试论学生创造性思维能力的培养二稿5.doc0000 (1)

论题 试论学生创造性思维能力的培养 姓名 邓小方 学号 9008204022 班级 08 数本 专业 数学与应用数学 指导老师 胡启宙 试论学生创造性思维能力的培养 摘要 摘要 所谓创造性思维 是一种具有开创意义的思维活动 是创造性的核心 它可分为直觉 发散 逆向思维 本文主要就这三个方面展开 为培养学生多角度 多侧面 多层次 多结构去看待问题 并通 过具体例题来阐述不同的思维角度在做题解题的实际应用 从而达到对学生思维能力的培养 关键词 关键词 创造性思维 直觉 发散 逆向 培养 1 引言 数学是研究数量 结构 变化以及空间模型等概念的一门学科 它是一门 古老的学科 随着数学的产生和发展 数学教育也就相继出现并不断得到发展 数学教育学的研究对象是数学教学 它是研究数学教学过程的一门科学 现代 教学论认为数学教学是数学活动 思维活动 的教学 而非数学活动的结果 数学知识 的教学 数学教学既是一门科学 又是一门艺术 既是一个信息 传递过程 又是一个复杂的控制过程 此外 数学教学还必须注意培养学生的 思维能力 必须考虑人们的认识规律和心理活动等特点 因为在如今社会需要 的不仅仅是人力资源 要使得经济 科技不断得到发展 更多的是需求人才资 源 即具有创造力的人 而教育就是为培养更多的人才而作准备的 其中数学 的作用是无法比拟的 为了满足现今社会的需求 培养创造性人才 离不开对 学生创造性思维能力的培养 那么如何在数学教学中培养学生的创造性思维能 力呢 2 创造性思维的内涵 所谓创造性思维 是一种具有开创意义的思维活动 即开拓人类认识新领 域 开创人类认识新成果的思维活动 它是以感知 记忆 思考 联想 理解 等能力为基础 以综合性 探索性和求新性特征的高级心理活动 是需要人们 付出艰苦的脑力劳动 一项创造性思维成果的取得 往往要经过长期的探索 刻苦的钻研 甚至多次的挫折之后才能取得 而创造性思维能力也要经过长期 的知识积累 素质磨砺才能具备 至于创造性思维的过程 则离不开繁多的推 理 想像 联想 直觉等思维活动 这种思维方式遇到问题时 能从多角度 多侧面 多层次 多结构去思考 去寻找答案 即不受现有知识的限制 也不 受传统方法的束缚 思维路线是开放性 扩散性的 它解决问题的方法不是单 一的 而是在多种方案 多种途径中去探索 去选择 创造性思维具有广阔性 深刻性 独特性 批判性 敏捷性和灵活性等特点 从形态划分 创造性思维可分为直觉思维 发散思维 逆向思维 培养学 生的创造性思维 不仅是数学教学的任务之一 而且是当前教育界关注的一个 重要课题 为此 在教学中应加强对学生的创造性思维能力的培养 本文旨在 通过对典型例题的解析 简要谈谈通过对直觉思维 发散思维以及逆向思维的 训练 来培养学生的创造性思维能力 3 培养创造性思维能力的途径 3 1 加强直觉思维训练 培养创造性思维 直觉思维是指思维对感性经验和已知知识进行思考时 未经逻辑推理而直 接领悟事物本质的一种思维方式 它作为数学思维的重要内容之一 经常与解 决数学疑难相联系 伴随数学创造性的出现 加强直觉思维能力训练是培养创 造性思维的核心 而灵感是一种直觉思维 在教学中 教师可以用数形结合 类比形式等方法诱导学生的数学直觉和灵感 促使学生越过逻辑推理而直接找 到解决问题的突破口 3 1 1 深入数形结合思想 诱发直觉思维 数学研究的对象是数量关系和空间形式 即 数 与 形 两个方面 把 抽象的数学语言与直观的图形有机结合起来 使抽象思维与形象思维和谐结合 化抽象为直观 化直观为精确 从而使问题得以简捷解决的方法叫数形结合 数形结合思想是高中数学解题的重要方法之一 它是一种可使复杂问题简单化 抽象问题具体化的常用数学思想方法 要想提高学生运用数形结合的能力 需 要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想 理解数形结合思想 运用 数形结合思想 并掌握数形结合思想 例 1 求函数的最大值 11363 2424 xxxxxxf 分析 函数结构复杂 无法用常规方法解 应设法将其具体化 由根式差 我们联想到两点间距离公式 问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平 方和的形式 通过拆凑发现 222222 1 3 2 xxxxxf 解 222222 1 3 2 