锐角三角函数

锐角三角函数 锐角三角函数 1 目标导学 1 正弦三角函数概念及其应用 会用含有几个字母的符号组 sinA 表示正弦 2 知道当锐角固定时 它的对边 邻边与斜边的比值也是固 定的这一事实 预习 1 在直角三角形中 30 角所对的 边等于 的一半 2 勾股定理 a b c 展示 一 问题的引入 为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的 机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的 绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 为使 出水口的高度为 35m 那么需要准备多长的水管 归纳 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 35m 求 AB 根据 在直角三角形中 30 角所对的边等于 的一半 即 ABC AB 对对对 对对 2 在上面的问题中 如果使出水口的高度为 50m 那么需要 准备多长的水管 斜边c 对边a b C B A C B A C B A 结论 在上面求 AB 所需水管的长度 的过程中 虽然问题条件改变 了 但我们所用的定理是一样的 在一个直角三角形中 如果一个锐 角等于30 那么不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比 值都等于 也是说 只要山坡的坡度是 30 这个条件不变 那 么 与 的比值不变 3 既然直角三角形中 30 角的斜边与对边的比值不变 那 么其 他角度的对 边与斜边的比值是否也不会变呢 我们再换一个解试一试 如课本图 28 1 2 在 Rt ABC 中 C 90 A 45 A 对边与斜边的比值是 一个定值吗 如果是 是多少 归纳 在直角三角形中 当一个锐角等于 45 时 不管这个直角三角形的 大小如何 这个角的对边与斜边的比都等于 4 温馨提示 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的 大小如何 A 的 与 的比都是一个固定值 二 正弦函数概念 自学课本第78 页 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边 的比叫做 A 的 记作 sinA 即 sinA 斜边c 对边a b C B A 例 当 A 30 时 sinA sin30 当 A 45 时 sinA sin45 三 正弦函数的简单应用 例 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 求 sinA 和 sinB 的值 1 3 4C B A 2 13 5 C B A 随堂练习 做课本第 79 页练习 反馈 1 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如 何 A 的 与 的比都是一个固定值 2 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的 与 的比 叫做 A 的正弦 记作 3 做课本第 85 页习题 28 1 复习巩固第 1 题 第 2 题 只做与正 弦函数有关的部分 课时跟踪反馈作业 一 选择题 1 如图 1 已知点 P 的坐标是 a b 则 sin 等于 A B C a b b a 2222 ab D abab P a b y x O CB A C B A 1 2 3 2 2005 南京 如图 2 在 ABC 中 AC 3 BC 4 AB 5 则 sinB 的值 是 A B C D 3 4 4 3 3 5 4 5 3 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 sinB 等于 5 13 A B C D 12 13 13 12 5 12 5 13 4 2004 辽宁大连 在 Rt ABC 中 C 90 a 1 c 4 则 sinA 的值 是 A 151115 15434 BCD 5 如图 3 在 Rt ABC 中 C 90 AB 10 sinB BC 的长是 2 5 A 2 21 21 4 21 50 BCD 6 在 Rt ABC 中 C 90 BC 4 sinA 则 AB 的长为 2 3 A B 6 C 12 D 8 8 3 7 在 Rt ABC 中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 1 若 c 2 a 则 sinA sinB 3 2 若 a b 5 12 则 B 的正弦值是 8 在 Rt ABC 中 C 90 a 6 c 10 求 A 和 B 的正弦 余弦值 余弦 正切函数 2 目标导学 1 知道余弦 正切概念 2 知道当锐角固定时 它的对边 邻边与斜边的比值也是 固定的这一事实 的符号组 sinA 3 会进行余弦 正切概念的简单应用 预习 1 什么是锐角的正弦 2 sin30 