重庆名校二次函数综合试题精练(有答案)

重庆名校函数综合试题精练重庆名校函数综合试题精练 1 南开中学 2008 中考模拟 如图 已知抛物线与轴交于点 与轴交与 A B 两点 点 A 2 2 3 yxbxc yCx 在点 B 的左侧 且 OA 1 OC 2 1 求抛物线的解析式及对称轴 2 点 E 是抛物线在第一象限内的一点 且 求点 E 的坐标 tan1EOB 3 在抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得为等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请PBE 说明理由 2 2008 年南开 5 月模拟 已知 抛物线与 x 轴交于和两点 与 y 轴交于 2 yaxbxc 1 0 A 2 0 B 0 2 C 1 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点 M 的坐标 2 求四边形 ABMC 的面积 3 在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P 使为直角三角形 若存在 求出所有符合条件的点 P 的坐PAC 标 若不存在 请说明理由 3 一中 2009 年 5 月模拟 如图 直线分别交轴 轴于 B A 两点 抛物线 L 的顶33 xyxycbxaxy 2 点 G 在轴上 且过 0 4 和 4 4 两点 x 图图图 图图 A BO y x x y 26图图 OB A G G 1 求抛物线 L 的解析式 2 抛物线 L 上是否存在这样的点 C 使得四边形 ABGC 是以 BG 为底边的梯形 若存在 请求出 C 点的坐标 若不 存在 请说明理由 3 将抛物线 L 沿轴平行移动得抛物线 L 其顶点为 P 同时将 PAB 沿直线 AB 翻折得到 DAB 使点 D 落在抛物x 1 线 L 上 试问这样的抛物线 L 是否存在 若存在 求出 L 对应的函数关系式 若不存在 说明理由 111 4 南开中学 2009 年 5 月中考模拟 如图 1 矩形的顶点为原点 点在上 把沿折叠 OABCOEABCBE CE 使点落在边上的点处 点坐标分别为和 抛物线过点 BOADAD 10 0 6 0 2 1 5 yxbxc CB 1 求两点的坐标及该抛物线的解析式 CB 2 如图 2 长 宽一定的矩形的宽 点沿 1 中的抛物线滑动 在滑动过程中轴 且在PQRS1PQ PxPQ RS 的下方 当点横坐标为 1 时 点距离轴个单位 当矩形在滑动过程中被轴分成上下两部分的PQPSx 5 11 PQRSx 面积比为 2 3 时 求点的坐标 P 3 如图 3 动点同时从点出发 点以每秒 3 个单位长度的速度沿折线按的路线运MN OMODCCDO 动 点以每秒 8 个单位长度的速度沿折线按的路线运动 当两点相遇时 它们都停止NOCDDCO MN 运动 设同时从点出发 秒时 的面积为 求出与 的函数关系式 并写出 的取值范围 MN OtOMN SStt 设是 中函数的最大值 那么 0 SS 0 S 5 一中 已知二次函数的图象过点 A 3 0 和点 B 1 0 且与轴交于点 C D 点在抛物线上 2 yxbxc y 且横坐标是 2 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴上有一动点 P 求出 PA PD 的最小值 3 点 G 抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 E 使 B D E G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形 如果 存在 求出所有满足条件的 E G 点坐标 如果不存在 请说明理由 6 一中 12 分 如图 a 过反比例函数的图象在第一象限内的任意两点 A B 作 x 轴的垂线 垂足分别为 k y x C D 连接 AO BO 和 AB AC 和 OB 的交点为 E 设 AOB 与梯形 ACDB 的面积分别为 S 与 S 1 2 