高考导数题型归纳

高考压轴题 导数题型及解题方法 自己总结供参考 一 切线问题一 切线问题 题型题型 1 1 求曲线在处的切线方程 xfy 0 xx 方法 为在处的切线的斜率 0 x f 0 xx 题型题型 2 2 过点的直线与曲线的相切问题 ba xfy 方法 设曲线的切点 由求出 进而 xfy 00 xfxbxfxfax 0000 x 解决相关问题 注意 曲线在某点处的切线若有则只有一 曲线过某点的切线往往不止一条 例例 已知函数 f x x3 3x 1 求曲线 y f x 在点 x 2 处的切线方程 答案 0169 yx 2 若过点 A可作曲线的三条切线 求实数的取值范围 2 1 mmA xfy m 提示 设曲线上的切点 建立的等式关系 将问题转化为关 xfy 00 xfx 00 xfx 于的方程有三个不同实数根问题 答案 的范围是 mx 0 m 2 3 练习练习 1 已知曲线xxy3 3 1 求过点 1 3 与曲线相切的直线方程 答案 或xxy3 3 03 yx 027415 yx 2 证明 过点 2 5 与曲线相切的直线有三条 xxy3 3 2 若直线与曲线相切 求的值 答案 1 01 22 eyxe x aey 1a 题型题型 3 3 求两个曲线 的公切线 xfy xgy 方法 设曲线 的切点分别为 xfy xgy 11 xfx 22 xfx 建立的等式关系 求出 21 x x 12112 yyxfxx 12212 yyxfxx 进而求出切线方程 解决问题的方法是设切点 用导数求斜率 建立等式关系 21 x x 例例 求曲线与曲线的公切线方程 答案 2 xy xeyln2 02 eyxe 练习练习 1 求曲线与曲线的公切线方程 答案或 2 xy 2 1 xy012 yx0 y 2 设函数 直线 与函数的图象都相切 且与函数 ln2 1 x x xpxf 2 xxg l xgxf 的图象相切于 1 0 求实数的值 答案或 xfp1 p3 二 单调性问题二 单调性问题 题型题型 1 1 求函数的单调区间 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准 分类的方法有 1 在求极值点的过程中 未 知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类 2 在求极值点的过程中 有无极值点引起的分类 涉 及到二次方程问题时 与 0 的关系不定 3 在求极值点的过程中 极值点的大小关系不定而引 起的分类 4 在求极值点的过程中 极值点与区间的关系不定而引起分类等 注意分类时必须从同 一标准出发 做到不重复 不遗漏 例例 已知函数xaxxaxf 1 2 1 ln 2 1 求函数的单调区间 利用极值点的大小关系分类 xf 2 若 求函数的单调区间 利用极值点与区间的关系分类 ex 2 xf 练习练习 已知函数 若 求函数的单调区间 1 2 1 1 2 kxxekxexf xx 2 1 x xf 利用极值点的大小关系 及极值点与区间的关系分类 题型题型 2 2 已知函数在某区间是单调 求参数的范围问题 方法 1 研究导函数讨论 方法 2 转化为在给定区间上恒成立问题 0 0 xfxf或 方法 3 利用子区间 即子集思想 首先求出函数的单调增区间或减区间 然后让所给区间是求的增 或减区间的子集 注意 函数在上是减函数 与 函数的单调减区间是 的区别是前者 xf nm xf ba 是后者的子集 例例 已知函数 2 lnf xxax 在上是单调函数 求实数的取值范围 x 2 1a 答案 0 练习练习 已知函数 且在区间上为增函数 求实数的取值范围 23 2 1 3 1 x k xxf xf 2 k 答案 31 k 题型题型 3 3 已知函数在某区间的不单调 求参数的范围问题 方法 1 正难则反 研究在某区间的不单调 方法 2 研究导函数是零点问题 再检验 方法 3 直接研究不单调 分情况讨论 例例 设函数 在区间内不单调 求实数的取值范围 1 23 xaxxxfRa 1 2 1 a 答案 3 2 a 三 极值 最值问题 三 极值 最值问题 题型题型 1 1 求函数极值 最值 基本思路 定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值 例例 已知函数 求在的极小值 1 2 1 1 2 kxxekxexf xx 2 1 x 利用极值点的大小关系 及极值点与区间的关系分类 练习练习 已知函数的图象过点 且函数的图象关于 32 2f xxmxnx 1 6 6g xfxx y轴对称 若 求函数在区间内的极值 0a yf x 1 1 aa 答案 当时 有极大值 无极小值 当时 有极小值 无01a f x2 13a f x6 极大值 当或时 无极值 1a 3a f x 题型题型 2 2 已知函数极值 求系数值或范围 方法 1 利用导函数零点问题转化为方程解问题 求出参数 再检验 方法 2 转化为函数单调性问题 例例 函数 0 是函数的极值点 求实数值 1 1 2 1 1 3 1 4 1 234 xpppxxpxxf xfp 答案 1 练习练习 已知函数若函数存在极值 且所有极值之和大 2 ln f xaxxx a R f x 求 a 的取值范围 答案 1 5ln 2 4 题型题型 3 3 已知最值 求系数值或范围 方法 1 求直接求最值 2 转化恒成立 求出范围 再检验 例例 设 函数 若函数 在处取得最a R 23 3 xaxxf 0 2 g xf xfxx 0 x 大值 求的取值范围 答案 a 5 6 练习练习 已知函数 当时 函数在区间上的最小值是xxaaxxfln 2 2 0 a xf e 1 求实数的取值范围 答案 2 a 1 四 不等式恒成立 或存在性 问题 四 不等式恒成立 