第一讲-微分中值定理

第一讲第一讲 微分中值定理微分中值定理 教学目的教学目的 使学生掌握罗尔定理 拉格朗日中值定理使学生掌握罗尔定理 拉格朗日中值定理 了解柯西中值定理了解柯西中值定理 并能应用罗尔定理并能应用罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和 解决一些简单问题 解决一些简单问题 教学重点教学重点 使学生深刻理解微分中值定理的实质 使学生深刻理解微分中值定理的实质 教学难点教学难点 拉格朗日中值定理的证明 拉格朗日中值定理的证明 教学学时教学学时 2 2 学时学时 教学过程教学过程 上一章我们学习了导数的概念上一章我们学习了导数的概念 并讨论了导数的并讨论了导数的 计算方法 学习的目的在于应用计算方法 学习的目的在于应用 这一章我们来学习这一章我们来学习 导数的应用导数的应用 首先学习微分中值定理首先学习微分中值定理 他们是导数应用他们是导数应用 的理论基础 的理论基础 微分中值定理包括微分中值定理包括 罗尔定理罗尔定理 拉格拉格 朗日中值定理和柯西中值定理朗日中值定理和柯西中值定理 简称微分中值三定简称微分中值三定 理 理 一 罗尔定理一 罗尔定理 我们首先来观察一个图形 见图我们首先来观察一个图形 见图 1 1 设图设图 1 1 中曲线弧中曲线弧AAB是函数是函数 xfy bax 的图的图 形 这是一条连续的曲线弧 除端点外处处具有不垂形 这是一条连续的曲线弧 除端点外处处具有不垂 直于直于 X X 轴的切线 即轴的切线 即 xf 在在 ba 内处处可导 且两端点内处处可导 且两端点 处的纵坐标相等 即处的纵坐标相等 即 bfaf 可以发现在曲线弧 可以发现在曲线弧 A AB的最高点或最低点处 曲线都有水平的切线 如果的最高点或最低点处 曲线都有水平的切线 如果 记曲线弧记曲线弧AAB的最高点的最高点C的横坐标为的横坐标为 则 则 0 f 若我 若我 们用分析的语言把这一几何现象描述出来 就得到了们用分析的语言把这一几何现象描述出来 就得到了 下面的罗尔 定理 下面的罗尔 定理 罗尔定理罗尔定理 若函数满足若函数满足 1 1 在闭区间在闭区间 ba 上连续 上连续 2 2 在开区间在开区间 ba 内可导 内可导 3 3 在区间端点处的函数值相等 即在区间端点处的函数值相等 即 bfaf 则在则在 ba 内至少存在一点内至少存在一点 使得 使得 0 f 为了给出罗尔定理的严格证明 我们首先需要学为了给出罗尔定理的严格证明 我们首先需要学 习下面的引理 它称为费马习下面的引理 它称为费马 Fermat 定理 定理 费马定理费马定理 设函数设函数 xf 在点在点0 x 的某邻域的某邻域0 U x 内有定内有定 义 并且在义 并且在0 x 处可导 如果对任意的处可导 如果对任意的0 xU x 有 有 0 xfxf 0 f xf x 或 则 则 0 0 xf 分析分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结为了利用函数值的大小关系得出导数的结 论 显然应该考虑使用导数的定义 论 显然应该考虑使用导数的定义 不妨设不妨设0 xU x 时 时 0 xfxf 于是 对于 于是 对于 00 xxU x 有 有 00 f xxf x 从而当 从而当0 x时 时 0 00 x xfxxf 当当0 x时 时 0 00 x xfxxf 由于函数由于函数 xf 在在0 x 处可导 上述两式的左端当处可导 上述两式的左端当 0 x时极限皆存在 因此由极限的时极限皆存在 因此由极限的保号性保号性知知 0lim 00 0 0 0 x xfxxf xfxf x 0lim 00 0 0 0 x xfxxf xfxf x 所以 所以 0 0 xf 类似地可证明 类似地可证明0 xU x 时 时 0 xfxf 的的 情形 情形 通常称导数等于零的点为函数的驻点通常称导数等于零的点为函数的驻点 或稳定点 或稳定点 临界点临界点 费马定理告诉我们 若函数在费马定理告诉我们 若函数在0 x 点可导 且函数点可导 且函数 在在0 x 点处取得了局部的最大值或最小值 则函数在点点处取得了局部的最大值或最小值 则函数在点 0 x 处的导数一定为零 即处的导数一定为零 即 0 0 xf 由图由图 1 1 知 函数知 函数 xf 在在 处取得了局部的最大处取得了局部的最大 值 因此 根据费马定理不难证明罗尔定理 值 因此 根据费马定理不难证明罗尔定理 罗尔定理的证明罗尔定理的证明 由于由于 xf 在在 ba 上连续 所以上连续 所以 xf 在在 ba 上必定取得它的最大值上必定取得它的最大值M和最小值和最小值m 这样 这样 只有两种可能的情形 只有两种可能的情形 1 1 mM 此时对于任意的 此时对于任意的 bax 必 必 有有 Mxf 故对任意的 故对任意的 bax 有 有 0 xf 因此 因此 ba 