八年级下册数学复习专题

1 C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料八年级下册数学复习资料 姓名姓名 第一章第一章 直角三角形直角三角形 1 直角三角形的性质 直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 如图 在ABC 中 CD 是斜边 AB 的中线 Rt 1 2 CDAB 例 直角三角形斜边长 20cm 则此斜边上的中线为 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角那么它所对的直角 边等于斜边的一半 边等于斜边的一半 如图 在ABC 中 A 30 Rt 1 2 BCAB 例 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 则下列结论中正确的是 A AB 2BC B AB 2AC C AC2 AB2 BC2 D AC2 BC2 AB2 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么 这条直角边所对的角等于这条直角边所对的角等于 30 如图 在ABC 中 A 30 Rt 1 2 BCAB 例 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则顶角的度数是 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 1 勾股定理 直角三角形两直角边勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等的平方和等 于斜边于斜边 c 的平方 即的平方 即 222 abc 求斜边求斜边 则 求直角边求直角边 则或 22 cab 22 acb 22 bca 例 如图是拉线电线杆的示意图 已知 CD AB CAD 60 则拉线 AC 的长是 m 例 若一个直角三角形的两边长分别为6和10 那么这个三角形的第三条边 长是 2 逆定理逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a b c 有关系有关系 那么这个三角形是直角 那么这个三角形是直角 222 abc 三角形三角形 分别计算 和 相等就是 不相等就不是 22 ab 2 cRt Rt 例 在 Rt ABC 中 若 AC BC AB 3 则下列结论中正确的是 27 A C 90 B B 90 C ABC 是锐角三角形 D ABC 是钝角三角形 例 一块木板如右图所示 已知AB 4 BC 3 DC 12 AD 13 90B 木板的面 2 A D B C 积为 例 某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园 如图所示 ACB 90 AC 80 米 BC 60 米 若线段 CD 是一条小渠 且 D 点在边 AB 上 已知水渠的造价为 10 元 米 问 D 点在距 A 点多远处时 水渠的造价 最低 最低造价是多少 直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形 例 如图 梯子 AB 靠在墙上 梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 7m 梯子的顶端 B 到地面的距离为 24m 现将梯子的底端 A 向外移动到 A 使梯子的底端 A 到墙根 O 的距离等于 15m 同时梯子的顶端 B 下降 至 B 那么 BB 的长度是多少 3 G F E D C B A 例 如图 放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm 灯罩 BC 长为 30cm 底座厚 度为 2cm 灯臂与底座构成的 BAD 60 使用发现 光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成 的角为 30 此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm 结果精确到 0 1cm 参考数 据 1 732 2 2 直角三角形的判定 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在三角形中 如果一条边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这个三角形是直角三角形 222 abc 例 若一个三角形三边满足 则这个三角形是 三角形 abcba2 22 例 若 A B C 2 3 5 则 ABC 是 三角形 例 已知 a b c 是三角形的三边长 如果满足 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 则三角形的形 状是 A 底与边不相等的等腰三角形 B 等边三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 3 3 直角三角形全等 直角三角形全等 方法 方法 SAS ASA SSS AAS HL 例 如图 在 ABC 中 D 为 BC 的中点 DEBC 交 BAC 的平分线 AE 于点 E EFAB 于点 F EGAC 的延长线于点 G 求证 BF CG 4 P E D C B A E D C B A P F E D C B 2 1 A 4 4 角平分线的性质 角平分线的性质 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图 如图 AD 是是 BAC 的平分线 或的平分线 或 1 2 PE AC PF AB PE PF 角平分线判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 例 如图 在 ABC 中 C 90 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D 