xxxxxf 将问题转化为 求点到点与点距离之差 2 xxP 2 3 A 1 0 B 的最大值 进一步将其直观化 如图 2 图 6 由 的位置知直线必交抛物线于第二象限点 由三角形两ABAB 2 xy C 边之差小于第三边可知 位于时 才能取到最大值 且最大值就是PC xf 故AB10 max ABxf 评析 该题是一个最值求解问题 求解关键是找到 距离 这一突破口 然后将函数式变形 并语义为几何模型 画出相应的图象 依据变量等相关要 素的关系 最终找到答案 本题充分运用了数形结合的思想 形象直观的解决 问题 以利于直观思维的培养 例 2 已知复数满足条件 求的最大值和最小值 z134 izz 分析 从条件来分析位于以为圆心 1 为半径的一个圆的内部z 3 4 zM 包括边界 如图 5 从图象上可以看出 只要连接交圆于 由OMAB 几何性质可得 OB OA分别为最大最小值 解 如右图 可知 613 4 22 max MBOMOBz 413 4 22 min MAOMOAz 图 5 点评 刚接触该题 可能会有种无以下手的感觉 因为已知条件太过简短 象这类题目要善于发现它的突破口 该题关键也是找到几何原型 利用数形结 合特点 使得该问题迎刃而解 数形结合是一种非常直观的解题方法 重在这种思想的渗入 在教学中 教师应多讲解这类题型 由于它在解题极为方便 直观 易于接受 可引起学 生的兴趣 同时 还应让学生多加练习 巩固 掌握才能灵活运用 利于培养 直觉思维 当再次遇到这类题型时 由直觉即可引导利用数形结合解题 只有 熟练掌握之后 才能融会贯通 以利于发展创造性思维能力 3 1 2 依据类比解题 启迪直觉思维 类比法是提出新问题和作出新发现的一种重要方法 是扩大知识范围 获 得新知识的重要手段 它是从作比较的事物的类似关系中发现某个共同点 找 到启发点 从而解决问题的方法 天文学家开普勒 Kepler 曾经说过 我 珍惜类比胜于任何别的东西 它是最可信赖的老师 它他能揭示自然界的秘密 波利业也曾说过 类比是一个伟大的引路人 每当理智缺乏可靠的思路 时 类比这个方法往往能指引我们前进 例 3 设 都是正实数 且满足条件 rstxyz 1 rsttsr 2 2 2 1 1 21 r r xyx y y x 3 2 2 1 1 21 s s yzy z z y 4 2 2 1 1 21 t t zxz x x z 求的最小值 zyx 分析 这个问题条件很复杂 直接从给出条件求出的表达式是很zyx 困难的 因此我们可想到用类比法 从条件 1 结构形式容易联想到三角形内 角正切的恒等式CBACBAtantantantantantan 这个恒等式可作为条件 1 的类比对象 于是我们可令 Artan 因 都是正实数 故 A B C 都是锐角 而且Bstan Cttan rst A B C 180 度 由此我们又有 A r r 2cos 1 1 2 2 B s s 2cos 1 1 2 2 C t t 2cos 1 1 2 2 且 360222 CBA 于是条件 2 3 4 又可化为 5 12cos2 22 Axyyx 6 12cos2 22 Byzzy 7 12cos2 22 Cxzxz 从 5 6 7 的结构形式可以联想到平面几何中一个相似的问题 在 边长为 1 的正三角形中 求到三个顶点距离之和为最小的点及最小值 这个问 题的结论是 到边长为 1 的正三角形三个顶点距离的和为最小的点是它的重心 其最小值为 3 用这个问题与原问题类比 可令 分别表示边长为 1 的三角形内一xyz 点到三个顶点的距离 运用类比推理就得到 的最小值可能是 zyx 3 运用这种通过结构的相似找出类比对象的方法 就要善于把待解决的数学 问题的条件或结论进行适当的变形 使它与某些已知的公式或定理的结构相似 进行类比 它的关键是找出共同特征 从而使学生一下子进入了豁然开朗的境 界 康德说 每当理智缺乏可靠论证的思路时 类比这个方法往往能指引我 们前进 直觉是对数学对象本质的 整体的理解 它产生于得到正确的结论被证明 之前 是凭藉想象力 洞察力等非严格的逻辑功能去把握对象的 而直觉不是 自然而然得到的 它需要教师引导学生不断的尝试从所有可能的角度去了解所 学习的内容 千方百计的鼓励 诱发学生直觉猜想 提供适从直觉猜想的条件 和环境 继而培养创造性思维能力 3 2 加强发散思维训练 培养创造性思维 发散思维是一种开拓性 创造性的思维 