圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结(1)

1 椭圆的定义 性质及标准方程 1 椭圆的定义 第一定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数 大于 12 FF 12 FF 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做椭圆的 焦距 第二定义 动点到定点的距离和它到定直线 的距离之比等于常数MFl 则动点的轨迹叫做椭圆 10 eeM 定点是椭圆的焦点 定直线 叫做椭圆的准线 常数 叫做椭圆的离心率 Fle 说明 说明 若常数等于 则动点轨迹是线段 2a2c 12 FF 若常数小于 则动点轨迹不存在 2a2c 2 椭圆的标准方程 图形及几何性质 标准方 程 中 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 心在原点 焦点在 轴上x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 中心在原点 焦点在 轴上y 图形 范围 xa yb xb ya 顶点 12 12 00 00 AaAa BbBb 12 12 00 00 AaAa BbBb 对称轴 轴 轴 xy 长轴长 短轴长 2a2b 轴 轴 xy 长轴长 短轴长 2a2b 2 焦点在长轴上焦点在长轴上 焦点 12 00FcFc 12 00FcFc 焦距 0 2 21 ccFF 0 2 21 ccFF 离心率 10 e a c e 10 e a c e 准线 2 a x c 2 a y c 参数方 程与普 通方程 的参数方程 22 22 1 xy ab 为 cos sin xa yb 为参数 的参数方程 22 22 1 yx ab 为 cos sin ya xb 为参数 3 焦半径公式 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径 焦半径公式 椭圆焦点在 轴上时 设分别是椭圆的左 右焦点 x 12 FF 是椭圆上任一点 则 00 P xy 10 PFaex 20 PFaex 推导过程 推导过程 由第二定义得 为点到左准线的距离 1 1 PF e d 1 dP 则 同理得 2 11000 a PFede xexaaex c 20 PFaex 简记为 左 右 由此可见 过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数 若焦点在 轴上 则为 有时为了运算方便 设 22 22 1 xy ab y 22 22 1 yx ab 0 1 22 nmmnymx 3 双曲线的定义 方程和性质 知识要点 1 定义 1 第一定义 平面内到两定点 F1 F2的距离之差的绝对值等于定长 2a 小于 F1F2 的点的轨迹叫双曲线 说明 PF1 PF2 2a 2a F1F2 时无轨迹 设 M 是双曲线上任意一点 若 M 点在双曲线右边一支上 则 MF1 MF2 MF1 MF2 2a 若 M 在双曲线的左支上 则 MF1 1 的点的轨迹叫双曲线 定点叫焦点 定直线 L 叫相应的准线 2 双曲线的方程及几何性质 标准方程 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 0b 0a 1 b x a y 2 2 2 2 图形 4 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 顶点A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 对称轴 实轴 2a 虚轴 2b 实轴在 x 轴上 c2 a2 b2 实轴 2a 虚轴 2b 实轴 在 y 轴上 c2 a2 b2 离心率 2 MD MF a c e 2 MD MF a c e 准线方程 c a x l c a x l 2 2 2 1 准线间距离为 c a2 2 c a y l c a y l 2 2 2 1 准线间距离为 c a2 2 渐近线方 程 0 0 b y a x b y a x 0 0 a y b x a y b x 3 几个概念 1 等轴双曲线 实 虚轴相等的双曲线 等轴双曲线的渐近线为 y x 离心率为 2 2 共轴双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴 虚轴为实轴的双曲线叫原双 曲线的共轴双曲线 例 的共轴双曲线是 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线 但有共同的渐近线的两双曲线 不一定是共轴双曲线 双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个 圆周上 5 抛物线标准方程与几何性质 一 抛物线定义的理解一 抛物线定义的理解 