《直线与圆的方程的应用》教案-1

4 2 3 4 2 3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 教案教案 一 学习目标一 学习目标 1 坐标法求直线和圆的应用性问题 2 面积最小圆 中点弦问题的解决方法 教学效果 教学目标的给出 有利于学生整体上把握课堂 二 教学过程二 教学过程 直线与圆的方程在生产 生活实践以及数学中有着广泛的应用 本节通过几个例子说 明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用 1 1 自学例 自学例 4 4 例 例 5 5 体会其中的解题方法和技巧 坐标法解题 体会其中的解题方法和技巧 坐标法解题 教材上例 4 例 5 都是用坐标法解决几何问题的 你能否总结 一下坐标法 代数 法 解决几何问题的步骤吗 解决直线与圆的问题时 一般采用坐标法 代数法 几何法来解决问题 多数是 采用圆心到直线的距离与半径的关系来解 决 我们教材上例 4 例 5 采用了代数法 你 能用几何法来完 成例 4 吗 试着作一下 比较几何法和坐标法 你认为那种方法比较简便实用 结论结论 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何 元素 将平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 将代数运算结果 翻译 成几何结论 过点作 由已知 在中 有 2 POPHP 2 10 4 OAOPAOCRT 设拱圆所在的半径为 则有 222 OACOCA r 222 10 4 rr 解得 中 有 根据图形我们可以知道 5 14 rHCPRT 2 2 2 22 2 HPCHCP 2 又 22 OAHP 25 2064 5 14 22 2 22 OArCH5 1045 14 OC 于是有我们可以很容易得到下列结论 结论如下 所以支柱的长度约为 86 35 1036 145 1025 206 COCHOH 22P A 3 86cm 我们把两种方法比较 会发现坐标法同通俗易懂 而几何法比较难想 繁琐 因此 解题时要有所选择 2 2 面积最小圆问题 中点弦轨迹问题 面积最小圆问题 中点弦轨迹问题 例例 1 1 求通过直线与圆的交点 且面积最032 yx0142 22 yxyx 小的圆的方程 结论结论 解法一 利用过两曲线交点的曲线系 我们可以设圆的方程为 配方得到标准式方程如下所示0 32 142 22 yxyxyx 可以得到13 2 2 1 2 2 1 2222 yx 当时 此时半径 5 19 5 2 4 54 4 5 222 r5 2 5 19 r 所求圆的方程为 解法二 利用平面几何知识 以直线与圆5 19 5 9 5 3 22 yx 的交点连线为直径的圆符合条件 把两个方程式联立 消去 得 2211 yxByxA y 因为判别式大于零 我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线0265 2 xx 段的中点的横坐标为 又半AB5 32 210 xxx5 932 00 xy 径 弦长公式 所以所求的圆的方程是 5 1921 5 0 2 21 xxr 解法三 我们可以求出两点的坐标 根据两点间距离公式5 19 5 9 5 3 22 yx 和中点坐标公式求出半径和圆心 求出圆的方程 例例 2 2 已知圆 O 的方程为 求过点所作的弦的中点的轨迹 9 22 yx 2 1 A 结论结论 解法一 参数法 常规方法 设过 A 所在的直线方程为 y 2 k x 1 k 存在时 P x y 则 消去 y 得到如下方程 2 9 22 kkxyyx 所以我们可以得到下面结果 0 54 2 2 1 222 kkxkkxk 利用中点坐标公式及中点在直线上 得 1 2 2 2 21 kkkxx k 为参数 消去 k 得 P 点的轨迹方程为 1 2 1 2 22 kkykkkx 当 k 不存在时 中点 P 1 0 的坐标也适合方程 所以 P 点的轨迹02 22 yxyx 是以点 1 2 1 为圆心 为半径的圆 解法二 代点法 涉及中点问题可考虑此法 2 5 我们可以设过点 A 的弦为 MN 则可以设两点的坐标为 因为 M N 都 2211 yxNyxM 在圆上 所以我们可以得到 然后我们把两式向减可以得到 9 9 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 设 P x y 则 0 2121212121 xxyyxxyyxx 所以由这个结论和 M N P A 四点共线 可以得到2 2 2121 yyyxxx 所以 2x y 2 x 1 1 2 2121 xxyxxyy 1 2y 0 所以 P 点的轨迹方程为 x 1 时也成立 所以 P 点的 02 22 yxyx 轨迹是以点 1 2 1 为圆心 为半径的圆 解法三 数形结合 利用平面几何知识 2 5 由垂径定理可知 故点 P 的轨迹是以 AO 为直径的圆 PAOP 教学效果 这一部分知识内容比较艰涩 但是是高考的考点 要求基础好的同学 能完全彻底理解 四 小结四 小结 本节课主要学习了坐标法解决圆和直线的应用性问题 中点