加强发散思维的训练对创造性思 维的培养具有重要意义 发散性思维 就是从一个已知概念 规律 方法出发 产生另一种或多种想法的思维方式 它讲究多方向 多角度 多层次地考虑问 题 追求多样性解答 它是建立在思维的广阔性 灵活性 求异性的基础上 因而具有流畅 变通 独特的特点 加强发散思维能力的训练 是培养培养学生创造性思维的重要环节 根据 现代心理学的观点 一个人创造能力的大小 一般来说与他的发散思维能力是 成比例的 对于它的训练 方法是多种多样的 如就命题而言 可以是替换命 题的条件或结论 或予以特殊化 一般化等 而就解题而言 可采用一题多解 一题多变等方式 下列是就两种方式的实例简析 3 2 1 利用结论特殊化 培养发散性思维 如果一个一般性问题一时不易解决 不妨先考察它的一些特殊情形 通过 对特殊情形的研究 常可发现解决一般性问题的方向或方法 这种思考方法叫 做 特殊化方法 而有时将习题的结论特殊化 沟通它们的纵横联系 由一般 到特殊演绎推理 演变引申 有利于发散的多端思维的培养 例 4 初级中学 几何 第二册的第 6 题 中 162 PABC aBC 外接圆半径为 求证 bCA cAB RR C c B b A a 2 sinsinsin 分析 现将结论特殊化 R C c B b A a 2 sinsinsin 若是直角三角形 设 ABC 90C 由R C c B b A a 2 sinsinsin CBA c b B c a A c R 222 sinsinsin sin sin 2 说明了直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半 进而得出直角三 2 c R 角形的外心就是斜边的中心 为直角三角形时 便有 反过来是否成立 学ABC CBA 222 sinsinsin 生是不难得出肯定结论的 进而还可让学生将上述式子与CBA 222 sinsinsin 勾股定理的逆定理联系起来 从而对直角三角形边角关系有一个更深化的认识 例 5 高中 代数 第一册 甲种本 第 29 题的第 3 4 小题 其结论 218 P 为 2 sin 2 sin 2 sin4 sin sinsinsin 2 cos 2 cos 2 cos4 cos coscoscos 分析 在学生证明后 引导学生作下列特殊化 当时 前式变为 i 3 sin4sin33sin 后式变为 3 cos4cos33cos 当分别为的三内角时便有 ii ABC 2 cos 2 cos 2 cos4sinsinsin CBA CBA 这个式子是学生颇感兴趣的奇妙的式子 有着广泛的应用 这方面的例子在中学教材中屡见不鲜 通过对结论的特殊化 无论从数学 内容还是数学方法上来讲 都能达到固本拓新之效 它不仅使学生学会处理一 个问题 更能解决一大串问题的本领 达到举一反三 全面运用知识的目的 而且极大的满足了学生思维成功的喜悦 这对诱发学生兴趣 点燃其创造思维 的火花都大有裨益 3 2 2 一题多解 培养发散性思维 善于对同一个问题变换不同的观点去认识 是数学能力较强的表现 在数 学中 很多问题的解法不唯一 教师不要依据模板照本宣科 而否定学生的意 见以至扼杀他们的创造思想 并且教师在教学中 还应根据教材特点和学生的 实际选择一些多解法类型的习题 通过一题多解 训练学生由多渠道 多角度 求解同一个问题 不仅可以达到 殊途同归 的目的 而且可以发展学生的发 散思维 例 6 设是由正数组成的等比数列 是其前项和 n a n Sn 1 证明 1 2 lg 2 lglg n nn S SS 2 是否存在常数 使得成立 并0 C lg 2 lg lg 1 2 CS CSCS n nn 证明你的结论 分析 此题综合性极强 不仅考查了等比数列的前项和公式 还涉及到n 不等式的证明 对数函数的性质 对数运算法则等知识 第一问可直接用等值 变换法 不等值变换法 第二问存在性的证明也是难度很大的问题 可用直接 证法或反证法 证明 1 方法一 比较法 当时 1 q 1 naSn 0 1 2 2 1 2 1 2 11 2 12 aanannaSSS nnn 根据对数函数的单调性 有 2 12 nnn SSS 2 12 lg lg nnn SSS 即 12 lg2lglg nnn SSS 12 lg lg lg 2 1 nnn SSS 当时 1 q q qa S n n 