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定Fl 点为抛物线的焦点 定直线 为抛物线的准线 Fl 注 定义可归结为 一动三定 一个动点设为 一定点 即焦MF 点 一定直线 即准线 一定值 1 即动点到定点的距离与它到定直线lMF 的距离之比 1 l 定义中的隐含条件 焦点不在准线 上 若在 上 抛物线退化为过FlFl 且垂直于 的一条直线Fl 圆锥曲线的统一定义 平面内与一定点和定直线 的距离之比为常数Fl 的点的轨迹 当时 表示椭圆 当时 表示双曲线 当时 表e10 e1 e1 e 示抛物线 抛物线定义建立了抛物线上的点 焦点 准线三者之间的距离关系 在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离 称焦半径 与动点到准线距离互化 与抛物线的定义联系起来 通过这种转化使问题简单化 二 抛物线标准方程二 抛物线标准方程 1 抛物线标准方程建系特点 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一 条坐标轴建立直角坐标系 这样使标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 2 四种标准方程的联系与区别 由于选取坐标系时 该坐标轴有四种不 同的方向 因此抛物线的标准方程有四种不同的形式 抛物线标准方程的四种 形式为 其中 02 2 ppxy 02 2 ppyx 参数的几何意义 焦参数是焦点到准线的距离 所以恒为正值 ppp 6 值越大 张口越大 等于焦点到抛物线顶点的距离 p 2 p 标准方程的特点 方程的左边是某变量的平方项 右边是另一变量的一 次项 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同 一次项系数的符 号决定抛物线的开口方向 即对称轴为 轴时 方程中的一次项变量就是 xx 若 的一次项前符号为正 则开口向右 若 的一次项前符号为负 则开口向xx 左 若对称轴为 轴时 方程中的一次项变量就是 当 的一次项前符号为yyy 正 则开口向上 若 的一次项前符号为负 则开口向下 y 三 求抛物线标准方程三 求抛物线标准方程 求抛物线方程时 要依据题设条件 弄清抛物线的对称轴和开口方向 正 确地选择抛物线标准方程 待定系数法 因抛物线标准方程有四种形式 若能确定抛物线的形式 需一个条件就能解出待定系数 因此要做到 先定位 再定值 p 注 当求顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线时 若不知开口方向 可 设为或 这样可避免讨论 axy 2 ayx 2 抛物线轨迹法 若由已知得抛物线是标准形式 可直接设其标准式 若不确定是否是标准式 由已知条件可知曲线的动点的规律 一般用轨迹法求 之 四 抛物线的简单几何性质四 抛物线的简单几何性质 方程设抛物线 02 2 ppxy 性质焦点范围 对称 性 顶点离心率准线通径 7 0 2 p F 0 x 关于 轴x 对称 原点1 e 2 p x p2 注 焦点的非零坐标是一次项系数的 4 1 对于不同形式的抛物线 位置不同 其性质也有所不同 应弄清 它们的异同点 数形结合 掌握方程与有关特征量 有关性质间的对应关系 从整体上认识抛物线及其性质 五 直线与抛物线有关问题五 直线与抛物线有关问题 1 直线与抛物线的位置关系的判断 直线与抛物线方程联立方程组 消 去 或 化得形如 的式子 xy0 2 cbxax 当时 式方程只有一解 即直线与抛物线只有一个交点 此0 a 时直线与抛物线不是相切 而是与抛物线对称轴平行或重合 当时 若 0 式方程有两组不同的实数解 直线与抛0 a 物线相交 若 0 式方程有两组相同的实数解 直线与抛 物线相切 若 0 式方程无实数解 直线与抛物线相离 2 直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式 设直线交抛物线于 则 2211 yxByxA BAAB xxkAB 2 1 或 BA yy k AB 2 1 1 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时 借助于焦半径公式处理 8 抛物线上一点的焦半径长是 抛物线 02 2 ppxy 00 y xM 2 0 p xMF 上一点的焦半径长是 02 2 ppyx 00 y xM 2 0 p yMF 六 抛物线焦点弦的几个常用结论六 抛物线焦点弦的几个常用结论 设为过抛物线焦点的弦 设 直线的AB 02 2 ppxy 2211 yxByxAAB 倾斜角为 则 2 21 2 21 4 pyy p xx 2 sin 2p AB pxx 21 以为直径的圆与准线相切 AB 弦两端点与顶点所成三角形的面积 sin2 2 p S AOB pFBFA 211 焦点对 在准线上射影的张角为 900 FAB 七 抛物