1 试比较 S 与 S 的大小 1 2 2 如图 b 已知直线与双曲线交于 M N 点 且点 M 的纵坐标为 2 1 3 yx m y x 求 m 的值 若过原点的另一条直线 l 交双曲线于 P Q 两点 P 点在第一象限 若由 M N P Q 为顶点组成的四边形面 积为 64 求 P 点的坐标 x y OC B A 7 一中 如图 在平面直角坐标系中 已知直线交轴于点 A 交轴于点 B 抛物线3 xyxy 经过点 A 和点 2 3 与轴的另一交点为 C 3 2 nxmxyx 1 求此二次函数的表达式 2 若点 P 是轴下方的抛物线上一点 且 ACP 的面积为 10 求 P 点坐标 x 3 若点 D 为抛物线上 AB 段上的一动点 点 D 不与 A B 重合 过点 D 作 DE 轴交轴于 F 交线xx 段 AB 于点 E 是否存在点 D 使得四边形 BDEO 为平行四边形 若存在 请求出满足条件的点 D 的坐标 若不存在 请通过计算说明理由 8 一中 如图 在 Rt ABO 中 OB 8 tan OBA 若以 O 为坐标原点 OA 所在直线为轴 建立如 4 3 x 图所示的平面直角坐标系 点 C 在轴负半轴上 且 OB 4OC 若抛物线经过点 A B C xcbxaxy 2 1 求该抛物线的解析式 2 设该二次函数的图象的顶点为 P 求四边形 OAPB 的面积 3 有两动点 M N 同时从点 O 出发 其中点 M 以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 OAB 按 O A B 的路 线运动 点 N 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线按 O B A 的路线运动 当 M N 两点相遇时 它 们都停止运动 设 M N 同时从点 O 出发 t 秒时 OMN 的面积为 S 请求出 S 关于 t 的函数关系式 并写出自变量 t 的取值范围 判断在 的过程中 t 为何值时 OMN 的面积最大 O N 图 3 图 2 M H 图 4 0 y x 9 一中 如图 直线与 x 轴 y 轴分别相交于点 B 点 C 抛物线 经过 B C 两点 与3 xycbxaxy 2 x 轴的另一个交点为 A 顶点为 P 且抛物线的对称轴为 2 x 1 求抛物线的函数表达式及顶点坐标 2 连接 AC 则在 x 轴上是否存在一点 Q 使得以 P B Q 为顶点的三角形与 ABC 相似 若存在 请求出所 有点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 10 一中 如图 平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH 点 H 的坐标为 4 0 点 N 的坐标为 3 2 直角梯形 OMNH 关于原点 O 的中心对称图形是直角梯形 OABC 点 M 的对应点为 A 点 N 的对应点为 B 点 H 的对应点为 C 1 求出过 A B C 三点的抛物线的表达式 2 在直角梯形 OABC 中 截取 BE AF OG m m 0 且 E F G 分别在线段 BA AO OC 上 求四边 形 BEFG 的面积 S 与 m 之间的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 面积 S 是否存在最小值 若存在 请求出这个最小值 若不存在 请说明理由 3 在 2 的情况下 是否存在 BG EF 的情况 若存在 请求出相应 m 的值 若不存在 说明理 由 x 2 A B P C Ox y A B C P y x 01234 3 2 1 1 2 11 南开 如图 已知直线 y 2x 4 与 x 轴 y 轴分别相交于 A C 两点 抛物线 y 2x bx c a 0 经过点 A C 2 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的顶点为 P 在抛物线上存在点 Q 使 ABQ 的面积等于 APC 面积的 4 倍 求出点 Q 的 坐标 3 点 M 是直线 