sin45 3 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 sinB 等于 5 13 A B C D 12 13 13 12 5 12 5 13 展示 一 余弦 正切概念的引入 6 C B A 1 探究 在上一节课中我们知道 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 当锐角 A 确定时 A 的对边与斜边的比就随之确 定了 现在我们要问 其他边之间的比是否也确定 了呢 为什么 2 总结 类似于正弦的情况 当锐角 A 的大小确定时 A 的斜边与邻边 的比 A 的对边与邻边的比也分别是确定的 我们把 A 的邻边与斜 边的比叫做 A 的 记作 cosA 即 cosA 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切 记作 tanA 即 tanA 锐角 A 的正弦 余弦 正切都叫做 A 的 二 余弦正切概念的应用 例 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 6 sinA 求 3 5 cosA tanB 的值 随堂练习 课本第 81 页练习 1 2 3 题 A的邻边b A的对边a 斜边c C B A 总结 在直角三角形中 当锐角 A 的大小确定时 A 的 与斜 边的比叫做 A 的余弦 记作 把 A 的对边与 的 比叫做 A 的正切 记作 反馈 课本第 85 页习题 28 1 复习巩固第 1 题 第 2 题 只做与余弦 正切函数有关的部分 课时跟踪反馈作业 一 选择题 1 如图 1 两条宽度都为 1 的纸条 交叉重叠放在一起 且它们 的交角为 则它们重叠部分 图中阴影部分 的面积为 1 sin A 1 cos B sinC 1D D C B A D C B A C B A 1 2 3 4 2 如图 2 在四边形 ABCD 中 BAD BDC 90 且 AD 3 sin ABD sin DBC 则 AB BC CD 长分别为 3 5 12 13 A 4 12 13 B 4 13 12 C 5 12 13 D 5 13 12 3 如果 a 是锐角 且 cosa 那么 sin 90 a 的值等于 4 5 A 94316 255525 BCD 4 如图 3 菱形 ABCD 中 对角线 AC 6 BD 8 ABD a 则下列结论正确的是 A sina B cosa C tana D tana 4 5 3 5 4 3 3 4 5 如图 4 为测一河两岸相对两电线杆 A B 间的距离 在距 A 点 17 米的 C 处 AC AB 测得 ACB 50 则 A B 间的距离应为 A 17sin50 米 B 17cos50 米 C 17tan50 米 D 17cot50 米 6 在 ABC 中 C 90 且 AC BC CD AB 于 D DE AC 于E EF AB 于 F 若 CD 4 AB 10 则 EF AF 等于 A B C 1 2 5 2 52 5 55 D 二 填空题 7 直角三角形的斜边和一条直角边的比为 25 24 则其中最小角的 正切值是 8 在 Rt ABC 中 C 90 a b 4 且 S ABC 2 则 c 3 9 已知直角三角形中较长的直角边长为 30 这边所对角的余弦值为 8 17 则 此三角形的周长为 面积为 三 解答题 10 已知等腰三角形的一条腰长为 20cm 底边长为 30cm 求底角的正切 值 特殊角的三角函数值 3 目标导学 1 牢记 30 45 60 的正弦 余弦和正切的函数值 并 会由一个特殊角的三角函数值说出这个角 2 能够利用特殊值的三角函数解决一些有关计算和实际问 题 预习 1 一个直角三角形中 一个锐角正弦 余弦 正切值是怎么定 义的 展示 1 问题 两块三角尺中有几个不同的锐角 是多少度 分别 求出这几个锐角的正弦值 余弦值和正切值 求时可以设每个三 角尺较短的边长为 1 利用勾股定理和三角函数的定义可以求出 这些三角函数值 2 填一填特殊值的三角函数 30 45 60 的正弦值 余弦值和正切值如下表 30 45 60 sin cos tan 3 上表中数学变化的规律 对于正弦值 分母都是 分子 按角度增加分别为 与 对于余弦值 分母都是1 分子按角度增加分别为 与 对于正切 60 31 度的正切值为 当角度 3 递减时 分别将上一个正切值除以 即是下一个角的正切3 值 对于 sina 与 tana 角度越大函数值也越大 对于 cosa 角度 越大函数值越小 4 强调 sin60 2用 sin260 表示 即为 sin60 sin60 二 特殊角三角函数的应用 例 3 求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 2 tan45 cos45 sin45 例 4 1 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB BC 求 A 的度数 63 2 如图 2 