内任一点皆可作为我们找的内任一点皆可作为我们找的 2 2 mM 因为 因为 bfaf 所以 所以M和和m中至少有一中至少有一 个不等于个不等于 af 不妨设 不妨设 afM 则在 则在 ba 内必有一点内必有一点 使得使得 Mf 又因为对于任意的 又因为对于任意的 bax 有 有 fxf 且且 f 存在 故由费马定理知 存在 故由费马定理知 0 f 类似可证 类似可证 afm 的情形 罗尔定理成立 的情形 罗尔定理成立 例例 1 1 不求出函数不求出函数 321 xxxxf 的导数 说明的导数 说明 方程方程 0fx 有几个实根 并指出它们所在的区间 有几个实根 并指出它们所在的区间 分析分析 讨论方程讨论方程 0 xf 的根的问题 通常考虑用的根的问题 通常考虑用 罗尔定理 因为由罗尔定量的结论知 罗尔定理 因为由罗尔定量的结论知 实际上是方实际上是方 程程 0fx 的根 而讨论这类问题的基本思路是 在函的根 而讨论这类问题的基本思路是 在函 数数 xf 可导的范围内 找出所有端点处函数值相等的可导的范围内 找出所有端点处函数值相等的 区间 而由罗尔定理知 在每个这样的区间内至少存区间 而由罗尔定理知 在每个这样的区间内至少存 在一点在一点 使得 使得 0 f 即为方程即为方程 0 xf 的一个实根 的一个实根 同时也得到了这个实根所在的范围 同时也得到了这个实根所在的范围 对于本问题来说 根据代数学基本定理 方程对于本问题来说 根据代数学基本定理 方程 0 xf 至多有两个实根 而由函数至多有两个实根 而由函数 xf 的表达式知 的表达式知 321fff 因此 因此 1 2 和和 2 3 就是我们所要找的区间 就是我们所要找的区间 在这两个区间内各有方程在这两个区间内各有方程 0 xf 的一个实根 的一个实根 解解 因为因为 xf 在在 2 1 和和 3 2 上连续 在上连续 在 2 1 和和 3 2 内可内可 导 且导 且 1230fff 所以由罗尔定理知 在 所以由罗尔定理知 在 2 1 内内 至少存在一点至少存在一点1 使得 使得 0 1 f 在 在 3 2 内至少存在一点内至少存在一点 2 使得 使得 0 2 f 1 和 和2 都是方程 都是方程 0f x 的实根 的实根 又由代数学基本定理知 方程又由代数学基本定理知 方程 0 xf 至多有两个至多有两个 实根 所以方程实根 所以方程 0 xf 必有且只有两个实根 它们分必有且只有两个实根 它们分 别位于别位于 2 1 和和 3 2 内 内 小结小结 利用函数的性质讨论利用函数的性质讨论 0 xf 的根的根 也称为也称为 xf 的零点的零点 应用罗尔定理是一个常用方法 应用罗尔定理是一个常用方法 二 拉格朗日中值定理二 拉格朗日中值定理 罗尔定理中罗尔定理中 bfaf 这个条件是相当特殊的 也这个条件是相当特殊的 也 是非常苛刻的 由于一般的函数很难具备这个条件 是非常苛刻的 由于一般的函数很难具备这个条件 因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制 我们可以因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制 我们可以 设想一下 若把条件适当放宽 比如把设想一下 若把条件适当放宽 比如把 bfaf 这个这个 条件去掉 仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件 条件去掉 仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件 那么相应的结论会发生什么变化呢 为了更好地讨论那么相应的结论会发生什么变化呢 为了更好地讨论 这个问题 我们先从几何直观入手 见图这个问题 我们先从几何直观入手 见图 2 2 设图设图 2 2 中曲线弧中曲线弧AAB是函数是函数 xfy bax 的图形 的图形 它是一条连续的曲线弧 除端点外处处具有不垂直于它是一条连续的曲线弧 除端点外处处具有不垂直于 x轴的切线 并且两端点处的纵坐标不相等 即轴的切线 并且两端点处的纵坐标不相等 即 f af b 不难发现在曲线弧 不难发现在曲线弧AAB上至少有一点上至少有一点c 使 使 曲线在点 处的切线平行于弦曲线在点 处的切线平行于弦AB 若记若记c点的横坐标为点的横坐标为 则曲线在 则曲线在c点处切线的斜点处切线的斜 率为率为 f 而弦 而弦AB的斜率为的斜率为 ab afbf 因此 因此 f ab afbf abfafbf 或 若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来 若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来 就得到了下面的拉格朗日就得到了下面的拉格朗日 Lagrange 