y 2x 4 上的动点 过点 M 作 ME 垂直 x 轴于点 E 在 y 轴 原点除外 上是否存在 点 F 使 MEF 为等腰直角三角形 若存在 求出点 F 的坐标及对应的点 M 的坐标 若不存在 请 说明理由 12 一中 矩形 OABC 在直角坐标系中的位置如图所示 A C 两点的坐标分别为 A 6 0 C 0 2 直线 与 BC 相交于 D 1 2 yx 1 求点 D 的坐标 2 若抛物线经过 D A 两点 试确定此抛物线的解析式 2 yaxbx 3 P 为轴上方 2 中抛物线上一点 求面积的最大值 xPOA 4 设 2 中抛物线的对称轴与 OD 交于点 M 点 Q 为对称轴上一动点 以 Q O M 为顶点的三角形与相OCD 似 求符合条件的 Q 点的坐标 13 一中 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3cm BC 4cm 设 P Q 分别为 BD BC 上的动点 在点 P 自点 D 沿 DB 方向作匀速移动的同时 点 Q 自点 B 沿 BC 方向向点 C 作匀速移动 移动的速度均为 1cm s 设 P Q 的移动时间 28 题图 为 t 0 t 4 求 PBQ 的面积 S cm2 与时间 t s 之间的函数关系式 是否存在时刻 t 使 PBQ 的面积与四边形 CDPQ 的面积相等 若有 请求出时间 t 的 值 若没有 请说明理由 当 t 为何值时 PBQ 为等腰三角形 并判断 PBQ 能否 成为等边三角形 14 一中 如图 已知抛物线经过 O 0 0 A 4 0 B 3 三点 连接 AB 过点 B 作 BC 轴交cxbxay 2 3x 该抛物线于点 C 1 求这条抛物线的函数关系式 2 两个动点 P Q 分别从 O A 同时出发 以每秒 1 个单位长度的速度运动 其中 点 P 沿着线段 0A 向 A 点运 动 点 Q 沿着线段 AB 向 B 点运动 设这两个动点运动的时间为 秒 0 2 PQA 的面积记为 S tt 求 S 与 的函数关系式 t 当 为何值时 S 有最大值 最大值是多少 并指出此时 PQA 的形状 t 3 是否存在这样的 值 使得 PQA 是直角三角形 若存在 请直接写出此时 P Q 两点的坐标 若不存在 请t 说明理由 P QC D B A 一中 2009 年 5 月 1 抛物线 L 过 0 4 和 4 4 两点 由抛物线的对称性知对称轴为 G 2 0 将2 x 2 0 4 4 代入 得 4 2 bxaxy 44416 0424 ba ba x y P O D NB A 解得 抛物线 L 的解析式为 3 分 4 1 b a 44 2 xxy 2 直线分别交轴 轴于 B A 两点 A 0 3 B 0 33 xyxy3 若抛物线 L 上存在满足的点 C 则 AC BG C 点纵坐标此为 3 设 C 3 又 C 在抛物线 L 代人解析式 m 5 分3 2 2 m32 m32 1 m32 2 m 当时 BG AG 32 1 m32 32 BG AG 且 BG AG 此时四边形 ABGC 是平行四边形 舍去 32 1 m 当时 BG AG 32 2 m32 32 BG AG 且 BG AG 此时四边形 ABGC 是梯形 故存在这样的点 C 使得四边形 ABGC 是以 BG 为底边的梯形 其坐标为 C 3 7 分32 3 假设抛物线 L 是存在的 且对应的函数关系式为 顶点 P 0 1 2 nxy n Rt ABO 中 AO 3 BO 可得 ABO 60 又 ABD ABP 3 ABD 60 BD BP 8 分n 3 如图 过 D 作 DN 轴于 N 点 Rt BND 中 BD DBN 60 xn 3 DN BN D 3 2 3 n 2 3n 2 3 3 n 2 33n 即 D 又 D 点在抛物线上 2 33n 2 33n 2 nxy 整理 2 2 33 2 33 n nn 0213169 2 nn 解得 当时 P 与 B 重合 不能构成三角形 舍去 3 1 n 9 37 2 n3 1 n 当时 此时抛物线为 11 分 9 37 2 n 2 9 37 xy 4 南开中学 2009 