课时作业与单元检测《平面向量数量积的物理背景及其含义》

2 4 2 4 平面向量的数量积平面向量的数量积 2 2 4 14 1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 体会 平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握向量数量积的运算律 1 平面向量数量积 1 定义 已知两个非零向量 a 与 b 我们把数量 叫做 a 与 b 的数量积 或内 积 记作 a b 即 a b a b cos 其中 是 a 与 b 的夹角 2 规定 零向量与任一向量的数量积为 3 投影 设两个非零向量 a b 的夹角为 则向量 a 在 b 方向的投影是 向 量 b 在 a 方向上的投影是 2 数量积的几何意义 a b 的几何意义是数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 的 乘积 3 向量数量积的运算律 1 a b 交换律 2 a b 结合律 3 a b c 分配律 一 选择题 1 a 2 b 4 向量 a 与向量 b 的夹角为 120 则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 A 3 B 2 C 2 D 1 2 已知 a b a 2 b 3 且 3a 2b 与 a b 垂直 则 等于 A B C D 1 3 2 3 2 3 2 3 已知向量 a b 满足 a b 0 a 1 b 2 则 2a b 等于 A 0 B 2 C 4 D 8 2 4 在边长为 1 的等边 ABC 中 设 a b c 则 a b b c c a 等于 BC CA AB A B 0 C D 3 3 2 3 2 5 若非零向量 a b 满足 a b 2a b b 0 则 a 与 b 的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 6 若向量 a 与 b 的夹角为 60 b 4 a 2b a 3b 72 则向量 a 的模为 A 2 B 4 C 6 D 12 题 号123456 答 案 二 填空题 7 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 且 a b 4 那么 b 2a b 的值为 8 给出下列结论 若 a 0 a b 0 则 b 0 若 a b b c 则 a c a b c a b c a b a c c a b 0 其中正确结论的序号是 9 设非零向量 a b c 满足 a b c a b c 则 a b 10 已知 a 是平面内的单位向量 若向量 b 满足 b a b 0 则 b 的取值范围是 三 解答题 11 已知 a 4 b 3 当 1 a b 2 a b 3 a 与 b 的夹角为 60 时 分别求 a 与 b 的数量积 12 已知 a b 5 向量 a 与 b 的夹角为 求 a b a b 3 能力提升 13 已知 a 1 b 1 a b 的夹角为 120 计算向量 2a b 在向量 a b 方向上的投 影 14 设 n 和 m 是两个单位向量 其夹角是 60 求向量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角 1 两向量 a 与 b 的数量积是一个实数 不是一个向量 其值可以为正 当 a 0 b 0 0 90 时 也可以为负 当 a 0 b 0 90 180 时 还可以为 0 当 a 0 或 b 0 或 90 时 2 数量积对结合律一般不成立 因为 a b c a b cos a b c 是一个与 c 共线的向量 而 a c b a c cos a c b 是一个与 b 共线的向量 两者一般不同 3 向量 b 在 a 上的射影不是向量而是数量 它的符号取决于 角 注意 a 在 b 方向上的射 影与 b 在 a 方向上的射影是不同的 应结合图形加以区分 2 4 2 4 平面向量的数量积平面向量的数量积 2 2 4 14 1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义 答案答案 知识梳理 1 1 a b cos 2 0 3 a cos b cos 2 b cos 3 1 b a 2 a b a b 3 a c b c 作业设计 1 D a 在 b 方向上的投影是 a cos 2 cos 120 1 2 A 3a 2b a b 3 a2 2 3 a b 2b2 3 a2 2b2 12 18 0 3 2 3 B 2a b 2 2a b 2 4 a 2 4a b b 2 4 1 4 0 4 8 2a b 2 2 4 A a b cos 60 同理 b c c a BC CA CB CA CB CA 1 2 1 2 1 2 a b b c c a 3 2 5 C 由 2a b b 0 得 2a b b2 0 设 a 与 b 的夹角为 2 a b cos b 2 0 cos 120 b 2 2 a b b 2 2 b 2 1 2 6 C a b a b cos 60 2 a a 2b a 3b a 2 6 b 2 a b a 2 2 a 96 72 a 6 7 0 解析 b 2a b 2a b b 2 2 4 4 cos 120 42 0 8 解析 因为两个非零向量 a b 垂直时 a b 0 故 不正确 当 a 0 b c 时 a b b c 0 但不能得出 a c 故 不正确 向量 a b c 与 c 共线 a b c 与 a 共线 故 不正确 正确 a b a c c a b a b a c a c a b 0 9 120 解析 a b c c 2 a b 2 a2 2a b b2 又 a b c 2a b b2 即 2 a b cos a b b 2 cos a b 1 2 a b 120 10 0 1 解析 b a b a b b 2 a b cos b 2 0 b a cos cos 为 a 与 b 的夹角 0 0 b 1 11 解 1 当 a b 时 若 a 与 b 同向 则 a 与 b 的夹角 0 a b a b cos 4 3 cos 0 12 若 a 与 b 反向 则 a 与 b 的夹角为 180 a b a b cos 180 4 3 1 12 2 当 a b 时 向量 a 与 b 的夹角为 90 a b a b cos 90 4 3 0 0 3 当 a 与 b 的夹角为 60 时 a b a b cos 60 4 3 6 1 2 12 解 a b a b cos 5 5 1 2 25 2 a b 5 a b 2 a 2 2a b b 2 25 2 25 2 25 3 a b 5 a b 2 a 2 2a b b 2 25 2 25 2 25 13 解 2a b a b 2a2 2a b a b b2 2a2 a b b2 2 12 1 1 cos 120 12 1 2 a b 1 a b 2a2 2a b b2 1 2 1 1 cos 120 1 2a b cos 2a b a b 2a b 2a b a b 2a b a b 2a b a b a b 1 2 向量 2a b 在向量 a b 方向上的投影为 1 2 14 解 n m 1 且 m 与 n 夹角是 60 m n m n cos 60 1 1 1 2 1 2 a 2m n 2m n 24 1 1 4m n 4 1 1 4