 复习了整数指数幂的概念和运算性质 其中 因为 可看作 所以可以归入性质 又因为 mn aa mn aa mnm n aaa mnm n aaa 可看作 所以可以归入性质 n Z 这是为 n b a mn aa n n n b a b a n nn abab 下面学习分数指数幂的概念和性质做准备 为了学习分数指数幂 先要学习 n 次根式 的概念 Nn 2 填空 3 4 复习了平方根 立方根这两个概念 如 22 4 2 2 4 2 2 叫 4 的平方根 23 8 2 叫 8 的立方根 2 3 8 2 叫 8 的立方根 25 32 2 叫 32 的 5 次方根 2n a 2 叫 a 的 n 次方根 分析分析 若 22 4 则 2 叫 4 的平方根 若 23 8 2 叫做 8 的立方根 若 25 32 则 2 叫做 32 的 5 次方根 类似地 若 2n a 则 2 叫 a 的 n 次方根 由此 可有 2 n 次方根的定义 次方根的定义 板书 一般地 如果 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 th root 其中 且 n xa n1n nN 问题问题 1 n 次方根的定义给出了 x 如何用 a 表示呢 是否正确 n ax 分析过程分析过程 例例 1 根据 n 次方根的概念 分别求出 27 的 3 次方根 32 的 5 次方根 a6的 3 次方根 要求完整地叙述求解过程 解 因为 33 27 所以 3 是 27 的 3 次方根 因为 32 所以 2 是 32 的 5 5 2 次方根 因为 所以 a2是 a6的 3 次方根 632 a a 结论结论 1 当 n 为奇数时 跟立方根一样 有下列性质 正数的 n 次方根是正数 负数的 n 次方根是负数 任何一个数的方根都是唯一的 此时 a 的 n 次方根可 表示为 n ax 从而有 327 3 232 5 236 aa 例例 2 根据 n 次方根的概念 分别求出 16 的 4 次方根 81 的 4 次方根 解 因为 所以 2 和 2 是 16 的 4 次方根 4 216 16 2 4 因为任何实数的 4 次方都是非负数 不会等于 81 所以 81 没有 4 次方根 结论结论 2 当 n 为偶数时 跟平方根一样 有下列性质 正数的 n 次方根有两个 且互为相反数 负数没有 n 次方根 此时正数 a 的 n 次方根可表示为 0a a n 其中表示 a 的正的 n 次方根 表示 a 的负的 n 次方根 n a n a 例例 3 根据 n 次方根的概念 分别求出 0 的 3 次方根 0 的 4 次方根 解 因为不论 n 为奇数 还是偶数 都有 0n 0 所以 0 的 3 次方根 0 的 4 次方根均为 0 结论结论 3 0 的 n 次方根是 0 记作当 a 0 时也有意义 nn a 00即 这样 可在实数范围内 得到 n 次方根的性质 3 n 次方根的性质 次方根的性质 板书 其中其中 叫根式 叫根式 n 叫根指数 叫根指数 a 叫被叫被 2 12 Nk kna kna x n n 开方数 开方数 注意 注意 根式是 n 次方根的一种表示形式 并且 由 n 次方根的定义 可得到根 式的运算性质 4 根式运算性质根式运算性质 板书 即一个数先开方 再乘方 同次 即一个数先开方 再乘方 同次 结果仍为被开方数 结果仍为被开方数 aa nn 问题问题 2 若对一个数先乘方 再开方 同次 结果又是什么 例例 4 求 3 3 2 5 5 2 44 3 2 3 由所得结果 可有 板书 为偶数 为奇数 na na a nn n a 性质的推导如下 性质 推导过程 当 n 为奇数时 aaaxax nnnn 得由 当 n 为偶数时 aaaxax nnnn 得由 综上所述 可知 aa nn 性质 推导过程 当 n 为奇数时 由 n 次方根定义得 nn aa 当 n 为偶数时 由 n 次方根定义得 nn aa 则 nnnn aaa 综上所述 为偶数 为奇数 n a n a a nn 注意 性质 有一定变化 大家应重点掌握 III 例题讲解 例题讲解 例 1 求下列各式的值 4 33 81 2 102 44 33 a b 2 ba 注意 注意 根指数 n 为奇数的题目较易处理 要侧重于根指数 n 为偶数的运算 III 课堂练习 课堂练习 求下列各式的值 1 2 3 4 5 32 4 3 2 32 625 IV 课时小结 课时小结 通过本节学习 大家要能在理解根式概念的基础上 正确运用根式的运算性质 解题 V 课后作业 课后作业 1 书面作业 书面作业 a 求下列各式的值 3 271 6 a 2 2 43 2 x3 1x 4 b 书 P82习题 2 1 A 组题第 1 题 2 预习作业 预习作业 a 预习内容 课本 P59 P62 b 预习提纲 1 根式与分数指数幂有何关系 2 整数指数幂运算性质推广后有何变化 第二课时第二课时 分数指数幂分数指数幂 教学目标 教学目标 一 教学知识点 1 分数指数幂的概念 2 有理指数幂的运算性质 二 能力训练要求 1 理解分数指数幂的概念 2 掌握有理指数幂的运算性质 3 会对根式 分数指数幂进行互化 三 德育渗透目标 培养学生用联系观点看问题 教学重点 教学重点 1 分数指数幂的概念 2 分数指数幂的运算性质 教学难点 教学难点 对分数指数幂概念的理解 1 在利用根式的运算性质对根式的化简过程 注意发现并归纳其变形特点 进而由特殊情形归纳出一般规律 2 在学生掌握了有理指数幂的运算性质后 进一步将其推广到实数范围内 但无须进行严格的推证 由此让学生体会发现规律 并由特殊推广到一般的研 究方法 教学过程 教学过程 复习回顾复习回顾 师 上一节课 我们一起复习了整数指数幂的运算性质 并学习了根式 的运算性质 整数指数幂运算性质 1 am an am n m n Z Z 根式运算性质 2 am n am n m n Z Z 为偶数 为奇数 na na a nn 3 a b n an bn n Z Z 师 对于整数指数幂运算性质 2 当a 0 m n是分数时也成立 说明 对于这一点 课本采用了假设性质 2 对a 0 m n是分数也成立 这种方法 我认为不妨先推广了性质 2 为下一步利用根式运算性质推导正分 数指数幂的意义作准备 师 对于根式的运算性质 大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指 数n的一致性 接下来 我们来看几个例子 例子 当a 0 时 师 上述推导过程主要利用了根式的运算性质 例子 用到了推广 5 10 2 5 52510 aaaa 3 12 