年中考模拟 解 1 10 0 6 0 AD 10 6OAOD 又矩形 OCBA 90COABAO OCAB 10BCOA 又为沿翻折得到的 CED CBE CE 10CDCB 在中 由勾股定理得 Rt COD 2222 1068OCCDOD 1 分 图 1 0 8 C 1 分 0 8 B 又均在上CB 2 1 5 yxbxc 8 1 100108 5 c bc 8 2 c b 1 分 2 1 28 5 yxx 2 当时 1x 2 1 1 2 1 8 5 y 51 5 此时 51 1 5 P 又距离轴上方个单位 S x 11 5 1 分 5111 8 55 PS 矩形的长方形的长为 8 宽为 1 图 2 PQRS 设在下滑过程中交轴分别于两点 PQRSxGH 则由题意知 2 3 PQHG S S 矩形 矩形H G SR 2 3 PG GS 1 分 216 55 PGPS 故的纵坐标为P 16 5 设 则 16 5 P a 2 116 28 55 aa 1 分 12 4 6aa 或 1 分 16 4 5 P 16 6 5 3 当时 此时在上 在上 01t NOCMOD 1 分 2 11 3812 22 MON SOM ONttt 此时 当时 1t 12S 大 当时 此时在上 在上 12t NCDMOD 则188DNt 过作于NNHOD H 则 4 sin 5 NHOC CDO NDCD 44 188 55 NHDNt 8 94 5 t 1 2 ONM SNH OM 18 94 3 25 tt 2 48108 55 tt 2 489243 5820 t 当时 9 8 t 243 12 15 20 S 大 当时 此时 均在上 24 2 11 t NM CD 则24 11MNt 过作于OOHCD H 则由等面积得 24 5 OH 1124 24 11 225 OMN SOH MNt 132288 55 t 此时当时 2t 24 5 S 大 5 一中 1 将代入 得 3 0 1 0 AB 2 yxbxc 930 10 bc bc 2 3 b c 2 分 2 23yxx 2 22 23 1 4yxxx 对称轴 而 A B 关于对称轴对称1x 连结 BD 与对称轴的交点即为所求 P 点 过 D 作 DF 轴于 F 将代入 x2x 2 23yxx 则 4433y 3 1 2 3DFBF Rt BDE 中 BD 22 333 2 PA PB PA PD BD 3 2 故 PA PD 的最小值为 5 分3 2 3 当代入 2x 4433y 2 3 D 0 3 C CD 轴x 在轴上取 BE1 CD BE2 2x 得 BDCE1和 BCDE2 此时 C 与 G 重合 12 0 3 3 0 1 0 GEE 即 当时有 BDCE1 6 分 11 0 3 3 0 GE 当时有 BCDE2 7 分 22 0 3 1 0 GE 过 D 作 DM 轴于 M 则 DM BM BD x3 2 MBD 45 时 有 BDE3G 作 G3 轴于 N 33 G EBD x 1 45 E3G3 E3N G3N 33 2 将代入 得3y 2 23yxx 17x 即 9 分 33 17 3 173 0 GE 3 4 7 0 E 同理 10 分 4 1 7 3 G 4 4 7 0 E 综上所述 所有满足条件的 E G 点为 10 分 1234 123 0 3 0 3 17 3 17 0 3 0 1 0 47 0 4 47 0 GGGG EEEE 6 一中 1 设 则 A a b OCaACb 同理 1 22 AOC k Sab 2 BOD k S 2 分 AOCBOD SS AOCCOEBODCOE SSSS 即 3 分 AOE SS 四边形BD C E AOEABEABE SSSS 四BD C E 故 AOBACDB SS 梯形 即 4 分 12 SS 2 设 代入 得 2 M n 1 3 yx 6n 6 2 M 5 分6 212m 由双曲线的对称性知 OM ON OP OQ 四边形 MPNQ 是平行四边形 6 分 过 P M 作 PH 轴于 H MF 轴于 Fxx 设 则 MF 2 0 0 12 P x x 0 12 