大一上学期高数知识点

80 第二章第二章 导数与微分导数与微分 一 主要内容小结 1 1 定义定义 定理定理 公式公式 1 导数 左导数 右导数 微分以及导数和微分的几何意义 2 定理与运算法则 定理定理 1 1 存在 0 x f 0 xf 0 xf 定理定理 2 2 若在点处可导 则在点x处连续 反之不真 xfy 0 x xfy 0 定理定理 3 3 函数在处可微在处可导 xf 0 x xf 0 x 导数与微分的运算法则 导数与微分的运算法则 设均可导 则 xvvxuu vuvu dvduvud uvvuuv vduudvuvd 0 2 v v vuuv v u 0 2 v v udvvdu v u d 3 基本求导公式 2 2 各类函数导数的求法各类函数导数的求法 1 复合函数微分法 2 反函数的微分法 3 由参数方程确定函数的微分法 4 隐函数微分法 5 幂指函数微分法 6 函数表达式为若干因子连乘积 乘方 开方或商形式的微分法 方法 对数求导法 即先对式子的两边取自然对数 然后在等式的两端再对求导 x 81 7 分段函数微分法 3 3 高阶导数高阶导数 1 定义与基本公式 高阶导数公式 aaa nxnx ln 0 a xnx ee 2 sin sin nkxkkx nn 2 cos cos nkxkkx nn nmnm xnmmmx 1 1 nx nn n nn x n x 1 1 ln 1 莱布尼兹公式 2 高阶导数的求法 直接法 间接法 4 4 导数的简单应用导数的简单应用 1 求曲线的切线 法线 2 求变化率 相关变化率 二 例题解析 例例 2 12 1 设 K为整数 问 0 0 0 1 sin x x x x xf K 1 当 K 为何值时 在处不可导 xf0 x 2 当 K 为何值时 在处可导 但导函数不连续 xf0 x 3 当 K 为何值时 在处导函数连续 xf0 x 解解 函数在x 0 点的导数 xf 0 lim x 0 0 x fxf 0 lim xx fxf 0 0 lim xx x x K 1 sin 0 lim xx x K 1 sin 1 10 1 K K 当 当发散 82 即 1 0 1 0 K K f 不存在 当时 的导函数为 1 K xf 0 0 0 1 cos 1 sin 21 x x x x x Kx xf KK 为使 取即可 lim 0 xf x 0 0 f 2 K 因此 函数 0 0 0 1 sin x x x x xf K 当 K 1 时 在处不可导 xf0 x 当时 在处可导 但导函数在处不连续 2 K xf0 x0 x 当时 在处可导且导函数在处连续 2 K xf0 x0 x 例例 2 22 2 求 tgx x ctgx x y 1 cos 1 sin 22 dx dy 分析分析 本例当然可以用商的求导法则来求 但比较麻烦 若先对函数表达式进行变 形就可用代数和的求导法则来求 这样就简便多了 解解 xx xx xx x xx x y cossin cossin sincos cos cossin sin 3333 x2sin 2 1 1 所以 xy2cos 如果不经过化简 直接求导则计算将是十分繁琐的 例例 2 32 3 求 x arctgey 1 ln 2 2 x x e e dx dy 分析分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求 比较麻烦 83 但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形 再利用差及复合函数求导法来求 就简 便得多 解解 因为 x arctgey 1ln ln 2 1 22 xx ee 1ln 2 1 2 xx exarctge 所以 x arctgey 1 ln 2 1 2 x ex 1 2 2 1 1 1 2 2 2 x x x x e e e e 1 1 2 x x e e 例例 2 42 4 设 求 y xfx eef dx dy 解解 利用积的求导法则及复合函数求导法则 有 dx dy xfxx eeef xfeef xfx xxxf eefe xfef x 例例 2 52 5 设方程 求 cos 22 yxexy y y 本例是隐函数求导问题 对隐函数求导可用下面两种方法来求 解解 方法一 方程两端同时对求导 y看作x的函数 由复合函数求导法可x xyy 得 21 sin 2 22 yyyxyeyxyy y sin 22 sin 2 22 yxyexy yxy y y 方法二 方程两边同时微分 cos 22 yxdexyd y 2 sin 2 22 ydydxyxdyexydydxy y dxyxydyyxyexy y sin sin 22 222 所以 sin 22 sin 2 22 yxyexy yxy dx dy y 84 例例 2 62 6 已知 为二次可微函数 且 求 tftf ty tfx tf0 t f dx dy 2 2 dx yd 分析分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题 可按参数方程求导法则 来求 解解 因为 tftf tddy dttf t dttftfddx 所以 t dttf dttf t dx dy 又 dt dx dy d 所以 2 2 dx yd 1 tfdttf dt dx dy dx d 常见错解 常见错解 2 2 dx yd 1 t 错误原因错误原因 没有搞清求导对象 是一阶导数对求导 而是一阶导数 2 2 dx yd dx dy dx d dx dy x t 对t求导 例例 2 72 7 求函数 的微分 1 2 x x y 解解 2 1x x ddy 2 22 1 11 x xxddxx 2 2 2 2 1 1 12 1 1 x xd x xdxx 2322 2 2 2 1 1 1 1 x dx x dx x x dxx 例例 2 82 8 设 求 23 2 3 xx x y n y 分析分析 本例是求分式有理函数的高阶导数 先将有理假分式通过多项式除法化为整 85 式与有理真分式之和 再将有理分式写成部分分式之和 最后仿的表达式写出 nm x 所给定的有理函数的n阶导数 解解 1 1 2 8 3 1 2 67 3 xx x xx x xy n y 1 1 1 2 8 3 nnn xxx nnnn xnxn 11 1 1 2 8 1 0 11 1 1 2 8 1 nn n xx n2 n 例例 2 92 9 设 求的导函数 的连续区间 若间断 判别类 0 1 0 2 xx xe xf x xf x f 型 并分别作与的图形 xf x f 分析分析 函数是用分段表达的函数 在的两侧 当 时 xf0 x0 x x exf 当时 因此 在 处 的可导情况 需根据定义来作判断 0 xxxf2 0 x xf 求出导函数后 再判别它的连续区间 解解 因为 x fxf f x 0 lim 0 0 0 11 lim 2 0 x x x 所以 在处不可导 1 1 lim 0 lim 0