4 3 34312 aaaa 3 2 3 3 3 2 32 aaa 2 1 2 2 1 aaa 的整数指数幂运算性质 2 因此 我们可以得出正分数指数幂的意义 讲授新课讲授新课 1 1 正数的正分数指数幂的意义正数的正分数指数幂的意义 a 0 m n N N 且n 1 nm n m aa 师 大家要注意两点 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式 二是根式 与分数指数幂可以进行互化 另外 我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定 2 2 规定规定 板书板书 师 规定了分数指数幂的意义以后 指数的概念就从整数推广到有理数指数 当a 0 时 整数指数幂的运算性质 对于有理指数幂也同样适用 即对于任意 有理数 r s 均有下面的运算性质 3 3 有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 板书板书 1 a 0 m n N N 且n 1 n m n m a a 1 2 0 的正分数指数幂等于 0 3 0 的负分数指数幂无意义 1 ar as ar s a 0 r s Q Q 2 ar s ar s a 0 r s Q Q 3 a b r ar br a 0 b 0 r Q Q 师 说明 若a 0 P是一个无理数 则aP表示一个确定的实数 上述有理 指数幂的运算性质 对于无理数指数幂都适用 有关概念和证明在本书从略 这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫 接下来 大家通过例题来熟悉 一下本节的内容 4 4 例题讲解例题讲解 分析 此题主要运用有理指数幂的运算性质 解 422 2 8 2 3 2 3 3 2 3 3 2 8 27 3 2 3 2 81 16 6422 2 4 1 10 1 1010 10 100 3 4 3 4 4 3 6 3 2 323 1 2 1 2 2 1 2 2 1 式中a 0 aaaaaa 3232 解 2 5 2 1 2 2 1 22 aaaaaa 4 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 11 3 2 3 3 2 3323 aaaaaa aaaaaa 师 为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质 我们 来做一下练习题 课堂练习课堂练习 例例 2 2 求值 4 3 3 2 1 3 2 81 16 4 1 100 8 例例 3 用分数指数幂的形式表示下列各式 课本P51练习 1 用根式的形式表示下列各式 a 3 2 5 3 4 3 5 1 aaaa 解 5 5 1 aa 32 32 3 2 53 53 5 3 43 4 3 1 1 a aa a aa aa 2 用分数指数幂表示下列各式 解 1 3 2 32 xx 2 4 3 4 3 baba 3 3 2 3 2 nmnm 4 2 1 4 nmnm 1 2 32 x 4 3 ba 3 4 3 2 nm 4 nm 5 6 56 qp m m3 5 2 5 3 2 5 2 6 2 1 5656 0 qpqpqppqp 6 2 5 2 1 3 3 mmm m m 3 求下列各式的值 1 2 3 4 2 3 25 3 2 27 2 3 49 36 2 3 4 25 5 6 4 2 3 981 63 125 132 解 1 12555 5 25 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 933 3 27 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 343 216 7 6 7 6 7 6 7 6 49 36 3 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 4 125 8 5 2 2 5 2 5 2 5 2 5 4 25 3 3 33 2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 3 2 4 4 2 1 2 3 2 4 4 2 1 3 2 24 4 2 3 3333 3 3981 6 6 1 4 1 3 2 4 1 4 4 1 3 2 4 3333 3 3 33 6 6 1 2 3 1 3 1 63 23 2 3 32125 132 63232 333 222 232332 6 1 3 1 2 1 3 1 3 1 1 6 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 2 1 要求 学生板演练习 做完后老师讲评 课时小结课时小结 师 通过本节学习 要求大家理解分数指数幂的意义 掌握分数指数幂 与根式的互化 熟练运用有理指数幂的运算性质 课后作业 一 1 课本P53 练习题 解 1 12 7 4 1 3 1 4 1 3 1 43 aaaaaa 2 8 7 8 1 4 1 2 1 8 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 aaaaaaaaaaa 3 3 2 3 2 baba 4 4 3 4 3 baba 5 3 1 22322 baabbaab 2 用分数指数幂表示下列分式 其中各式字母均为正数 1 2 43 aa aaa 3 4 3 2 ba 4 3 ba 5 6 322 baab 4 233 ba 2 1 33 4 2 33 4 233 bababa 解 1111 11 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 8 7 7 8 7 8 7 8 49 64 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 001 0 1010 10 10000 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 25 9 3 5 3 5 3 5 3 5 27 125 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 解 1 1 710 2 46 88 3 0 1170 3 1 5 3 2 321 2 1 73 4 28 90 5 2 881 6 0 08735 5 4 67 2