PH x 由 1 知 POMPHFM SS 梯形 S MPNQ 64 S POM 16 7 1 16 2 PHMFHF 即 0 0 12 2 6 32x x 0 0 12 2 6 32x x 整理 或 18 2 000 16360 2xxx 或 0 0 12 2 6 32x x 整理 或 11 分 2 000 16360 18xxx 2 P 在第一象限 0 0 x 或 12 分 2 6 P 2 18 3 P 7 解 1 在中 当 A 3 0 1 分3yx 0 3yx 把 A 3 0 2 3 代入 2 3ymxnx 得 解得 3 分 9330 4233 ab ab 1 2 a b 2 23yxx 2 在中 当时 有 2 23yxx 0y 2 230 xx AC 4 4 分 12 3 1xx 1 0 C 设 pp P xy 11 4 10 22 ACPPP SACyy 又 P 点在轴下方 6 分 5 P y x5 P y 2 523xx 12 4 2xx 坐标为或 8 分P 4 5 2 5 3 不存在 9 分 DE 轴 OB 轴xx DE OB 若四 BDEO 为平行四边形 则 DEBO 设 2 23 D aaa E 在直线上 3AB yx 3 E aa 22 23 3 3 DE DEyyaaaaa 当时 有 10 分DEBO 2 33aa 即 2 330aa 9 120 方程无实数根 11 分 即DEBO 不存在点 D 使四边形 BDEO 为平行四边形 12 分 8 1 Rt AOB 中 OB 8 3 tan 4 OA OBA OB OA 6 A 6 0 B 0 8 又 OB 4OC OC 2 C 2 0 由题意 解得 3660 420 8 abc abc c 2 3 8 3 8 a b c 3 分 2 28 8 33 yxx 2 2 28 8 33 yxx 2 22 44 84 33 xx 2 232 2 33 x 4 分 32 2 3 P 作 PQ 轴y 2PQ 8 3 BQ PQBOAPBOAPQ SSS 四梯 11 22 OAPQOQPQ QB 13218 62 2 2323 6 分40 3 AO 6 OB 8 AB 10 运动的总时间为 秒 68 10 4 24 当时 M 在 OA 上 N 在 OB 上 如图02t 2 4OMt ONt 7 分 2 11 244 22 SOM ONttt 当时 如图 23t M 在 OA 上 N 在 AB 上 OM 2t 1084184ANtt 又 8 sin 10 OBRN OAB ABAN 4 184 5 RNt 1 2 SOM NR 14 2 184 25 tt 8 分 2 1672 55 tt 当时 M N 都在 AB 上 如图 34t 作 OK AB 于 K AB 10 OA 6 OB 8 OK 11 22 ABO SAO BOAB OK 24 5 又 MN 246 1124 246 225 SMN OKt 9 分 72288 55 t 综上所述 2 2 4 02 1672 23 55 72288 34 55 tt Sttt tt 当时 02t 2 4St S 随 增大而增大 当时 10 分t2t 16S 最大 当时 23t 2 1672 55 Stt 2 169811681 5216516 tt 2 16981 545 t 当时 11 分 9 4 t 81 5 S 最大 当时 34t 72288 55 St S 随 增大而减小 当时 t3t 72 5 S 最大 综上所述 当时 MON 的面积最大为 12 分 9 4 t 81 5 9 解 1 在中 当时 3yx 0 x 3y 点 C 坐标为 0 3 当时 有0y 03 3xx 点 B 坐标为 1 分 3 0 过 B cbxaxy 2 3 0 0 3 C 且对称轴为2x 2 分 930 3 2 2 abc c b a 解得 1 4 3 a b c 抛物线的解根据析式为 3 分 2 43yxx 由知 22 43 2 1yxxx 顶点 P 的坐标为 4 分 2 1 2 在中 令 有 2 43yxx 0y 2 043xx 12 1 3xx 点 A 坐标为 1 0 1 3 2AB 