生物统计学课件5、方差分析㈠.ppt

第五章方差分析 一 第一节方差分析原理 一个性质 两个分布 三个假定 第二节单向分组数据 各组观察值个数有相同和不相同之分 第三节多向分组数据 含两向分组 三向分组实例 第四节三个假定与数据转换 正态性 可加性 同质性 第五章要点提示 方差分析是本课程的重点 它与试验研究联系最为密切 学习时 要从完全随机设计 单向分组 的试验数据着手 结合显著性检验的知识 深刻理解方差分析原理的全部内涵 即一个性质 两个分布和三个假定 某些情况下作数据转换的必要性 区分LSR法多重比较与t test的异同点 重点掌握单因素随机区组和拉丁方试验结果的方差分析法 能熟练地运用字母法标记多重比较结果 涉及教材内容 第六章第一 二 五节 第十二章第五 六 七节 作业布置 教材第六章第四节内容自习 教材P131 135T1 T3 T4 T11 T12 T13 T20 T21 T22 教材P268 269T7 T8 T13 第一节方差分析原理 方差分析 analysisofvariance 缩写词原为ANOVA 现在也用AOV 它是对多个样本平均数进行假设测验的方法 因为对三个以上的平均数差异进行比较时 采用只能就一个或两个样本平均数差异进行显著性测验的方法已不敷应用 例如 例5 1某水产研究所为了比较k 4种不同配合饲料对鱼的饲喂效果 选取了条件基本相同的鱼20尾 随机分成4组 投喂不同饲料 一个月后每个处理各得n 5个增重观察值 且T 550 8 27 54 试予分析 解本例需要分析两个方面的问题 鱼经不同饲料投喂后增重是否有显著差异 即存在本质差别 若有显著差异的话 在哪些饲料之间 如果按第三章的方法 直接进行显著性检验 就要孤立地对以下6个两两差数做t test 即 顺序 t t 24 74 t 26 28 t 27 96A131 186 444 93 22A427 963 221 68A226 281 54A324 74 第一节方差分析原理 把一份完整的原始数据部分地撇开 孤立地对两两差数进行t test 其消极后果佛克伦这样描述过 从同一总体中抽样 每次抽两个样本得 1和 2后求算t值 若指定它超过某值的概率为5 的话 该值就是两尾表中查得的临界值t0 05 再以相同的样本容量每次抽三个样本 用 最大的样本和 最小的样本求算t值 此时它超过 t0 05 的概率上升到14 3 即 t0 05 t0 143 继续以相同的容量每次抽四个样本 仍以 最大的和 最小的求算t值 则 上升到26 5 即 t0 05 t0 265 以此类推 5个样本 40 以上 比如本例针对药剂A1与药剂A3的两两差数6 44 最大 最小 进行的t test F S大2 S小2 41 67 4 15 97 4 F0 05 Se2 SS1 SS2 1 2 57 64 8S 1 2 Se2 1 n1 1 n2 1 70t 1 2 1 2 S 1 2 6 44 1 70 3 8 t0 05 2 306由于撇开A B孤立地进行 否定HO的把握不到80 第一节方差分析原理 一 数据整理根据方差分析的先决条件 在 三个假定 成立的前提下 对右表继续整理 C T2 nk 550 82 20 15169 03SST Y 2 Y2 C 31 92 28 52 15169 199 67dfT nk 1 5 4 1 19二 平方和 自由度的分解Y Y t t 两边同时平方 得 Y 2 Y t 2 t 2 2 Y t t 由同一处理重复观察值的 累加 Y 2 Y t 2 t 2 2 t Y t 0 Y 2 Y t 2 n t 2 再把全部处理观察值的 累加 得 Y 2 Y t 2 n t 2即 SST 组内 SSe 组间 SSt其中SSt n t 2 Tt2 n C 155 92 131 42 123 72 139 82 5 15169 03 114 27于是SSe SST SSt 199 67 114 27 85 4 SS1 SS2 SS3 SS4 41 67 5 43 15 97 22 33dft k 1 3dfe dfT dft 19 3 df1 df2 df3 df4 4 4 4 4 16 第一节方差分析原理 三 列ANOVA表 进行F test变异来源DFSSMSFF0 01处理3114 2738 097 13 5 29误差1685 45 34总19199 67 F值右上角标一个 达到0 05 