中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函数若函数 xf 满足满足 1 1 在闭区间在闭区间 ba 上连续 上连续 2 2 在开区间在开区间 ba 内可导 内可导 则在则在 ba 内至少存在一点内至少存在一点 使得 使得 abfafbf f ab afbf 或 从图从图 1 1 可以看到 在罗尔定理中 由于可以看到 在罗尔定理中 由于 bfaf 弦弦AB是平行于是平行于x轴的 因此点轴的 因此点c处的切线不仅平行于处的切线不仅平行于 x轴 实质上也是平行于弦轴 实质上也是平行于弦AB的 由此可见 罗尔定的 由此可见 罗尔定 理是拉格朗日中值定理的特殊情形 理是拉格朗日中值定理的特殊情形 下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题 下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题 由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系 使我们由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系 使我们 自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理 但自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理 但 在拉格朗日中值定理中 函数在拉格朗日中值定理中 函数 xf 不一定具备不一定具备 bfaf 这个条件 为此我们设想构造一个与这个条件 为此我们设想构造一个与 xf 有密有密 切联系的函数切联系的函数 x 称为辅助函数称为辅助函数 使 使 x 满足条件满足条件 ba 及罗尔定理的另外两个条件 并对及罗尔定理的另外两个条件 并对 x 应用罗应用罗 尔定理 然后再把对尔定理 然后再把对 x 所得的结论转化到所得的结论转化到 xf 上 从上 从 而使拉格朗日中值定理得到证明 这就是我们所设想而使拉格朗日中值定理得到证明 这就是我们所设想 的证明拉格朗日中值定理的思路 那么怎样去构造辅的证明拉格朗日中值定理的思路 那么怎样去构造辅 助函数助函数 x 呢 呢 若记图若记图 2 2 中弦中弦AB的方程为的方程为 xLy 那么根据所构 那么根据所构 造的辅助函数造的辅助函数 x 需要满足的条件 通过对图需要满足的条件 通过对图 2 2 的观的观 察 我们不难发现察 我们不难发现 xLxf 这个函数很可能就是我们这个函数很可能就是我们 所需要的那个辅助函数 为什么呢 首先 若我们记所需要的那个辅助函数 为什么呢 首先 若我们记 xLxfx 则函数 则函数 x 与与 xf 有着密切的联系 第二 有着密切的联系 第二 由于曲线弧由于曲线弧AAB与弦与弦AB在在 BA 两点相交 因此 两点相交 因此 0 aLafa 0 bLbfb 即 即 ba 第三 第三 由于函数由于函数 xfy 和和 xLy 在在 ba 上都连续上都连续 在在 ba 内都可内都可 导 因此导 因此 x 在在 ba 上满足罗尔定理的条件 至于对上满足罗尔定理的条件 至于对 x 在在 ba 上应用罗尔定理后 能否得到我们所需要的上应用罗尔定理后 能否得到我们所需要的 结论 请看下面的证明 结论 请看下面的证明 拉格朗日中值的证明拉格朗日中值的证明 弦弦AB的直线方程为的直线方程为 ax ab afbf afxL 因此 函数 因此 函数 ab ab afbf afxfx 2 且且 ab afbf xfx 对函数对函数 x 在在 ba 上应用罗尔定理知 在上应用罗尔定理知 在 ba 内至内至 少存在一点少存在一点 使得 使得 0 即 即 0 ab afbf f f ab afbf 定理得证 定理得证 由上述证明可知 函数由上述证明可知 函数 x 正是我们所需要的那正是我们所需要的那 个辅助函数 现在回过头来看一看辅助函数个辅助函数 现在回过头来看一看辅助函数 xLxfx 的几何意义是什么 的几何意义是什么 在图在图 2 2 的闭区间的闭区间 ba 上任取一点上任取一点x 并过 并过x作与纵作与纵 轴平行的直线 交弧轴平行的直线 交弧AAB于于M 交弦 交弦AB于于N 则有向线 则有向线 段段NM的值恰好是我们所构造的辅助函的值恰好是我们所构造的辅助函 数数 xLxfx 其中 其中 xf 为为M点的纵坐标 点的纵坐标 xL 为为N点点 的纵坐标 的纵坐标 几点说明 几点说明 1 1 显然 公式显然 公式 1对于 对于ab 也成立 也成立 1 1 式称做拉式称做拉 格朗日中值公式 格朗日中值公式 2 2 设设x为区间为区间 ba 上一点 上一点 xx 为该区间内的另为该区间内的另 一点一点 00 xx或 则公式 可写成 则公式 可写成 xxxfxfxxf 10 3 3 3 