在 Rt BOC 中 OB OC 3 ABC 45 22 3 2BCOBOC 令与轴交于点 D 则 D 点坐标为2x x 2 0 在 Rt PBD 中 PD BD 1 PBD 45 PB 22 2PDBD 假设在轴上存在点 Q 使得 PBQ 与 PBC 相似x 若点 Q 在点 B 的右侧 i 当 ABC PBQ 45 时 PBQ CBA PBBQ BCAB 此时 22 233 2 BQ BQ 点 Q 的坐标为 6 分 7 0 3 ii 当 ABC PBQ 45 PBQ ABC PBBQ ABBC 此时 有 BQ 3 2 23 2 BQ 此时点 Q 与点 O 重合 坐标为 0 0 8 分 若点 Q 在点 B 的左侧 则 PBQ 180 45 135 在 Rt AOC 中 3 tan31tan45 1 OC OAC OA OAC 45 BAC 135 而 BAC 为 ABC 的最大内角 此时 PBQ 与 ABC 不可能相似 10 分 综上所述 能使 PBQ 与 ABC 相似的符合条件的点 Q 有两种情况 坐标分别为 和 0 0 7 0 3 10 如图 由题意得 A 0 2 B 3 2 C 4 0 1 分 设过 A B C 的抛物线为 y ax bx c 2 则 解得 y x x 2 3 分 2 932 1640 c abc abc 1 2 3 2 2 a b c 1 2 2 3 2 BE AF OG m AB 3 OA 2 OC 4 AE 3 m OF 2 m CG 4 m S S S S S BEFG四边形ABCO梯形AEF FOG GCB 2 7 m 3 m m 2 m 2 4 m 1 2 1 2 1 2 1 2 m m 3 5 分 2 3 2 m 0 m 2 6 分 3 4 2 39 16 0 2 当 x 时 S 取得最小值 7 分 3 4 3 4 39 16 设直线 BG 为 y kx n B 3 2 G m 0 k 32 0 kn kmn 2 3m 设直线 EF 为 y k x n E 3 m 2 F 0 2 m k 11 11 1 3 2m kn n 2 m 1 3 m m 只有当 时 有 BG EF 8 分 2 3m 3 m m 解 得 m 2 9 分 2 3m 3 m m 当 m 2 时 有 BG EF 此时 F 与 O 重合 10 分 11 解 1 在中 当时 24yx 0 x 4y 当时 0y 2x A 2 0 C 0 4 代入 2 2yxbxc 则 1 分 8240 4 b c 有 2 分 2 4 b c 抛物线解析式为 3 分 2 224yxx 2 当时 1 22 b x a 9 2 y 1 9 2 2 P 过 P 作 PD 轴于 Dy OC 4 OD 1 2 44 2 AOC S 9 2 CD DP 1 2 1 2 1111 2228 DPC S 1 2 PDOA SDPOA OD 梯形 119 2 222 45 8 4 分 PCAPDCAOCPDOA SSSS 梯形 4513 4 882 设 ABQ 中 AB 边上的高为 h AB ABxx 当时 0y 2 2240 xx 2 20 xx 2 1 0 xx 12 2 1xx 1 0 B 2 1 3AB 由题意4 ABQAPC SS 13 4 22 AB h 5 分4h 设或 4 Q m 4 Q m 当 2 2244xx 2 0 xx 12 0 1xx 当 2 224xx 2 40 xx 17 2 x Q1 0 4 Q2 1 4 7 分 3 17 4 2 Q 4 17 4 2 Q 3 若存在点 F 使 MEF 为等腰直角三角形 设 M x y F 不在原点 点 E 不为直角顶点 当 M 为直角顶点时 有 xy 若同号 同正 即 M 在一象限 x y 则 即xy 24xx 此时34x 4 3 x 1 4 4 3 3 M 1 4 0 3 F 若异号 M 在二或四象限 则 即 x yxy 24xx 4x M2 4 4 此时 9 分 2 0 4 F 当 F 为直角顶点时 有 2 yx 若同号 M 在一象限 则 x y2yx 即 此时 F3 0 1 224xx 44x 1x 3 1 2 M 若异号 M 在二