标两个 达到0 01 这里进行的F test与第三章 Ho 大2 小2 的相同之处是都做右尾测验 查的是同一张F临界值表 不同之处是固定用误差方差Se2作分母 Ho t2 e2 而不论其相对大小 显然 F值越大 说明处理效应引起的数据变异不仅在量的方面所占比重较大 而且相对于误差引起的变异来讲显得越重要 越突出 本例F test结果显示极显著 表明原始数据的总变异主要由不同的饲料种类引起 各处理之间至少有两个存在着 极 显著差异 以上一 二 三就是R A Fisher创建的方差分析法 其原理归纳如下 平方和与自由度的可加性 SST综合了全部观察值的变异量 它汇总了各变异来源 SOV 导致原始数据和全试验平均数 出现差异的分量 包括可控因素分量和误差分量两类 可加性 证实前者就是观察值按可控因素分组后算得的组间平方和 可控因素可以是试验因素 也可以是象单位组那样的其它系统因素 试验设计有几个可控因素 数据就会有几种可能的分组方式 也就可以算出几个组间SS 而本属于组内SS的误差分量在平方和分解时总是由SST减去所有可控因素SS得到 因此它又被称为 剩余平方和 自由度的剖分与平方和的剖分一一对应 依据F分布进行整体测验 只确定可控因素分量和误差分量的相对重要程度是否达到显著水平 第一节方差分析原理 四 多重比较R A Fisher创建的方差分析法并没有明确 极 显著差异究竟存在于哪些 组平均数 之间 F值 极 显著所包含的信息只有通过对C2n k k 1 2个两两差数进行多次连续性测验才能完全揭露出来 这就是多重比较 多重比较不论用哪一种方法 区别于多次孤立的t test或者说体现其 连续性 特征之处有两个 一是必须使用同一个共用的标准误 记为 SE 本例SE MSe n 5 34 5 1 033 10g 二是所依据的抽样分布由计算MSe即Se2的自由度dfe决定 并根据两两差数秩次距 k 的不同而有所修正 如本例k 2 3 4 测验时依据dfe 16的t分布并在k 3和4时修正为SSR分布如右 顺序 t t 24 74 t 26 28 t 27 96A131 186 444 93 22A427 963 221 68A226 281 54A324 74 16 k 2 SSR t 2 16 k 3 16 k 4 3 23 3 15 3 00 第一节方差分析原理 附表6列出了各自由度对应的t分布曲线再按9种秩次距修正出来的SSR分布当两尾概率取0 05和0 01时临界值 记为SSR0 05和SSR0 01 其中k 2的那一条因为实际就是t分布曲线压缩横坐标刻度所得 所以表中列出的SSR0 05和SSR0 01就分别等于附表3所列t0 05和t0 01的 2倍 其它k 3的SSR分布随着P的递增 对t分布的修正幅度加大 因此表中列出的SSR0 05和SSR0 01也就随之递增 多重比较测验两两差数的显著性时不是将它除以SE转换成SSR 也是标准化变量 后再与SSR0 05和SSR0 01比大小 而是先将SSR0 05和SSR0 01乘以SE算出 显著尺 LSR 再将它们直接和相应秩次距的两两差数比大小 超过LSR0 05标 超过LSR0 01标 顺序 t t 24 74 t 26 28 t 27 96A131 186 44 4 9 3 22 A427 963 22ns1 68nsA226 281 54nsA324 74 16 k 2 SSR t 2 16 k 3 16 k 4 3 23 3 15 3 00 第一节方差分析原理 按照两两差数在三角梯形表中的排列规律 本例多重比较过程列表如下 LSR0 05 SE SSR0 05LSR0 01 SE SSR0 01顺序 t t 24 74 t 26 28 t 27 96A131 186 44 4 9 3 22 A427 963 22ns1 68nsA226 281 54nsA324 74SE 1 033 综合包括多重比较在内的方差分析全过程 其原理可归纳为 一个性质 SS DF的可加性 两个分布 F分布和SSR分布 本例根据SSR分布进行的多重比较叫新复极差测验 简称SSR test 因为不能缺少F test显著的前提 属于Fisher sprotectedmultipecomparisons 此前产生的复极差测验 简称q test 又称SNK测验 却可以不经过F test 原因是q test算LSR 时要改查q值表 附表5 