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 212 1 2 22 12 12 n nnn nnn qa q qa q qqa SSS 同理可证 12 lg lg lg 2 1 nnn SSS 方法二 放缩法 依题意 首项 公比0 1 a0 q 放缩的依据之一 21 0 nnn SSS 利用代数变换 112 nnnn qSaqSSqS 1 2 12 nnnnn SSqSqaSqS 2 111111 2 112 nnnnnnnnnn qSSqSqSaqSSSqSqaSqS 易知 nn qSaS 11 2 12 nnn qSSqS 0 q 2 12 nnn SSS 同理可证 12 lg lg lg 2 1 nnn SSS 方法三 由已知有 公比 依等比数列的特性 有0 1 a0 q nn qSaS 11nn qSaS 11 又 nnn SaS 11 0 1 n a 而 nn SS 1 1111 2 12nnnnnnn qSaSqSaSSSS 11111 nnnnnn SqSSaSqSSa 0 11 nn SSa 2 12 nnn SSS 同理可证 12 lg lg lg 2 1 nnn SSS 方法四 利用前项和的定义 有n 后项比前项 公比 11 212 nnn nnn aSS aSS 0 1 2 1 12 q a a SS SS n n nn nn 又 nn qSaS 11 n n S aS q 11 放缩 0 1 a q S S n n 1 由 1 与 2 比较 有 n n nn nn S S SS SS 1 1 12 0 n S 0 1 nn SS 1112nnnnnn SSSSSS nnnnnnn SSSSSSS 1 2 112 2 12 nnn SSS 同理可证 12 lg lg lg 2 1 nnn SSS 2 证明 反证法 假设存在正常数 C 满足条件 则有 4 30 20 10 2 12 1 2 CSCSCS CS CS CS nnn n n n 由得 4 2 12 2 12 nnnnnn SSSCSSS 5 由 1 问知 0 2 12 nnn SSS 而 2 2 1212 CSCSCSSSS nnnnnn 2 2 12 CSCSCS nnn 0 2 2 1 2 1 CSCS nn 又 0 C 0 2 12 nnn SSSC 式两端的值矛盾 5 因此 假设错误 即不存在正常数 C 使得等式 对一切自然数都成立 lg 2 lg lg 1 2 CS CSCS n nn 点评 此题主要考查的是等比数列的知识 前一问采用了多种证法 灵活 的运用了等比数列相关公式 及和 之间的相互关系 从而达到 n S 1 n S 2 n S 利用比较法 放缩法等方法来证明不等式 而对于题二是关存在类问题 通常 的做法是 反证 找出矛盾 它的解法直观 便捷 具有很强的说服力 此题 重在对基础知识的掌握 及知识间的融会贯通 灵活运用 利用一题多解来培 养学生思维的灵活性 例 7 一个零件的形状如图 1 按规定 检 90 A 25 C 25 B 测已量得 就判断这个零件不合格 请应用三角形的有关知识说 150 BDC 明零件不合格的理由 图 1 分析 这是一道几何题 要判断是否合格 实质只要求出的度数 BDC 依据所给图形特征添加不同的辅助线 然后利用已知条件及三角形有关知识即 可求出 从而解决问题 BDC 解法一 如图 2 作射线 AE 由三角形外角的性质得 CCAECDE BBAEBDE 所以 BDECDEBDC BBAECCAE 图 2 140252590 不等于 说明零件不合格 150 点评 此解法是利用了三角形的外角与内角之间的相等关系进行推理得出 的 关键是添加辅助线 AE 将分成两个三角形的外角 之后两次利用BDC 外角与内角之间的相等关系 从而解决问题 解法二 如图 3 延长 CD 交 AB 于 E BDEBCDB ACDEB BACBDC 图 3 140252590 不等于 说明零件不合格 150 点评 解法二也是利用了三角形的外角与内角之间的相等关系进行推理得 出的 但与解法一又有区别 区别是辅助线 CE 将变成一个三角形的外BDC 角 又一次利用外角与内角之间的相等关系解决问题 解法三 如图 4 连结 CB 由三角形的内角和得 180 CBAAACB 从而 40 CBDDCB 由三角形的内角和得 图 4 180 CDBBCDDBC 那么的实际值是 