已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 倍 求 a 3 温馨提示 当 A B 为锐角时 若 A B 则 sinA sinB cosA cosB tanA tanB 随堂练习 1 课本第 83 页练习第 1 2 题 2 课本第 85 页习题 28 1 复习巩固第 3 题 作业 1 已知 Rt ABC 中 C 90 cosA AB 15 则 AC 的长是 3 5 A 3 B 6 C 9 D 12 2 下列各式中不正确的是 A sin260 cos260 1 B sin30 cos30 1 C sin35 cos55 D tan45 sin45 3 计算 2sin30 2cos60 tan45 的结果是 A 2 B C D 132 4 已知 A 为锐角 且 cosA 那么 1 2 A 0 A 60 B 60 A 90 C 0 A 30 D 30 A60 时 cosa 的值 A 小于 B 大于 C 大于 D 大于 1 1 2 1 2 3 2 8 在 ABC 中 三边之比为 a b c 1 2 则 sinA tanA 等于 3 A 32 313 331 3 6222 BCD 9 已知梯形 ABCD 中 腰 BC 长为 2 梯形对角线 BD 垂直平分 AC 若梯形的高 是 则 CAB 等于 3 A 30 B 60 C 45 D 以上都不对 10 sin272 sin218 的值是 A 1 B 0 C D 1 2 3 2 11 若 tanA 3 2 2cosB 0 则 ABC 33 A 是直角三角形 B 是等边三角形 C 是含有 60 的任意三角形 D 是顶角为钝角的等腰三角形 D C B A 12 设 均为锐角 且 sin cos 0 则 13 已知 等腰 ABC 的腰长为 4 底为 30 则底边上的高为3 周长为 14 在 Rt ABC 中 C 90 已知 tanB 则 cosA 5 2 15 求下列各式的值 1 sin30 cos45 cos60 2 2sin60 2cos30 sin45 3 4 cos45 cos30 2cos60 2sin302 sin45 tan30tan60 16 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的高 B 30 C 45 BD 10 求 AC 17 如图 POQ 90 边长为 2cm 的正方形 ABCD 的顶点 B 在 OP 上 C 为 CQ 上 且 OBC 30 分别求点 A D 到 OP 的距离 30 Q P O D C B A 18 如图 自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD AB 3 米 BC 0 5 米 车厢底 部距离地面 1 2 米 卸货时 车厢倾斜的角度 60 问此时车厢的最高点 A 距 离地面是多少米 精确到 0 1m 解直角三角形 1 目标导学 1 知道什么叫解直角三角形 2 在解直角三角形中 能够灵活运用三角函数 预习 1 计算 cos30 tan30 tan45 cot30 sin60 2 如图 在 ABC 中 A 30 tanB AC 2 求 AB 的 3 2 3 长 展示 问题 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯 子与地面所成的角 a 一般要满足 50 a 75 现有一个长 6m 的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙 精确到 0 1m sin75 0 97 2 当梯子底端距离墙面 2 4m 时 梯子与地面所成的 a 等 于多少 精确到 1 这时人是否能够安全使用这个梯子 cos66 0 4 随堂练习 如下图 已知 A B 两点间的距离是 160 米 从 A 点看 B 点的仰角是 11 AC 长为 1 5 米 求 BD 的高及水平距离 CD sin11 0 1908 cos11 0 9819 温馨提示 利用三角函数解应用题时 首先要把问题的条件与结 论都转化为一个直角三角形内的边和角 然后再运用三角函数知识解 题 自学 根据直角三角形的 元素 至少有一个 边 求出 其它所有元素的过程 即解直角三角 形 反馈 1 课本第 96 页习题 28 2 复习巩固第 1 题 2 课本第 96 页习题 28 2 复习巩固 第 2 题 课时跟踪反馈作业 1 Rt ABC 中 若 sinA AB 10 那么 4 5 BC tanB 2 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 那么 sinA 3 2006 年中考题 在 ABC 中 C 90 sinA 则 3 5 cosA 的值是 A B C 3 5 4 5 916 2525 D 4 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的高 tanB cos DAC 1 求证 AC BD 2 若 sinC BC 12 求 AD 的长 