所依据的q分布是按极差抽样分布原理要保证各比较都是同一显著水平 因而对t分布修正幅度随秩次距k的递增而加大的速度要比SSR分布快 所以秩次距k 3时q0 05和q0 01比相应的SSR0 05和SSR0 01大 第二节单向分组数据 单向分组数据指观察值仅按一个方向分组的数据 如例5 1中将全部供试单位 试验材料 随机地分成若干组 然后各组给以不同处理 即同组供试单位受相同处理 不同组受不同处理 这样所得的全部观察值在设计上称为完全随机试验数据 而实际研究中下例5 2那样的调查结果也属此类 一 各组观察值个数相等例5 2抽测5个不同品种 k 5 各5头母猪 n 5 的窝产仔数 结果如右表所示 T 265 试检验不同品种的母猪平均窝产仔数差异是否显著 1 数据整理C T2 nk 2652 25 2809SST Y 2 Y2 C 82 132 132 2809 136dfT nk 1 5 5 1 24 第二节单向分组数据 2 平方和 自由度的分解SSt n t 2 Tt2 n C 73 2 512 412 602 482 652 5 2809于是SSe SST SSt 136 73 2 62 8dft k 1 4dfe dfT dft 24 4 203 列ANOVA表 进行F test假设是Ho t2 e2而不是Ho t2 e2 和Ho 1 2 3 4 5效果一样 SOVDFSSMSFF0 01品种473 218 35 83 4 43误差2062 83 14总241364 多重比较SE MSe n 3 14 5 0 793 再根据附表6的SSR 进而算得显著尺 KSSR0 05SSR0 01LSR0 05LSR0 012 954 022 3393 1883 104 222 4583 3463 184 332 5223 43453 254 402 5773 489 第二节单向分组数据 本例的多重比较结果以三角梯形表表述如下 t0 01 t 8 2 t 9 6 t 10 2 t 12 013 0A4 8 3 4 2 8 1 012 0A3 8 2 41 810 2AB2 00 69 6AB1 48 2B t13 012 010 29 68 2 第二节单向分组数据 本例的多重比较结果以三角梯形表表述如下 t0 05 t 8 2 t 9 6 t 10 2 t 12 013 0a4 8 3 4 2 8 1 012 0ab3 8 2 41 810 2bc2 00 69 6bc1 48 2c t13 012 010 29 68 2 第二节单向分组数据 单向分组数据的观察值也可以是交叉试验的数据 即在同一试验中给试验单位安排处理时分期进行 交叉反复两次以上所获得的试验结果 这种试验设计方法能较好地消除试验动物个体 即试验单位 以及试验时期间的差异对试验数据影响 特别是能够利用较少的试验动物获得尽可能多的观察值个数 由于系同一批试验动物分期安排不同处理 所得观察值个数必然相等 例5 3研究新配方饲料对奶牛产奶量 kg 的影响 设置对照饲料A1和和新配方饲料A2两个处理 采用2 2交叉设计 用条件相近的10头奶牛分两期获得了20个原始数据 并算得二水平差值d如右表 试完成其方差分析过程 第二节单向分组数据 1 数据整理C d 2 nk 1 82 10 0 324SST d2 C 75 116 1 7 2 2 2 2 1 02 0 324dfT nk 1 5 2 1 92 平方和 自由度的分解SSt Tt2 n C 60 516 11 4 2 13 22 5 0 324SSe SST SSt 75 116 60 516 14 6dft k 1 1dfe dfT dft 9 1 83 列ANOVA表 进行F testSOVDFSSMSFF0 01处理160 51660 5233 16 4 43误差814 6001 83总975 116 第二节单向分组数据 例5 4研究饲喂尿素对奶牛产奶量 kg 的影响 设置尿素配合饲料A1和和对照饲料A2两个处理 采用2 3交叉设计 用条件相近的6头奶牛分三期获得了18个原始数据 并算得二水平差值d如右表 完成其方差分析的结果如下 和例5 3一样 无需多重比较 ANOVA表 SOVDFSSMSFF0 01处理11 67481 67481 60ns7 71误差44 17271 0432总517 72 第二节单向分组数据 二 各组观察值个数不相等例5 55个不同品种猪的育肥试验 后期30天增重 