若 BD 10 厘米 BC 8 厘米 DC 6 厘米 则点 D 到直线 AB 的距 离是 厘米 例 如图 在 ABC 中 O 是 ABC 与 ACB 的平分线的交点 求证 点 O 在 A 的平分线上 例 如图 在 ABC 中 B 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D BC 10cm CD 6cm 则点 D 到 AC 的距离是 例 如图 在 Rt ABC 中 AC 4 BC 3 AB 5 点 P 是三角形内桑内角平分线的交点 则点 P 到 AB 的距离是 5 5 线段垂直平分线 线段垂直平分线 线段垂直平分线 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 如图 如图 CD 是线段是线段 AB 的垂直平分线 的垂直平分线 PA PB 例 如图 ABC 中 DE 是 AB 的垂直平分线 AE 4cm ABC 的周长是 18 cm 则 BDC 的周长是 例 已知 如图 求作点 P 使点 P 到 A B 两点的距离相等 且 P 到 MON 两边的距离也相等 O C BA ON M A B 第 1 题 B C A A B C D D E 第 2 题 5 第二章第二章 四边形四边形 1 多边形内角和公式 多边形内角和公式 n 边形的内角和边形的内角和 n 2 180 n2 180 n 内角和 求边形的方法 任意多边形外角和等于任意多边形外角和等于 360 四边形具有不稳定性 三角形具有稳定性 四边形具有不稳定性 三角形具有稳定性 例 一个多边形的内角和为 12600 它是 边形 例 已知一个多边形的内角和是外角和的 5 倍 它是 边形 2 中心对称 在直角坐标系中即关于原点对称 其横 纵坐标都互为相反数 中心对称 在直角坐标系中即关于原点对称 其横 纵坐标都互为相反数 成中心对称的两个图形中 对应点得连线经过对称中心 且被对称中心平分成中心对称的两个图形中 对应点得连线经过对称中心 且被对称中心平分 会画与某某图形成中心对称图形会画与某某图形成中心对称图形 会辨别图形 实物 汉字 英文字母 扑克等是否中心对称图形会辨别图形 实物 汉字 英文字母 扑克等是否中心对称图形 例 下列几张扑克牌中 中心对称图形的有 张 例 在字母 C H V M S 中是中心对称图形的是 例 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A 等边三角形 B 平行四边形 C 等腰梯形 D 矩形 例 下列图案是中心对称图形 不是轴对称图形的是 例 如图 在边长为 1 个单位长度的小正 方形组成的网格中 给出了格点 ABC 顶点是网格线的交点 和点 A1 画出 ABC 关于点的中心对称图形 1 A 6 o B AD C B AD C F E CB A 3 三角形的中位线 三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 如图 在 ABC 中 E 是 AB 的中点 F 是 AC 的中点 EF 是 ABC 的中位线 EF BC 1 2 EFBC 例 如图 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 点 E 是 BC 的中点 若 OE 3 cm 则 AB 的长为 例 已知 ABC 三边的长分别为 10 12 16 那么这个三角形的三 条中位线所围成的三角形的周长等于 A 38 B 19 C 17 D 21 4 特殊四边形的性质与判定 特殊四边形的性质与判定 平行四边形的性质 平行四边形的性质 边 对边相等且平行 角 对角相等 邻角互补 对角线 对角线互相平分 不是轴对称图形 是中心对称图形 平行四边形判定 平行四边形判定 定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形 如图 AB CD AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 方法 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图 AB CD AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 方法 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图 A C B D 四边形 ABCD 是平行四边形 方法 3 一组对边平行相等的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形 如图 AB CD AB CD 四边形 ABCD 是平行四边形 或 AD BC AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 方法 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图 OA OC OB OD 四边形 ABCD 是平行四边形 例 如图 在 ABCD 中 点 E 是 AD 的中点 BE 的延长线与 CD 的延长线交于点 F 试连结 BD AF 判断四边形 ABDF 的形状 并证明你的结论 例 如图 已知 BE DF ADF CBE AF CE 求证 四边形 DEBF 是平行四边 形 7 E A N MF CB O 矩形的性质 矩形的性质 边 对边相等且平行 角 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分且相等且相等 是轴对称图形 也是中心对称图形 矩形的判定 矩形的判定 定义判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 方法 1 有三个角是直角的四边形是矩形 方法 2 对角线相等的平行四边形是矩形 例 如图 ABC 中 点 O 为 AC 边上的一 