小学数学教材中的数学思想方法

1 小学数学教材中的数学思想方法小学数学教材中的数学思想方法 新课标在第一部分 前言 的 课程基本理念 中指出 课程内容既要反映社会的需 要 数学的特点 也要符合学生的认知规律 它不仅包括数学的结果 也包括数学结果的 形成过程和数学思想方法数学思想方法 数学课程标准 在总体目标中明确提出 通过义务教育阶段的数学学习 学生能 够 获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识 基本技能 基本思想 基本思想 基 本活动经验 日本著名数学教育家米山国藏指出 作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了 惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想 研究方法 着眼点等 这些随时随 地发生作用 使学生终身受益 一一 什么是数学思想方法什么是数学思想方法 一般来说 数学思想就是在数学学习或研究中解决问题的根本想法 是数学规律的理 性认识 是数学的灵魂 它具有本质性 概括性 指导性的意义 人们习惯上把那些具体的 操作性强的办法称为 方法 而把那些抽象的 涉及范 围较广的或框架性的办法称为 思想 数学思想揭示的是数学发展中普遍的规律 为数学的发展起着指引方向的作用 数学方法是在数学思想的指导下解决数学问题的具体程序 它是数学思想的具体化反 映 数学思想比数学方法更抽象 更概括 更本质 思想 是相应 方法 的精神实质 和本质概括 是理论根据 方法 是相应 思想 的技术实施 数学思想对数学方法起 着指导作用 数学思想揭示的是数学发展中普遍的规律 为数学的发展起着指引方向的作用 数学方法是在数学思想的指导下解决数学问题的具体程序 它是数学思想的具体化反 映 数学思想比数学方法更抽象 更概括 更本质 思想 是相应 方法 的精神实质 和本质概括 是理论根据 方法 是相应 思想 的技术实施 数学思想对数学方法起 着指导作用 在小学数学中 许多数学思想和方法往往是一致的 如转化思想和转化方法 假设思 想和假设方法等等 因此 我们不妨将数学思想和数学方法看成一个整体概念 对数学 知识内容和所使用方法的本质认识 是对数学规律的理性认识 数学思想方法是数学知识 在更高层次上的抽象 概括与提炼 二二 小学数学中体现的数学思想方法小学数学中体现的数学思想方法 1 集合思想 2 函数思想 3 数形结合思想 4 转化思想 5 分类思想 6 类比思想 7 归纳递推思想 8 代数思想 9 无限思想 10 优化思想 2 1 1 集合思想集合思想 集合作为现代数学的基本概念之一 它的思想和方法已经渗透到了现代数学的各个分 支之中 它是将具有某种特征的事物的全体作一整体来考虑的思想方法 渗透集合思想 培养整体观念 集合思想在小学数学教材中应用比比皆是 一般用直观的韦恩图即封闭圈 表示集合 封闭曲线圈起来看作一个整体 集合 1 集合概念的渗透 封闭圈表示整体 2 集合关系的渗透 子集等包含关系 3 集合运算的渗透 交集 并集 差集 2 2 函数思想函数思想 函数思想是一种重要的数学思想 它可以开拓学生的视野 培养学生运用发展变化的 观点来认识事物的内在联系 渗透函数思想 培养以变化的观点分析问题和解决问题的意识 函数思想使数学由低级向高级发展产生了飞跃 它使数学由常量数学进入变量数学 包含的数学知识和数学方法是极其丰富的 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系 因变量随着自变量的变化而变化 通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则 从而构建函数模型 对应就是函数 函数思想体现了运动变化的观点 函数为研究运动变化的数量之间的依存和对应关系和构建模型带来了方便 从而能够 解决比较复杂的问题 3 3 数形结合思想数形结合思想 数形结合思想是数学的基本思想方法 它能帮助我们用代数 算术 的方法研究图形 或者利用图形来解决代数 算术 问题 平面解析几何就是成功应用数形结合思想的典范 在小学教材里 经常把数量关系用图形来表示 让学生更直观 更深刻地理解数与形 的关系 数形结合是重要的数学思想方法之一 它 以形助数 以数解形 使抽象的问题直观 化 复杂的问题简单化 在小学阶段 数形结合思想方法的运用更多的体现在 以形助数 上 借助形的直观 显示数量之间的关系 达到解决问题的目的 4 4 转化思想转化思想 在小学数学里 经常将某一问题转化为另一问题 将某些已知条件或数量关系转化为 另外的条件或关系 化生为熟 化难为易 化繁为简 化高为低 化曲为直 这种数学思 想就是转化思想 解题就是把题转化为已经解过的题 苏联 雅诺夫斯卡娅 数学家罗莎在一本书中写道 假设在你面前有煤气灶 