kg 分别得到6 6 5 4 4个共25头猪的观察值 如下表 试比较不同品种间的增重有无显著性差异 1 数据整理k 5T 460 5 ni 25C T2 ni 460 52 25 8482 41 SST Y 2 Y2 C 21 52 16 02 8482 41 85 34dfT ni 1 25 1 24可加性原理与前面例5 1 例5 2一样 SST 组间SSt 组内SSedfT 组间dft 组内dfe由于各组观察值个数ni不全相等 方差分析过程部分计算公式随之改变 须注意其与前面例5 1 例5 2的区别 第二节单向分组数据 2 平方和 自由度的分解SSt Tt2 ni C 46 5 1212 6 1032 6 91 52 5 78 52 4 66 52 4 8482 41于是SSe SST SSt 85 34 46 5 38 84dft k 1 4dfe dfT dft 24 4 203 列ANOVA表 进行F test假设是Ho t2 e2而不是Ho t2 e2 和Ho 1 2 3 4 5效果一样 SOVDFSSMSFF0 01品种446 511 635 99 4 43误差2038 841 94总2485 344 多重比较SE MSe no 1 94 4 96 0 625 按dfe 20查得SSR临界值后比较如下 PLSR顺序 t0 050 010 050 01B120 2aA2 954 02B419 6aAB3 104 22B318 3abABC3 184 33B217 2bBC53 254 40B516 6bC 第二节单向分组数据 组次数平均数no的另一种计算公式 6 6 5 4 4 6 6 5 4 4 5 6 6 4 4 4 6 6 5 4 4 6 6 5 4 44444no 4 966 6 5 4 4本例说明取样调查得到的数据观察结果可按单向分组数据的模型进行方差分析 而不论各组取样获得的观察值个数是否相同 参见例5 1 实际应用中 某些完全随机试验设计即使各处理的小区个数相同 但因为自然条件限制或其它原因导致个别小区无法得到观察值时 就可以参照本例按各组观察值个数不同的数据结构进行分析 由于取样观察所依据的原理是以概率论中定义的 随机试验 为出发点 因此 试验统计中讲授取样调查结果决不算 离题 也就是说 对教材名称中的 试验 一词要全面理解 这是本课程简称 试验统计 比简称 生物统计 好的理由之一 至于动物试验研究中按交叉设计得到的数据 其方差分析因为是用二水平差值d进行的 分析模型的数据结构也属于单向分组数据模式 第三节多向分组数据 试验统计过程中 象前面三例那样只需按不同试验处理 即一个可控因素 对数据进行分组是很不够的 因为农业及生物学领域所进行的试验研究由于受自然条件的制约 导致试验所得各观察值出现差异的可控因素决不仅仅局限于试验因素 如在实施了局部控制的试验方案设计中 各单位组之间的差别就反映了系统因素效应 此时的试验数据除了要按不同试验处理分组之外 还必须按不同的单位组进行分组 由于区组可以不止一个方向 这就产生了两向甚至三向分组数据的分析问题 前者最典型的是随机区组试验数据 后者则以拉丁方试验结果为代表 两者都是经典试验设计与统计分析内容 并且和完全随机试验一样 可以是单因素试验 也可以是复因素试验 鉴于复因素试验要专门安排一章来讲授 本节只介绍单因素随机区组和拉丁方试验数据的方差分析 例5 6为了比较5种不同中草药饲料添加剂对猪增重的效果 从4头母猪所产仔猪中 每窝选出性别相同 体重相近的仔猪各5头 共20头 组成4个单位组 各单位组的每头仔猪随机饲喂不同的饲料添加剂 观察值为平均日增重 g 其结果如下表 试进行方差分析 第三节多向分组数据 SST 处理SSt 区组SSr 剩余SSedfT 处理dft 区组dfr 剩余dfeSSt Tt2 n C 8252 9252 10652 7372 11372 4 C 27267 2SSr Tr2 k C 11522 10472 12672 12232 5 C 5530 15SSe SST SSt SSr 35890 95 27267 2 5530 15 3093 6dft k 1 4dfr 4 1 3dfe dfT dft dfr 19 4 3 12 一 数据整理n 4k 5nk 20 随机单位组 C T2 nk 46892 20 1099336 05SST Y 2 Y2 C 2052 1682 2822 