个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的外角平 分线 CF 于点 F 交 ACB 内角平分线 CE 于E 1 当点 O 运 动到何处时 四边形 AECF 是矩形 并证明你的结论 2 猜想 ABC 是何形状三角形时 矩形 AECF 会是正方形 并证明 你的结论 例 如图 16 矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 BC 交 AD 于点 E AD 8 AB 4 则 DE 的长为 例 如图所示 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O AOB 60 AB 2 则矩形的对 角线 AC 的长是 菱形的性质 菱形的性质 边 四条边相等 角 对角相等 邻角互补 对角线 对角线互相平分且垂直且垂直 是轴对称图形 也是中心对称图形 菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半 菱形的判定 菱形的判定 8 定义判定 一组邻边相等的平行四边形是菱形 方法 1 四边都相等的四边形是菱形 方法 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例 已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD BC 分别相交于 E F 求证 四边形 AFCE 为菱形 例 矩形 ABCD 的对角线相交于 O AB 6 AC 10 则面积为 例 菱形的周长为 20 一条对角线长为 6 则其面积为 正主形的性质 正主形的性质 边 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分且垂直相等且垂直相等 是轴对称图形 也是中心对称图 形 正方形的判定 正方形的判定 定义判定 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 方法 1 有一个角是直角的菱形是正方形 方法 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 例 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A 对角线互相平分 B 对角线相等 C 对角线平分一组对角 D 对角线互相垂直 例 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 例 如图 把一个长方形纸片对折两次 然后剪下一个角 为了得到一个正方形 剪刀与 折痕所成的角的度数应为 A 60 B 30 C 45 D 90 例 下列说法错误的是 A 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B 对角线平分且相等的四边形是矩形 C 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D 对角线互相平分的四边形是平行四边形 例 如图 在正方形 ABCD 的外侧 作等边 ADE 则 AEB 例 如图为四边形 平行四边形 矩形 正方形菱形 梯 形集合示意图 请将字母所代表的图形分别填入下表 ABCDEF A BC D F E O 9 5 平面图形的镶嵌 平面图形的镶嵌 关键 围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 关键 围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 例 只用下列正多边形地砖中的一种 能够铺满地面的是 A 正十边形 B 正八边形 C 正六边形 D 正五边形 例 在下列四种边长均为 a 的正多边形中 正方形 正五边形 正六边形 正 八边形 能与边长为 a 的正三边形作平面镶嵌的是 第三章第三章 图形与坐标图形与坐标 1 有序实数对 有序实数对 4 2 4 横坐标 2 纵坐标 2 平面直角坐标系 平面直角坐标系 横轴 X 轴 纵轴 Y 轴 原点 O 方向 单位长度 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 例例 在平面直角坐标系中 点 P 2 3 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 例例 若点 P a b 在第四象限 则点 Q a b 1 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 方位角 方位角 北偏西 60 南偏东 30 4 点的对称性 点的对称性 关于关于 x 轴对称的点 横坐标相反 纵坐标相等 轴对称的点 横坐标相反 纵坐标相等 关于关于 y 轴对称的点 横坐标相等 纵坐标相反 轴对称的点 横坐标相等 纵坐标相反 关于原点对称的点 横 纵坐标都相反 关于原点对称的点 横 纵坐标都相反 若直角坐标系内一点 P a b 则 P 关于 x 轴对称的点为 P1 a b P 关于 y 轴对称的点为 P2 a b 关于原点对称的点为 P3 a b 解题方法 相等时用 连结 相反时两式相加 0 例例 点 M 2 3 关于 y 轴的对称点 N 的坐标是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 3 2 例例 如果点 P m 3 m 1 在 x 轴上 则点 P 坐标为 A 0 2 B 2 0 C 4 0 D 0 4 例例 已知 A B 两点的坐标分别是 2 3 和 2 3 则下面四个结论 A B 关于 轴对称 A B 关于轴对称 A B 关于原点对称 A B 之间的距离为 4 xy 其中正确的有 个 例 已知点 A m 1 3 与点 B 2 n 1 关于轴对称 则 m n x 例 已知点 P 3 1 关于轴对称点 Q 的坐标是 a b 1 b 则的值是 y b a 5 坐标平移 坐标平移 左右平移 横坐标右加左减 