水龙头 水壶和火柴 现在 的任务是要烧水 你应该怎样去做 正确的回答是 在水壶中放上水 点燃煤气 再把水 壶放到煤气灶上 接着罗莎又提出第二个问题 假设所有的条件和原来的一样 只是 3 水壶中已经有了足够的水 这时你又应该怎样回答呢 一般人回答是 点燃煤气 再 把水壶放到煤气灶上 但是罗莎认为这样并不是最好的回答 而最好的回答是 把壶 中的水倒掉 把壶中的水倒掉 应该是最笨的方法 为什么反而是最好的回答呢 因为数学家这时可以声称 我已经把后一个问题转化成先前的问题了 尽管这个比喻有点夸张 但这正是数学家思维的方法 这种思维方法与一般的经验科 学家相比 往往是独特的 有效的 这个比喻生动的说明转化思想方法的精神实质 转化思想的实质转化思想的实质就是在已有的简单的 具体的 基本的知识的基础上 把未知化为已 知 把复杂化为简单 把一般化为特殊 把抽象化为具体 把非常规化为常规 从而解决 各种问题 因此 应用转化思想时要遵循以下几个基本原则应用转化思想时要遵循以下几个基本原则 1 数学化原则 即把生活中的问题转化为数学问题 建立数学模型 从而应用数 学知识找到解决问题的方法 2 熟悉化原则 即把陌生的问题转化为熟悉的问题 3 简单化原则 即把复杂的问题转化为简单的问题 4 直观化原则 即把抽象的问题转化为具体的问题 在小学数学里处处充满了转化 例如 平行四边形的面积公式是转化为长方形求得的 三角形的面积公式就是转化为 平行四边形求得的 再如 分数除法是转化为乘法来计算的 小数乘法转化为整数乘法 5 5 分类思想分类思想 按照事物的某一特征对事物进行分类 再一类一类的加以研究 这也是数学上常用的 思想方法 分类时 应当做到既不重复又不遗漏 人教版第一册 38 41 页就是分类的内容 人世间的事物是错综复杂的 要对这些错综复杂的事物进行判断和推理 一个有效的 方法是把这些事物按照某种准则进行分类 如果分类清楚了 那么就可以对于一个类的事 物给出判断的准则 我们都有这样的经验 在一个大范围内说不清楚的东西 在一个小的 具有某种共性的范围内就可能说清楚 史宁中 分类的关键是要抓住事物的本质特征 并且把本质特征变为分类的标准 使得在这个 标准下的分类能够达到预想的目标 分类讨论思想是培养学生有条理地思考问题的一种重要而有效的方法 自己选择某一个标准将全班同学分成两类 并与同学交流分类的标准和分类的结果 分类标准不同 分类结果不一样 可以按性别 体重 身高 学号 组号 特长 特征等等 6 6 类比思想类比思想 在解题时 如果我们发现要解决的问题与一个已知的问题相类似 我们就可以比照已 知问题的解决办法 试探能否用来解决现在的新问题 这就是类比的思想方法 类比是创造发明的重要思维方法 例如 人们从锯齿得到启发 类比创造了锯子 从 4 研究鱼的沉浮原因 发明了潜水艇 从蝙蝠会发出超生波引导飞行 又类比发明了雷达 从模拟人脑的结构和功能原理 改善了电子计算机 发展为电脑等等 这些用的都是类比 的思想方法 7 7 代数思想代数思想 用字母或符号代表数进行运算和推理 称为代数思想 用字母或符号表示数量关系 这不仅使计算简化 思维更加有条理 推理更加严密 科学 而且使算术应用题大大简化 解法更具有一般化 8 8 无限 程序 统计等思想无限 程序 统计等思想 小学数学教学中要渗透无限思想 使学生认识到 无限世界 的客观存在 有助于学 生辩证唯物主义观的形成和发展 首先通过数的认识使学生了解自然数的个数是无限的 1 2 3 是写不尽 数不完的 再如 2 的倍数也是无限的 在学完小数以后要建立起有限小数与无限小数的概念 圆周率是一个无限不循环小数 1 3 0 333 是一个无限循环小数 在几何初步知识教学时 通过直线 射线 平行线的无限伸展性的介绍 也可渗透 无限 思想 三三 教学中如何渗透教学中如何渗透 数学思想方法数学思想方法 1 1 备课钻研教材 挖掘数学思想备课钻研教材 挖掘数学思想 数学思想方法只能从相关的数学内容中体现出来 因此 教师首先必须深入钻研教材 努力挖掘教材中进行数学思想方法渗透的各种因素 并在教学目标里提出具体的教学要求 2 2 课堂实施教学 渗透数学思想课堂实施教学 渗透数学思想 数学思想方法的渗透 必须通过具体的教学过程加以实现 因此 必须把握好教学过 程进行数学思想方法的契机 概念形成的过程 结论推导的过程 方法思考的过程 规 律揭示的过程等 忽视或压缩这些过程 把数学教学当作知识结论的灌输 就必然丧失了 渗透数学思想方法的良机 渗透数学思想方法 是一个潜移默化的过程 要掌握好 渗透 的程度 3 3 复习总结阶段 提炼数学思想复习总结阶段 提炼数学思想 4 4 课外活动指导 深化数学思想课外活动指导 深化数学思想 系统而有步骤地渗透数学思想方法 尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的