1099336 05 35890 95dfT nk 1 4 5 1 19二 SST dfT的分解 第三节多向分组数据 三 列ANOVA表 进行F test 假设是Ho t2 e2而不是Ho t2 e2 SOVDFSSMSFF0 01区组35530 151843 387 15 5 95处理427267 26816 826 44 5 41误差123093 6257 8总1935890 95总有人用单位组SS DF算MS并进行F test 这样做不妥当 单位组之间的差异是试验设计时实行局部控制 转化系统因素效应收到的效果 只参与SST dfT的分解以控制试验误差 一个单位组安排了试验方案的一个完整重复 单位组数就是重复次数 但 重复区组 只是构成了估计抽样误差的必要条件 不能提供其自身 区组之间 差异是否显著的信息 四 多重比较SE MSe n 257 8 4 8 028再根据附表5的q 进而算得显著尺 k2345q0 053 083 774 204 51q0 014 325 045 505 84LSR0 0524 7330 2733 7236 21LSR0 0134 6840 6444 1546 88顺序 t0 050 01A5284 25aAA3266 25aAA2231 25bBA1206 25cBCA4184 25cC 第三节多向分组数据 例5 7为了研究5种不同温度对蛋鸡产蛋量的影响 将5栋鸡舍的温度分别设为A B C D E 把各栋鸡舍鸡群 5群 每群产蛋期 5期 分别设置成单位组 采用5 5拉丁方设计 其试验结果 个 如下 试予分析 解拉丁方试验在两个方向都应用了局部控制 使得纵横两向皆成区组 其结果的分解原理构成三向分组 SST SSt SSr SSc SSe即包括了三个可控因素 比随机区组法 SST SSt SSr SSe多一个可控因素 比完全随机法多两个 SST SSt SSe 自由度的分解也是如此 第三节多向分组数据 一 数据整理n k 5nk 25C T2 nk 5492 25 12056 04SST Y2 C 100 96 232 212 192 12056 04dfT nk 1 5 5 1 24三 列ANOVA表 进行F testSOVDFSSMSFF0 01行427 36列422 16温度433 368 345 56 5 41误差1218 081 50总24100 96不要试图对横行区组 行 或纵行区组 列 进行F test 二 SST dfT的分解SSt Tt2 n C 33 36 1162 1142 1052 1132 1012 5 CSSr Tr2 k C 27 36 1082 1052 1162 1162 1042 5 CSSc Tc2 k C 22 16 1092 1082 1192 1072 1062 5 CSSe SST SSt SSr SSc 18 08 100 96 33 36 27 36 22 16dft k 1 dfr dfc n 1 4dfe dfT dft dfr dfc 24 4 4 4 12 第三节多向分组数据 四 多重比较SE MSe n 1 50 5 0 55再根据附表5的q 进而算得显著尺 k2345q0 053 083 774 204 51q0 014 325 045 505 84LSR0 051 692 072 312 48LSR0 012 382 773 033 21顺序 t0 050 01A23 2aAB22 8aAD22 6aAC21 0abAE20 2bA 多向分组数据不能象单向分组数据那样有各组观察值个数相同和各组观察值个数不相同两种数据结构 因为试验设计决定了其数据中各组观察值个数必须相同 即使试验实施后因为不可抗拒的原因使得个别小区观察值缺失而导致该组观察值个数少于其它组 也要按 最小二乘法 在却失小区算出一个估计值补进去才能进行方差分析 此时的 缺区估计 值无任何实际意义 纯粹是为了使方差分析时获得的误差平方和取最小值而确定的算术值 换句话说 没有获得观察值的小区只有用缺区估计值参与方差分析才能使算出的误差平方和为最小值 第四节三个假定与数据转换 在显著性检验一章知 针对两个小样本的平均数进行t est时 只有方差同质 即两个样本方差S2经F test不显著 的情形才能合并方差进而求算t值 在例5 1中介绍SS df的可加性时 对组内SSe dfe进行分析 知其实质就是多个样本的合并方差 