高考几何概型复习课课

1 12 3 几何概型 最新考纲 了解几何概型的意义 一 要点梳理 1 几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率 模型为几何概率模型 简称为几何概型 2 几何概型中 事件 A 的概率的计算公式 P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 二 课前小练 1 一个路口的红绿灯 红灯的时间为 30 秒 黄灯的时间为 5 秒 绿灯的时间为 40 秒 则某人 到达路口时看见的是红灯的概率是 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 答案 B 解析 以时间的长短进行度量 故 P 30 75 2 5 2 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则劣弧的长度小 A AB 于 1 的概率为 答案 2 3 解析 如图可设 1 则由几何概型可知其整体事件是其周长 3 则 A AB l 其概率是 2 3 3 在区间 1 2 上随机取一个数 x 则 x 0 1 的概率为 答案 1 3 解析 如图 这是一个长度型的几何概型题 所求概率 P CD AB 1 3 4 已知直线 y x b b 2 3 则直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是 答案 2 5 解析 区域 D 为区间 2 3 d 为区间 1 3 而两个区间的长度分别为 5 2 故所求概率 P 2 5 三 题型分析 题型一 与长度 角度有关的几何概型 例 1 1 在区间 1 1 上随机取一个数 x 求 cos x 的值介于 0 到 之间的概率 2 1 2 2 如图所示 在 ABC 中 B 60 C 45 高 AD 在 BAC 内作射线 AM 交 3 BC 于点 M 求 BM 1 的概率 2 思维启迪 寻找所考查对象活动的范围 解 1 由函数 y cos x 的图象知 2 当 1 x 或 x 1 时 2 3 2 3 0 cos x 2 1 2 由概率的几何概型知 cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 1 2 2 3 2 1 3 2 因为 B 60 C 45 所以 BAC 75 在 Rt ABD 中 AD B 60 3 所以 BD 1 BAD 30 AD tan 60 记事件 N 为 在 BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M 使 BM 1 则可得 BAM BAD 时事 件 N 发生 由几何概型的概率公式 得 P N 30 75 2 5 思维升华 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围 当考查对 象为点 点的活动范围在线段上时 用线段长度比计算 当考查对象为线时 一般用角度比 计算 事实上 当半径一定时 由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比 所以角度 之比实际上是所对的弧长 曲线长 之比 题型二 与面积 体积有关的几何概型 例 2 2012 年湖南 15 函数 f x sin 的导函数x 的部分图像如图 4 所示 其中 P 为图像与 y 轴的交点 A C yfx 为图像与 x 轴的两个交点 B 为图像的最低点 若在曲线段与 x 轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 ABC A ABC 内的概率为 解析 1 当 点 P 的坐标为 yfx cos x 6 0 时 3 3 2 3 3 cos 3 62 2 由图知 设的横坐标分别为 2 22 T AC 1 22 ABC SAC A A B a b 设曲线段与 x 轴所围成的区域的面积为则 A ABCS 由几何概型知该点在 ABC 内的 sin sin 2 b b a a Sfx dxf xab 3 概率为 2 24 ABC S P S A 思维启迪 平面区域内的几何概型 一般用面积求概率 空间区域内的几何概型 一般用体 积求概率 例 3 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 O 为底面 ABCD 的中心 在正方体 ABCD A1B1C1D1内随机取一点 P 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 审题路线 画出正方体 找出以点 O 为中心且到 O 点的距离等于 1 的几何体 球 利用球的体 积公式及几何概型的概率公式求解 解析 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心 以 1 为半径的半球外 记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A 则 P A 1 答案 1 23 1 2 4 3 13 23 12 12 规律方法 很多几何概型 往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来 在解决问 题时 要善于根据问题的具体情况进行转化 这种转化策略是化解几何概型试题的关键 思维升华 求解几何概型的概率问题 一定要正确确定试验的全部结果构成的区域 从而正确 选择合理的测度 进而利用概率公式求解 题型三 生活中的几何概型问题 例 4 甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的 如果甲船停泊时间为 1 h 乙船停泊时间为 2 h 求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率 思维启迪 当基本事件受两个连续变量控制时 一般是把两个连续变量分别作为一个点的横 坐标和纵坐标 这样基本事件就构成了平面上的一个区域 即可借助平面区域解决 解 这是一个几何概型问题 设甲 乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y A 为 两船都 不需要等待码头空出 则 0 x 24 0 y 24 要使两船都不需要等待码头空出 当且仅当 甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上 即 y x 1 或 x y 2 故所求事件构成集合 A x y y x 1 或 x y 2 x 0 24 y 0 24 A 为图中阴影部分 全部结果构成集合 为边长是 24 的正方形及其内 部 所求概率为 P A A的面积 的面积 24 1 2 1 2 24 2 2 1 2 242 506 5 576 1 013 1 152 思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法 1 审题 通过阅读题目 提炼相关信息 2 建模 利用相关信息的特征 建立概率模型 3 解模 求解建立的数学模型 4 结论 将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 四 跟综训练 4 1 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点 过这个点作垂直于直径的弦 则弦长超过圆内 接等边三角形边长的概率是 解析 2 记事件 A 为 弦长超过圆内接等边三角形的边长 如图 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦 当弦为 CD 时 就是等边三角形 的边长 此时 F 为 OE 中点 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF 由几何 概型公式得 P A 1 2 2 2 1 2 2 有一个底面圆的半径为 1 高为 2 的圆柱 点 O 为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱 内随机取一点 P 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 答案 2 3 解析 先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率 圆柱的体积 V圆柱 12 2 2 以 O 为球心 1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V半 球 13 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 1 2 4 3 2 3 2 3 2 1 3 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1 1 3 2 3 3 在区间 内随机取出两个数分别记为 a b 则函数 f x x2 2ax b2 2有零点的概 率为 A 1 B 1 C 1 D 1 8 4 2 3 4 答案 B 解析 1 由函数 f x x2 2ax b2 2有零点 可得 2a 2 4 b2 2 0 整理得 a2 b2 2 如图所示 a b 可看成坐标平面上的点 试验的全部结果构成的区域为 a b a b 其面积 S 2 2 4 2 事件 A 表示函数 f x 有零点 所构成的区域为 M a b a2 b2 2 即图中阴影部分 其面积为 SM 4 2 3 故 P A 1 所以选 B SM S 4 2 3 4 2 4 5 张先生订了一份报纸 送报人在早上 6 30 7 30 之间把报纸送到他家 张先生离开家去 上班的时间在早上 7 00 8 00 之间 则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 答案 7 8 解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间 以纵坐标 y 表示张先生离家时间 建立平面直角坐标 系 因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型 的条件 根据题意只要点落到阴影部分 就表示张先生在离开家前能得到报 纸 即所求事件 A 发生 所以 P A 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 7 8 5 方法与技巧 1 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个 2 转化思想的应用 对一个具体问题 可以将其几何化 如建立坐标系将试验结果和点对应 然后利用几何概型 概率公式 1 一般地 一个连续变量可建立与长度有关的几何概型 只需把这个变量放在坐标轴上即 可 2 若一个