纵坐标不变 左右平移 横坐标右加左减 纵坐标不变 10 图 3 图图 图 上下平移 横坐标不变 纵坐标上加下减 上下平移 横坐标不变 纵坐标上加下减 例如 若直角坐标系内一点 P a b 向左平移 h 个单位 坐标变为 P a h b 向右平移 h 个单位 坐标变为 P a h b 向上平 移 h 个单位 坐标变为 P a b h 向下平移 h 个 单位 坐标变为 P a b h 如 点A 2 1 向上平移 2 个单位 再向右平移 5 个单位 则坐标 变为 A 7 1 例例 将四边 形 ABCD 先向左平移 3 个单位 再想上平移 2 个单位 那么点 A 3 2 的对应点的 A 坐标是 例例 已知点 A m n 把它向左平移 3 个单位后与点 B 4 3 关于轴对称 则 m y n 例例 将点 A 3 5 先向下平移 3 个单位 再向左平移 2 个单位 所得的点的坐标是 6 会建平面直角坐标系 用坐标表示相关位置 会建平面直角坐标系 用坐标表示相关位置 例例 如图所示的象棋盘上 若位于点 1 2 上 位于点 3 2 上 则的坐 帅 相 炮 标是 7 平面上的点与 平面上的点与 是一是一 一对应的 一对应的 例 若点 P 到 X 轴的距离为 5 到 Y 轴的距离为 3 且点 P 在第四象限 则 点 P 的坐标为 例 如图 在平面直角坐标系中 ABCD 的顶点 A B D 的坐标 分别是 0 0 5 0 2 3 则顶点 C 的坐标是 8 在平面直角坐标系中会画轴对称 平移后的图形 并写出图形顶点的坐 在平面直角坐标系中会画轴对称 平移后的图形 并写出图形顶点的坐 标 标 例例 在平面直角坐标系中描出点 A 3 5 B 1 1 C 5 3 的位置 连成 ABC 作出 ABC 关于轴对称的 x 111 ABC 并写出三个顶点的坐标 作出 ABC 关于原点 O 成中心对称 的 并写出三个顶点的坐标 222 A B C 将 ABC 向左平移 6 个单位长度 画出平 移后的 并写出三个顶点的坐标 333 A B C O A B C D 11 例例 如图 第一个正方形的顶点 A1 1 1 B1 1 1 第二个正方形的顶点 A2 3 3 B2 3 3 第三个正 方形的顶点 A3 6 6 B3 6 6 按顺序取点 A1 B2 A3 B4 A5 B6 则第 10 个点应取点 B10 其坐标为 第 n 为正整数 个点应取点 12 n 其坐标为 第四章第四章 一次函数一次函数 1 函数自变量的取值 函数自变量的取值 整式取全体实数 分式则分母不为整式取全体实数 分式则分母不为 0 二次根式则根号下的数 二次根式则根号下的数0 函数的自变量的取值范围是 1 1 y x x 函数的自变量的取值范围是 21yx x 函数的自变量的取值范围是 35yx x 函数的自变量的取值范围是 21 1 x y x x 下列不表示函数图象的是 2 一次函数一次函数 y kx b k 0 的图象是一条直线的图象是一条直线 含正比例函数含正比例函数 y kx 下列函数解析式 中是一次函数的2crp 21yx 3yx 2 1yx 有 求求 k 的取值 的取值 y随随 x 增大而增大则增大而增大则 k 0 y 随随 x 增大而减小则增大而减小则 k 0 再解出不等式 再解出不等式 若函数是正比例函数 k 1 5 a ykx a 7 7 7 5 A3 B3 A2B2 A1B1 x y 6 4 2 O 2 4 6 24 5 2 4 7 12 若正比例函数中 y 随 x 的增大而减小 则 m 的值是 2 3 1 m ymx 若函数是一次函数 则 且 y 随 x 的增大而 32 21 3 m ymx m 求函数图像经过的象限 在求函数图像经过的象限 在 y kx b 中 中 k 0 过一 三象限 过一 三象限 k 0 过二 四象限 过二 四象限 b 0 向上移 向上移 b 0 向下移 可得出 向下移 可得出 一次函数的图象经过第 象限57yx 若一次函数的图象不经过第二象限则的取值范围是 2yxb b 一次函数的图象经过原点 则 m 的值为 22ymxm 一次函数一次函数 y kx b k 0 的图象平移的方法 的图象平移的方法 b 的值加减即可 加是向上移 减则下移 的值加减即可 加是向上移 减则下移 直线是由 向 平移 2 个单位得到的 2 2 3 yx 将直线向下平移 3 个单位得到的函数解析式是 31yx 同一平面内两直线的位置关系 例如 1 l 11 yk xb 2 l 22 yk xb 若且 则 若 则 12 kk 12 bb 12 ll 12 1kk 12 ll 直线和平行 则 k 1 8 2 yx 1 5ykx 直线与的位置关系式 21yx 1 5 2 yx 坐标轴上点的特征 坐标轴上点的特征 x 轴上的点纵坐标为轴上的点纵坐标为 0 即 即 a 0 y 轴上的点横坐标为轴上的点横坐标为 0 即 即 0 b 直线与轴的交点坐标为 1 3 2 yx x 与轴的交点坐标为 y 13 面积公式 面积公式 当当时 一次函数时 一次函数的图象与两条坐标轴围成的直角三角形的的图象与两条坐标轴围成的直角三角形的0b ykxb 面积面积 2 2 b s k 直线 经过第 象限 它与两坐标轴围成的三角形面积是 32yx 已知一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积等于 4 则一次函数的解析3yxb 式为 用待定系数法求一次函数的解析式 用待定系数法求一次函数的解析式 先设一次函数的表达式为先设一次函数的表达式为 y kx b 再将已知的两组 再将已知的两组 x y 值代人列出二元一次方程值代人列出二元一次方程 组 求出组 求出 k b 的值 再代回即可 的值 再代回即可 已知正比例函数的图象经过点 P 2 5 求它的表达式 已知一次函数的图象经过点 0 2 和 1 1 求这个一次函数的表达式 已知直线经过点 A 1 0 与点 B 2 3 另一条直线经过点 B 且与轴交于点 1 l 2 lx P m 0 求直线的表达式 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