或存在性 问题 一些方法一些方法 1 若函数 恒成立 则 nmxf 值域a xfna 2 对任意 恒成立 则 nmxnmx 21 21 xgxf min1 xf max2 xg 3 对 成立 则 nmxnmx 21 21 xgxf max1 xf min2 xg 4 对 恒成立 转化恒成立 1 nmx 11 xgxf 0 11 xgxf 4 对 成立 则 nmxnmx 21 21 xgxf min1 xf min2 xg 5 对 成立 则 nmxnmx 21 21 xgxf max1 xf max2 xg 6 对 成立 则构造函数 转化证明 nmxnmx 21 a xx xfxf 21 21 axxfxt 在是增函数 xt nm 题型题型 1 1 已知不等式恒成立 求系数范围 方法 1 分离法 求最值时 可能用罗比达法则 研究单调性时 或多次求导 2 讨论法 有的需构造函数 关键确定讨论标准 分类的方法 在求极值点的过程 中 未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类 有无极值点引起的分类 涉及到二次方程问题时 与 0 的关系不定 极值点的大小关系不定而而引起的分类 极值点与区间的关系不定而引起分类 分类必须从同一标准出发 做到不重复 不遗漏 3 数形结合 4 变更主元 解题思路解题思路 1 代特值缩小范围 2 化简不等式 3 选方法 用讨论法时 或构造新函数 方法一 分离法 求最值时 可能用罗比达法则 研究单调性时 或多次求导 例例 函数 在恒成立 求实数取值范围 方法 分离axxexf x ln 2 ex 1 exf a 法 多次求导答案 0 练习练习 设函数 若当 0 时 0 求 a 的取值范围 方法 分离法 2 1 axexxf x x xf 用罗比达法则答案 1 方法二 讨论法 有的需构造函数 关键确定讨论标准 分类的方法 在求极值点的过程中 未知数的系数与 0 的 关系不定而引起的分类 有无极值点引起的分类 涉及到二次方程问题时 与 0 的关系不定 极 值点的大小关系不定而而引起的分类 极值点与区间的关系不定而引起分类 分类必须从同一标准出 发 做到不重复 不遗漏 例例 设函数 f x 若当 x 0 时 f x 0 求 a 的取值范围 2 1 x exax 答案 的取值范围为 a 1 2 练习练习 1 1 设函数 时 求实数a的取值范围 x exf 1 0 x 1 ax x xf 答案 2 1 0 2 函数 当 0 a 对 0 求实数取值范围 x xaxf 1 ln x 1 ln2 xaxa 多种方法求解 答案 1 0 e 方法三 方法三 变更主元 例 设函数在区间 D 上的导数为 在区间 D 上的导数为 若在区间 yf x fx fx g x D 上 恒成立 则称函数在区间 D 上为 凸函数 已知实数 m 是常数 0g x yf x 若对满足的任何一个实数 函数在区间上都为 凸 432 3 1262 xmxx f x 2m m f x a b 函数 求的最大值 答案 ba 2 练习练习 设函数 证明 当 3 时 对任意 成立 xxxfln a0 x x eafxaf 提示化为 研究的单调性 x eafxaf aax e af e xaf a e af ag 五 函数零点问题五 函数零点问题 题型题型 1 判断 判断函数函数零点的个数 零点的个数 方法 方程法 函数图象法 转化法 存在性定理方法 方程法 函数图象法 转化法 存在性定理 例例 设 3 1 1 ln 3 aR f xxaxax 若函数 yf x 有零点 求的取值范围 a 提示 当时 所以成立 答案 1 a0 1 f0 3 af 3 1 练习练习 求过点 1 0 作函数图象的切线的个数 答案 两条 xxyln 题型题型 2 已知函数零点 求系数 已知函数零点 求系数 方法 图象法方法 图象法 研究函数图象与研究函数图象与 x 轴交点的个数轴交点的个数 方程法 转化法 由函数转化方程 再转 方程法 转化法 由函数转化方程 再转 化函数 研究函数的单调性 化函数 研究函数的单调性 例例 函数在 1 3 有极值 求实数的取值范围 答案 3 1 1ln xaxxxfa 18 1 练习 练习 1 证明 函数的图象与函数的图象无公共点 xxfln exe xg x 21 六 不等式证明问题六 不等式证明问题 方法方法 1 构造函数 研究单调性 最值 得出不等关系 有的涉及不等式放缩 构造函数 研究单调性 最值 得出不等关系 有的涉及不等式放缩 方法方法 2 讨论法 讨论法 方法方法 2 研究两个函数的最值 如证研究两个函数的最值 如证 需证 需证的最小值大于的最小值大于的最大值即可 的最大值即可 xgxf xf xg 方法一 讨论法方法一 讨论法 例 已知函数例 已知函数 ln 1 axb f x xx 曲线 曲线 yf x 在点在点 1 1 f处的切线方程为处的切线方程为230 xy 证明 证明 当当0 x 且 且1x 时 时 ln 1 x f x x 练习 练习 已知函数已知函数 当当时 时 试讨论试讨论与与的大小关系 的大小关系 0 x f xaxe a 11ae xfx 方法二 构造函数方法二 构造函数 例 已知函数例 已知函数与函数与函数为常数 为常数 1 1 若 若 2 0 f xaxkbx x ln g xaxbx abk 图象上一点图象上一点处的切线方程为 处的切线方程为 设 设 g x 2 2 pg22ln220 xy 是函数是函数的图象上两点 的图象上两点 证明 证明 112212 A x yB xyxx yg x 21 0 21 yy g x xx 102 xxx 练习 练习 1 设函数设函数 证明 当 证明 当 3 时 对任意时 对任意 成立 成立 xxxfln a0 x x eafx