第3章-角动量定理和刚体的转动题解

1 第 3 章 角动量定理和刚体的转动 3 13 1 一发动机的转轴在 7s 内由 200r min 匀速增加到 3000r min 求 1 这段时间 内的初末角速度和角加速度 2 这段时间内转过的角度和圈数 3 轴上有一半径为 m 的飞轮 求它边缘上一点在 7s 末的切向加速度 法向加速度和总加速度 2 0 r 解 解 1 这段时间初的角速度 200 2220 9 60 frad s 这段时间末的角速度 3000 22314 60 frad s 角加速度 2 31420 9 41 9 7 rad s t 2 转过的角度为 3 0 20 9314 71 17 10186 22 trad 3 切向加速度 2 41 9 0 28 38 arm s 法向加速度为 2242 3140 21 97 10 n arm s 总的加速度为 2224242 8 38 1 97 10 1 97 10 n aaam s 总的加速度与切向的夹角 4 0 1 97 10 arctan89 59 8 37 3 23 2 地球在 1987 年完成次自转比 1900 年长s 求在 1900 年到 1987 年间 36514 1 地球自转的平均角加速度 解解 平均角加速度为 000 0 365 2365 2 87 TtT a tT 212 373 0 365 2365 21 14 0 96 10 8787 3 15 10 t rad s T 3 3 一人手握哑铃站在转盘上 两臂伸开时整个系统的转动惯量为 2kgm2 推动后 系统以 15r min 的转速转动 当人的手臂收回时 系统的转动惯量为 0 8kgm2 求此时的转速 2 解 解 由刚体定轴转动的动能定理可知 1122 2 2InIn 1 21 2 2 1537 5 min 0 8 I nnr I 3 4 质量为 60kg 半径为 0 25m 的匀质圆盘 绕其中心轴以 900r min 的转速转动 现用 一个闸杆和一个外力对盘进行制动 如图所示 设闸与盘之间的摩擦系数为 求 F4 0 1 当N 圆盘可在多长时间内停止 此时已经转了多少转 2 如果在 2s 内100 F 盘转速减少一半 需多大 F 解 解 1 设杆与轮间的正压力为 由杆杆平衡条件轴N 1 0 5lm 2 0 75lm 121 12 1 F llNl F ll N l 图 3 5 习题 1 4 图 闸瓦与杆间的摩擦力 12 1 F ll fN l 由定轴转动定律 有 2 1 2 MIImR 12 1 2 40 3 F llfR ImRl 停止转动的时间 0 900 23 7 06 60 40 ts 转过的角度 2 0 1 53 1 2332 76 2 ttradrad 圈 2 0 1 332 7653 2 ttrad 2 在内角速度减小一半 知 0 30 2s 3 0 0 2 7 5 23 55 rad srad s t 由 1 中所示的关系 制动力为 1 12 60 0 25 0 5 23 55 177 2 2 0 4 1 25 mrl FN ll 3 5 发动机带动一个转动惯量为 50kgm2的系统作定轴转动 在 0 5s 内由静止开始匀速增加 到 120r min 的转速 求发动机对系统施加的力矩 解 解 由刚体定轴转动的转动定理 可知 2 825 12 50 25 121256 MI rad s t MN M 3 6 一轻绳绕于半径为的圆盘边缘 在绳端施以的拉力 圆盘可绕水平固定光RmgF 滑轴在竖直平面内转动 圆盘质量为 并从静止开始转动 求 1 圆盘的角加速度M 及转动的角度和时间的关系 2 如以质量为的物体挂在绳端 圆盘的角加速度及转m 动的角度和时间的关系又如何 解 解 1 由刚体转动定理可知 FRI 又因为 Fmg 2 1 2 IMR 解得 2mg MR 22 1 2 mg tt MR 2 对物体受力分析 mgFma F RI aR 2 1 2 IMR 由上式解得 2 