既然方差分析说到底依然是对多个样本平均数的两两差数做若干次连续的显著性检验 SSR test或q test 自然也应该在多个样本的方差合并之前证实它们同质才行 这可是方差分析的条件问题 即使是多元统计分析中建立生产过程的回归模型 现代生物统计技术 也少不得这个前提 但本章从例5 1讲到例5 5 也并没有明示上述前提条件是否存在 这是因为这些例题所用的原始数据已从其来源和性质进行 把关 并根据其变化特点予以 把握 使方差的同质 也叫 齐性 有了一个基本的保证 具体有三条 根据数据的来源和性质 判断其是否符合方差分析的正态性假定 根据数据各组观察值的变化特点看是否符合方差分析的可加性假定 根据Bartlett test的结果看多个样本方差是否符合方差分析的同质性假定 第四节三个假定与数据转换 一 正态性指数据的各组观察值必须围绕其相应的平均数作正态分布 因为对多个样本的平均数进行方差分析时所作的F test是假定这些样本皆从各自的正态总体中抽出的前提下进行的 以完全随机设计为例 Y11 Y12 Y13 Y1n 1S12N1 1 12 Y21 Y22 Y23 Y2n 2S22N2 2 22 Yi1 Yi2 Yi3 Yin iSi2Ni i i2 Yk1 Yk2 Yk3 Ykn kSk2Nk k k2 换一种说法 就是所得数据的来源和性质须满足以下两点要求 各组观察值必须是用随机方法获得的 各正态总体的 i与 i2无任何函数关系 或者说 i与 i2彼此独立 第四节三个假定与数据转换 各组观察值必须是用随机方法获得的 各正态总体的 i与 i2无任何函数关系 或者说 i与 i2彼此独立 因此 首先务必明确方差分析只能用于经过随机排列 分组 设计获得的试验数据 或者是通过随机取样得到的调查结果 不能用于顺序排列 分组 设计获得的试验数据或者未经随机取样得到的调查结果 二项资料的百分数或统计次数 其实质乃二项总体抽样所得 这类总体的方差是平均数的函数 即 i2 piqi i 1 i 服从的是二项分布 稀有现象的次数数据 如单位面积内的某种杂草的株数或者昆虫的头数 某块载玻片上细菌群落的计数 每毫升溶液中某种微生物个体数 每个显微镜视野中某种细胞个数等等 它们所属的总体平均数和方差几乎相等 i i2 可视其为来自Poisson总体 服从的是泊松分布 以上两类数据因为不符合正态性假定的第 点要求 原则上都不能直接进行方差分析 必须通过数据转换恢复正态性之后才能做方差分析 前者通常进行百分数的反正弦转换 后者通常进行统计次数的平方根转换或者对数转换 第四节三个假定与数据转换 例5 8研究甲 乙 丙三个地区乳牛隐性乳房炎阳性率 其结果如下表 试对该资料进行方差分析 二项资料百分数的反正弦转换就是将成数p的平方根视为三角函数之正弦值 反过来求其反正弦值 也就是转化为0 90 的角度数 教材有附表供查阅 如果所有的百分数都介于30 70 之间 则因为p与q相差不悬殊 所服从的二项分布很接近正态分布 因此可不做反正弦转换 直接进行方差分析 本例的百分数有许多 70 的 和 30 一样 必须进行数据转换 第四节三个假定与数据转换 将转换后的sin 1 p列表进行F testSOVDFSSMSFF0 01地区22461 8231230 91114 03 6 01误差181579 49387 75总204041 316SE 87 75 7 3 54多重比较结果作为文献交流时 各处理反正弦值的平均数 t必须由其反转换得到的百分数 即反转 替换下来 这样在专业含义上才便于解释 为记牢这一特点 不妨称之为 过河拆桥 或者 上屋抽梯 按dfe 18查得SSR再算LSR值后比较如下 kLSR顺序 t反转 0 050 010 050 01甲53 2764 2aA10 5114 41乙32 5829 0bB11 0415 12丙28 5622 8bB 第四节三个假定与数据转换 二 可加性指处理效应与区组效应具有可加性 即 总SST 误差SSe 处理SSt 区组SSr这一通式几乎囊括所有数据结构的平方和SS的分解过程 现令其SSe 0讨论如下 线性数据SST 152 52 52 152 500SSt 2 102 102 400SSr 2 52 52 100故SSt SSr SST 倍性数据SST 202 102 302 1400SSt 2 152 152 900SSr 2 102 102 400故SSt SSr SST实际操作时 SST S