不等于 说明零件不合格 BDC 140 150 点评 解法三利用三角形的内角和进行推理得出的 与前两种解法的区别 是辅助线 CB 将不规则的图形分成两个三角形 从而解决问题 此解法由内角与 外角的 之间的关系联系到三角形的内角和定理 这三种解法 充分说明了解题方法不是单一的 在数学教学中 要让学生 对同一数学问题从不同的角度去观察 去思考 去分析 以寻求不同的解决问 题的方法 从而达到学生在做题时善于发现及合理利用 以利于开阔思路 培 养发散性思维 以上通过寻求问题的多种解法 不但激发了学生的学习兴趣 也培养了学 生的创造性思维 使学生思维的灵活解法的过程中得到提升 总之 一题多解 是数学教学中常用的一种方法 是培养学生思维能力 分析问题与解决问题能 力的有效方法 只要教师在教学中善于引导 就可以激发学生强烈的学习欲望 和兴趣 加深学生对所学知识的深刻理解 提高学生的发散思维能力 3 3 贯彻逆向思维 培养创造性思维 数学教育的着重点应放在让每个学生的思维能力得到锻炼和发展 而逆向 思维是数学思维的一个重要方面 是创造性思维的一个重要组成部分 逆向思 维是指从常规思路的反方向去思考和分析问题的一种思维 教师在教学中应有 意识的对学生加强逆向思维训练 不仅有利于培养思维的灵活性 广阔性 深 刻性等品质 还有利于克服由定向思维所造成的解题方法的刻板与僵化 以及 不善于发现新方法 新思路等不足之处 3 3 1 加强定义 定理 公式 法则的逆用练习 在概念教学中 由于被下定义的概念 在外延上完全一致 即作为定义的 命题与逆命题是等价的 因此 我们在应用定义时 不仅可以运用其原命题 而且应注意研究或运用其逆命题 同时 由于众多的定理 公式 法则往往具有其逆定理 可逆公式 可逆 法则 这就为培养其逆向思维提供了丰富的有利条件 加强概念 定理 公式 法则的逆用练习 不仅可使学生从多角度地熟悉知识结构 多方面的掌握它们 的应用 而且对发展学生的逆向思维也是十分有益的 例如 可通过解答下列各题 加强逆用练习 填空 9 2 3 nn 若 则 3010 2 lg x x 将根号外的字母移入根号内 0 1 2 a a a 0 2 yyxy 将改写为三阶行列式 cb da k hb ga f hc gd e 已知两点 a 5 0 10 的距离为 17 求 a 的值 已知集合 并且 112 xxxA或 bxaxB 若 试求 的值 xxBA 2 31 xxBAab 3 3 3 培养逆向思维的意识与能力 一方面 由于学生习惯于正向思维 另一方面 由于逆向思维具有发散性 求异性 探索性 掌握上有一定难度 多数学生缺乏逆向思维的习惯与能力 因此 多结合实例 运用正向 逆向不同解法 让学生体会两种不同思维模式 激发运用逆向思维的意识 并逐步形成逆向思维的能力 当然 在解题中有时 并非无规律可寻 如顺证困难 可变为逆证 应用综合有困难 可改为应用分 析法 证明存在有困难 也可改证不存在或不可能等 即逆向推理和反面求解 总之 培养学生双向思维的良好习惯 可使问题简单化 甚至达到事半功倍的 效果 例 8 已知 6 名同学排成一排 其中一名不站在排头 也不站在排尾 问有 多少种排法 分析 试用正 逆两种思维解该题 让学生亲身体验逆向思维解题的妙用 正向解法是 头尾两位置让另 5 人去站 有 不站头尾那位同学在中间 4 位置中都可 2 5 P 站 有种 完成这两种排法 即符合题目条件的排法 有种排 4 4 P480 4 4 2 5 PP 法 逆向解法是 设有限制条件的排法有种 受限制者排头或排尾各有种方法 故符 6 6 P 5 5 P 合题意的排法有 4802 5 5 6 6 PP 例 9 160 个人站成一排 从 1 起报数 凡报奇数者都离队 留下的再次自 1 起报数 凡报奇数者又离队 这样反复下去 最后留下一个人 问这人第一 次报数为多少 分析 若按问题的顺向程序 划去被淘汰者经过若干轮后 虽然可求却太 烦 从而考虑从逆向出发 反推可思路清晰的将问题解决 解 按逆向程序思考 最后被留下者在倒数第一轮必报 2 在倒数第二轮 必报 4 在倒数第三轮必报 8 于是容易得出 倒推过去 此人报的是 16 32 64 128 即第一轮他报数为 128 此例说明 有些问题 从证明解答较繁 此时可引导学生从反面思考 寻 求解答 增强其逆向思维的意识 按照 正难则反 的思维策略 诱发逆向思 维的兴趣对学生是大有裨益的 在教学中利用逆向思维 引