2 mg MRmR 22 1 22 mg tt MRmR 4 3 7 某冲床飞轮的转动惯量为kgm2 当转速为 30r min 时 它的转动动能是多少 3 104 每冲一次 其转速下降 10r min 求每冲一次对外所作的功 解解 转动动能为 2324 11 4 101 972 10 22 EIJ 第一次对外做功为 22324 01 1161 4 100 658 10 2292 AIIJ 3 8 半径为 质量为的水平圆盘可以绕中心轴无摩擦地转动 在圆盘上有一人沿着与RM 圆盘同心 半径为的圆周匀速行走 行走速度相对于圆盘为 设起始时 圆盘静Rr v 止不动 求圆盘的转动角速度 解 设圆盘的转动角速度为 则人的角速度为 2 12 v r 圆盘的转动惯量为 人的转动惯量为 有 2 1 2 MR 2 mr 22 22 1 2 v mrMR r 即 2 22 2 2 mrv mrMR 3 9 两滑冰运动员 质量分别为 60kg 和 70kg 他们的速率分别为 7m s 和 6m s 在相距 1 5m 的两平行线上相向滑行 当两者最接近时 互相拉手并开始绕质心作圆周运动 运动 中 两者间距离保持不变 求该瞬时 1 系统的总角动量 2 系统的角速度 m5 1 3 两人拉手前后的总动能 解 解 设在原心 质心为 1 m c r 70 1 5 0 81 7060 c rm 12 0 81 1 50 810 69 c rrm rm 2 1 1 122 2 630 Jmv rm v rkg ms 1 1 7 0 818 64 v rad s r 22 01 122 11 2730 22 Emvm vJ 2222 12 11 60 0 8170 0 698 642713 25 22 EIIJ 5 3 10 半径为的光滑半球形碗 固定在水平面上 一均质棒斜靠在碗缘 一端在碗内 一R 端在碗外 在碗内的长度为 求棒的全长 c 解解 棒的受力如图所示 1 cossin N FG 12 sincos NN FFG 2 1 cos0 2 N FG 由上式解得 2 4 2 cR L c 3 11 一均质的梯子 一端置于摩擦系数为的地板上 另一端斜靠在摩擦系数为的5 01 3 高墙上 一人的体重为梯子的三倍 爬到梯子顶端时 梯子尚未开始滑动 求梯子与地面 的最小倾角 解解 梯子的受力分析如图所示 由平衡条件可知 1 1 212 0 N FfGG 2 2 1 0 N Ff 3 2 2 1 3 N fF 4 1 1 1 3 N fF 5 1 21 1 coscossin0 2 N FGf l 由上面式子解得 41 24 tg 所以梯子与地面的最小倾角为 41 24 arctg 3 12 半径为的均质圆盘水平放置在桌面上 绕其中心轴转动 已知圆盘与桌面的摩擦系R 数为 初始时的角速度为 求经过多少时间后圆盘将静止 0 解解 圆盘由于受到摩擦力距的作用 所以最终会停止转动 为求出摩擦力矩 可将圆盘M 分为无限多个微元 其中一个微元 所受摩擦力矩为dm 2 mg dmurrd dr R 对上式积分求得整个圆盘所受的摩擦力矩为 6 2 2 2 00 2 3 R mg Mur drd R umgR 由于圆盘的转动惯量 所以圆盘的角加速度 2 1 2 ImR 4 3 Mug IR 由 得 0 t 0 t 0 3 4 R t ug 3 13 通风机转动部分的转动惯量为 以初角速度绕其轴转动 空气阻力矩与角速度I 0 成正比 比例系数为 求经过多少时间后 转动角速度减为初角速度的一半 在此时间k 内共转了多少圈 解解 根据转动定理 d Ik dt dk dt I 两边积分 0 0 2 t o dk dt I ln2 2kt ln2 tIk 由 0t t 0 2 t 得 0 2 t 0 2 ln2 k I 由 代入得 2 0 1 2 t tt 0 3ln2 4 I k 0 3ln2 2 8 I n k 3 14 赤道上有一高为的高楼 由于地球自转 楼顶和楼底对地心参照系