若记若记 xf 为为y 则 则 xfxxfy 于是 于是 3式又 式又 可写成可写成 xxxfy 10 4 我们知道 若函数我们知道 若函数 xfy 在在x处可微 则处可微 则 ydyox 这时可以用函数 这时可以用函数 xfy 的微分的微分 xxfdy 来来 近似地代替函数增量近似地代替函数增量 y 并且所产生的误差 并且所产生的误差 xdyy 是比是比x 高阶的无穷小 但我们却没有实现高阶的无穷小 但我们却没有实现 用微分精确表示函数的增量 而用微分精确表示函数的增量 而 4式给出了自变量取 式给出了自变量取 得有限增量得有限增量x 不一定很小x 时 函数增量的微分精确表时 函数增量的微分精确表 达式 因此 拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理 达式 因此 拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理 4式也称为有限增量公式 式也称为有限增量公式 拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位 有拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位 有 时也称其为微分中值定理 利用它可实现用导数来研时也称其为微分中值定理 利用它可实现用导数来研 究函数的变化 究函数的变化 作为拉格朗日中值定理的一个应用 我们看下面作为拉格朗日中值定理的一个应用 我们看下面 的问题 的问题 我们知道 如果函数我们知道 如果函数 xf 在某一区间上是一个常在某一区间上是一个常 数 则数 则 xf 在该区间上的导数恒为零 那么它的逆命在该区间上的导数恒为零 那么它的逆命 题是否成立呢 这就是下面的定理所要回答的问题 题是否成立呢 这就是下面的定理所要回答的问题 定理定理 若函数若函数 xf 在区间在区间I上的导数恒为零 则上的导数恒为零 则 xf 在区间在区间I上是一个常数 上是一个常数 证证 在区间在区间I上任取两点上任取两点21 x x 21 xx 应用 应用 1式即 式即 得得 12 12 xxfxfxf 21 xx 由题设知由题设知 0 f 所以 所以 0 12 xfxf 即 即 12 xfxf 因为因为21 x x 是是I上任意两点 所以上任意两点 所以 xf 在区间在区间I上是一个上是一个 常数 常数 这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至 关重要的作用 关重要的作用 下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式 下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式 例例 2 2 证明当证明当0 x时 时 xx x x 1ln 1 分析分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的 形式 那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式形式 那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式 呢 我们知道 在拉格朗日中值公式中呢 我们知道 在拉格朗日中值公式中 ba 而不 而不 知道知道 具体等于多少 但根据具体等于多少 但根据 在在 ba 之间的取值却可之间的取值却可 以估计出以估计出 f 的取值范围 或者说可以估计出的取值范围 或者说可以估计出 f 取取 值的上下界 分别用值的上下界 分别用 f 取值的上下界去代换拉格朗取值的上下界去代换拉格朗 日中值公式中的日中值公式中的 f 就可以得到不等式了 这就是 就可以得到不等式了 这就是 用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路 用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路 用拉格朗日中值定理去证明不等式 最重要的是用拉格朗日中值定理去证明不等式 最重要的是 去找函数去找函数 f x和相应的区间 和相应的区间 ba 那么怎样去找函数 那么怎样去找函数 xf 和相应的区间和相应的区间 ba 呢 注意 拉格朗日中值公式呢 注意 拉格朗日中值公式 f ab afbf 的左端是很有特点的 它恰好是函数的左端是很有特点的 它恰好是函数 xf 在区间在区间 a b上的增量与区间 上的增量与区间 ba 的长度之比 因此 的长度之比 因此 只要我们通过不等式的变形 把其核心部分变形为只要我们通过不等式的变形 把其核心部分变形为 ab afbf 的形式 就不难确定函数的形式 就不难确定函数 xf 和相应的区间和相应的区间 