《平面图形的镶嵌》教案

平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌 教案教案 设计背景设计背景 本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题 教学的主题是把日常生活中的铺 地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题 本节课设计的理论支撑点是建构主义 的学习理论 这种理论认为学生的学习不是被动的接受 而是一种主动的探究与建构 认 为各个个体对知识的理解随个人的经验 经历的不同而不同 根据这一理论 教师在教学 设计中充分考虑到学生的差异 设计了开放性的问题 教学中采用合作学习的方式 教学目标教学目标 本节课的教学目标是 通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决 当然不一定能完全解 决 的过程 加深对正多边形的有关概念 性质的理解 了解数学知识在实际生产生活中 的应用 培养学生应用数学解决实问题的意识和能力 优化思维品质 培养学生发散性思 维能力及由特殊到一般的归纳能力 通过合作学习 培养学生团结协作的团队精神 一一 展示情景 提出问题展示情景 提出问题 感知表象 师 随着生活水平的提高 人们对家居环境不断提出高的要求 在室内地面 墙面装 潢中 对选用地板或瓷砖的形状 图案 除了其外观美之外 对铺在地面或墙面的式样也 不断有所讲究 由同学相互观察收集的图片后交流图片的特点 图片中的地砖都是铺得平平的 地砖的大小是一样的 顶点在一个点处 这些地砖之间没有一点空隙 也没有重叠在一起 回归数学 师 大家发现的地砖形状实际上就是我们数学中的几何图形 从数学的角度看 这就 是用多边形覆盖平面或平面镶嵌问题 人们正是利用数学知识来美化生活的 问题提出 师 如果你是设计师 你用哪几种几何图形来做平面镶嵌呢 生 我们认为一种多边形能作平面镶嵌 如用正三角形 正方形 正六边形等 生 通过对前面图片的观察 我们认为既能用一种正多边形进行镶嵌 也能用两种正 多边形进行平面镶嵌 教师启发性提问 A 限用一种正多边形进行平面镶嵌 哪几种正多边形能行 B 限 用两种正多边形进行平面镶嵌 分别有哪两种正多边形能行 C 平面镶嵌有什么规律 二 解决问题二 解决问题 结合学生提出的问题 教师把 镶嵌问题 的课题研究划分为小课题 这就需要教师 引导学生经历动手实验 观察发现 归纳总结 形成规律的全过程 初步具有科研意识 1 实验猜想 师 同学们要弄清楚平面镶嵌的规律 就要研究上述问题 请同学们拿出准备好的各 种正多边形纸板 在小组内拼图 记录 课前准备好正三角形 正五边形 正六边形等 2 质疑辩论 教师在全班动手实验结束后 组织学生进行研究汇报 展开讨论 然后安排小组汇报 人员 其他同学向汇报人员提出质疑 问题 A 的解决过程 发现第四小组的报告最详尽 摘要如下 我们小组通过对问题 A 研究后 得到 用一种正多边形能进行镶嵌的只有正三角形 正方形 正六边形三类 展示图片 1 O O O 图 1 立即有同学提出疑义 为什么其他的正多边形就不能镶嵌呢 第四小组的答辩 我们在实验中发现 围绕一个点的正多边形的内角加在一起恰好是 一个周角时 就会拼成一个无缝隙 不重叠的平面图形 因此 我们得到上面的三种正多 边形能作平面镶嵌 而其它的正多边形为什么不能就不能进行平面镶嵌呢 我们用正五边 形 正八边形为例说明 如图 2 我们相信同学们由图便知为什么用它们不能进行平面 镶嵌 同学们报以热烈的掌声 并投以敬佩的目光 三 三 三 三 图 2 教师小结 大家刚才发现的结论是正确的 实际上用一种正多边形进行平面镶嵌 就 是要使所用的正多边形的一个内角的度数能整除 360 而我们知道 正多边形的一个内角 的度数为 若设用某种正多边形 x 个 则 x 360 由此可得 x 2 n n180 2 n n180 2 2 2 n n 由于 x 为正整数 所以 n 3 或 4 和 6 时才符合要求 这样 我们就验证了前面的结论 2 4 n 的正确性 问题 B 的解决 第三小组的报告就能解决问题 B 他们的内容摘要如下 我们组借助拼板发现 用两种正多边形做平面镶嵌有以下 6 种情形 我们用表格进行 整理 用两个正多边形镶嵌的六种情况 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 正多边形的边数序 号345681012 132 241 322 422 522 621 接着同学们对提出的观点进行了质疑 生 请问两个问题 1 你们为什么会想到正 八边形 正十边形 正十二边形 2 超过正十二边形的真的不行吗 回答 我们由围绕 一个点的两种正多边形的内角加在一起恰好是一个周角 若用正三角形和正方形进行镶嵌 由于它们的内角分别为 60 和 90 一开始 我们用拼板反复实验 发现用于平面镶嵌的 正三角形和正方形分别是 3 个和 2 个 于是 我们想 都这样做 是不是有点太麻烦了 后来 受到老师的方法的启发 我们经过讨论发现 设用 x 个正三角形 y 个正方形 则 60 x 90 y 360 即 2x 3y 12 由于 x y 都为正整数 所以只有 x 3 y 2 时 上式才 成立 这样 我们就不再 猜 了 后面的结论同理得出了 三 问题延续三 问题延续 师 同学们对于平面镶嵌问题的研究是比较认真的 通过动手实验 动脑思考 掌握 了平面镶嵌的知识 生 我们发现不用正多边形 只用形状 大小相同的的任意平行四边形或长方形也能 进行平面镶嵌 或用形状 大小相同的任意三角形或任意四边形同样也能进行平面镶嵌 师 对 你们的发现很有价值 那么请同学们裁出一些形状 大小任意三角形或长方形 大小相同的任意三角形或任意四边形 然后拼一下 看有什么发现 学生开始动手练习 生 我们由三角形的内角和为 180 四边形的内角和为 360 得 形状 大小相同的 任意平行四边行或长方形能镶嵌平面 形状 大小相同的任意三角形或任意四边行能镶嵌 平面 在 O 点的 6 个角分别有三角形的三个角 1 2 3 个两次 正好组成一个周角 在点 O 处的四个角分别有四边形的四个角 1 2 3 4 各一次 正好组成一个周角 师 上面同学的发言很有创意 那么 形状 大 小相同的任意五边形或任意六边形能进行镶嵌吗 生 我们讨论后发现 用一种正多边形镶嵌时 当正多边形的顶点落在同一点处 则 能用于平面镶嵌的有正三角形 正方形 正六边形三种 而当正多边形的顶点落在其中一 个正多边形的一边时 则能用于镶嵌的正多边形只有正三角形 正方形两种 正六边形就 不行 四 课外延伸四 课外延伸 让学生把课堂上没有研究的问题在课外加以研究 1 调查亲戚 朋友 家长对生活中平面镶嵌图形知多少 然后帮助他们解释其中的 数学道理 2 根据自己的爱好 设计一个美丽的平面镶嵌图案 3 以 铺地砖用到的数学 为题写一篇小论文 五 对案例的反思五 对案例的反思 1 本节课应用的是正多边形的知识 因此在用哪种正多边形可以完成平面图形的完全 镶嵌这一个问题上可以进一步深化 可引导学生用数学的方法来证明只有正三角形 正方 形 正六边形这三种正多边形能达到目的的正确性 从而进一步培养学生逻辑思维的严谨 性 2 无空隙这一说法如何用数学语言来叙述 可引导学生归结为如下结论 拼接后各正 多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边 3 学生对