ba 了 了 对于本例来讲 首先我们可以做如下的变形 对于本例来讲 首先我们可以做如下的变形 1 1ln 1 1 x x x 1 0 01ln1ln 1 1 x x x 由此变形结果 我们不难确定出所需要的函数由此变形结果 我们不难确定出所需要的函数 xf 为为 x 1ln 相应的区间为 相应的区间为 x 0 如果我们对原不等式再做另外一种变形 即如果我们对原不等式再做另外一种变形 即 1 1ln 1 1 x x x 1 11 1ln1ln 1 1 x x x 则由此变形结果 我们不难确定出所需要的函数则由此变形结果 我们不难确定出所需要的函数 xf 为为xln 相应的区间为 相应的区间为 x 1 1 确定了所需要的函数确定了所需要的函数 xf 及相应的区间及相应的区间 ba 后 接后 接 下来就是对函数下来就是对函数 xf 在在 ba 上应用拉格朗日中值定理 上应用拉格朗日中值定理 并估计拉格朗日中值公式中并估计拉格朗日中值公式中 f 取值的上下界了 取值的上下界了 证证 方法一方法一 设设 xxf 1ln 显然 显然 xf 在区间在区间 x 0 上满足拉格朗上满足拉格朗 日中值定理的条件 拉格朗日中值定理得日中值定理的条件 拉格朗日中值定理得 1 11ln f x x x 0 由于由于 x 0 所以 所以 1 1 1 1 1 x 即 即 1 1ln 1 1 x x x xx x x 1ln 1 方法二方法二 设设 xxfln 显然 显然 xf 在区间在区间 x 1 1 上满足拉格朗日上满足拉格朗日 中值定理的条件 对函数中值定理的条件 对函数 xf 在区间在区间 x 1 1 上应用拉格上应用拉格 朗日中值定理 并对拉格朗日中值公式中朗日中值定理 并对拉格朗日中值公式中 f 取值的取值的 上下界进行估计 即可证得本例中的不等式 具体证上下界进行估计 即可证得本例中的不等式 具体证 明过程请同学们课后完成 明过程请同学们课后完成 总结总结 1 1 例例 2 2 中的分析是用拉格朗日中值定理证中的分析是用拉格朗日中值定理证 明不等式的一般思路 同学们务必要掌握其要领 明不等式的一般思路 同学们务必要掌握其要领 2 2 由例由例 2 2 的证明过程可见 用拉格朗日中值定的证明过程可见 用拉格朗日中值定 理证明不等式时所选择的函数理证明不等式时所选择的函数 xf 并不是唯一的 重并不是唯一的 重 要的是函数应与相应区间相匹配 要的是函数应与相应区间相匹配 三 柯西中值定理三 柯西中值定理 拉格朗日中值定理的几何意义是 如果在连续曲拉格朗日中值定理的几何意义是 如果在连续曲 线线 xfy 的弧的弧AAB上 处端点外处处具有不垂直于上 处端点外处处具有不垂直于x轴轴 的切线 则在该弧上至少存在一点的切线 则在该弧上至少存在一点c 使曲线在 使曲线在c点处点处 的切线平行于弦的切线平行于弦AB 若我们不用 若我们不用 xfy 来表示连续的来表示连续的 曲线弧曲线弧AAB 而用参数方程来表示连续的曲线弧 而用参数方程来表示连续的曲线弧AAB 那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢 那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢 设连续的曲线弧设连续的曲线弧AAB由参数方程由参数方程 xfY xFX bxa 表表 示 见图示 见图 3 3 其中 其中x为参数 那么利用参数方程求导为参数 那么利用参数方程求导 公式 曲线上点公式 曲线上点 YX 处切线的斜率为处切线的斜率为 xF xf dx dy 弦弦 AB的斜率为的斜率为 aFbF afbf 假定点假定点c对应于参数对应于参数 x 那么曲线上点 那么曲线上点c处的切线平处的切线平 行于弦行于弦AB可表示为可表示为 F f aFbF afbf 与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西 Cauchy 中值定理 中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 若函数若函数 f x及 及 F x满足 满足 1 1 在闭区间在闭区间 ba 上连续 上连续 2 2 在开区间在开区间 ba 内可导 内可导 3 3 对任一对任一 bax 0 xF 则在则在 ba 内至少存在一点内至少存在一点 使得 使得 F f aFbF afbf 5 证证 首先我们来证明在已给条件下首先我们来证明在已给条件下 0 aFbF 显然函数显然函数 xF 在在 ba 上满足拉格朗日中值定理的条上满足拉格朗日中值定理的条 件 根据定理应有件 根据定理应有 abFaFbF ba 由于由于 ba 由假定知 由假定知 0 F 又 又0 ab 所以 所以 0 aFbF 类似于拉格朗日中值定理的证明 我们仍然用表类似于拉格朗日中值定理的证明 我们仍然