12 13 DC B A c b aC B A 5 一只船向东航行 上午 9 时到达一座灯塔 P 的西南方向 60 海里的 M 处 上 午 11 时到达 N 处时发现此灯塔 P 在船的正北方向 求这只船的航行速度 6 如图 B C 是河岸边两点 A 是对岸边上一点 测得 ABC 45 ACB 60 BC 60 米 甲想从 A 点出发在最短的时间内到达 BC 边 若 他的速度为 5 米 分 请你设计他的路线及所用的时间 解直角三角形 2 目标导学 在解直角三角形中 能够灵活运用三角函数 预习 1 三角形有 个元素 分别是 条边和 个内角 2 根据直角三角形的 元素 至少有一个边 求出 其它所有元素的过程 即解直角三角形 3 解直角三角形时一般要用到下面的知识 1 三边之间的关系 a2 b2 勾股定理 2 两锐角之间的关系 A 90 3 边角之间的关系 c b aC B A sin A sinB A 对对对 对对 B 对对对 对对 cosA cosB A 对对对 对对 B 对对对 对对 tanA tanB A A 对对对 对对对 B 对对对 B对对对 展示 在如图的 Rt ABC 中 1 根据 A 75 斜边 AB 6 你能求出这个直角三角形的其他元素吗 2 根据 AC 2 4 斜边AB 6 你能求出这个直角三角形的 其他元素吗 例 1 如 图 在 Rt ABC 中 C 90 AC BC 解这个直角三26 角形 6 2 C B A 例 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 B 35 b 20 解这个直角三 角形 精确到 0 1 c b 20 a 35 C B A 3 应用实例 现在自学课本第 90 页本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的 问题 随堂练习 课本第 91 页练习 反馈 课本第 96 页习题 28 2 第 3 题 第 4 题 第 5 题 作业 1 Rt ABC 中 C 90 AB 10 sinB 则 BC 的长为 2 5 A 2 21 21 4 21 50 BCD 2 在 Rt ABC 中 C 90 a b 分别是 A B 的对边 如果 sinA sinB 2 3 那么 a b 等于 A 2 3 B 3 2 C 4 9 D 9 4 3 在 Rt ABC 中 C 90 则 sinA cosA 的值 A 大于 1 B 等于 1 C 小于 1 D 不能确定 4 直角三角形中两边的比是 1 2 则较短边所对的角的正弦值 是 A B C 或 D 或 1 2 5 5 1 2 5 5 3 2 5 5 5 ABC 中 C 90 AB 13 BC 5 tanB 的值是 A 5131212 135135 BCD 6 在 Rt ABC 中 CD 为斜边 AB 上的高 已知 AD 8 BD 4 那么 tanA 等于 A B C 2 2 2 3 22 48 D 7 在 ABC 中 C 90 且 cosA B 平分线的长为 26 则 3 2 a b c 8 在 Rt ABC 中 C 90 AB 5 sinA 则 BC 3 5 9 AD 为 Rt ABC 斜边 BC 上的高 已知 AB 5cm BD 3cm 那么 BC cm 10 已知 Rt ABC 中 C 90 sinA 求 cosB 及 tanB 的值 3 2 11 已知 Rt ABC 中 C 90 b 2 A 的平分线5 AD 解这个直角三角形 4 3 15 解直角三角形 3 目标导学 求不可到达的两点间距离 预习 1 从地面上的 C D 两处望正西方向山顶 A 仰角分别为 30 和 45 C D 两处相距 200m 那么山高 AB 为 A 100 1 m B 100m C 100m 332 D 200m 展示 例 3 2003 年 10 月 15 日 神舟 5 号载人航天飞船发射成功 当 飞船完成变轨后 就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行 如图 当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时 从飞船上能直接看到 的地球上最远的点在什么位置 这样的最远点与 P 点的距离是多 少 地球半径约为 6400km 结果精确到 0 1km cos18 0 95 例 4 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶的仰角为 30 看这栋高楼底部的俯角为 60 热气球与高楼的水平距离 为 120m 问这栋高栋有多高 结果精确到 0 1m Q O F P 东 北 45 M BA 随堂练习 课本 93 页练习第 1 题 第 2 题 反馈 课本第 97 页习题 28 2 第 6 题 第 7 题 第 8 题 作业 1 某人沿倾斜角为 的斜坡前进 100m 则上升的最大高度是 A m 100100 100sin sincos mBmC D 100cos m 2 已知A B 两点 若点 A 对点 B 的仰角为 那么 B 对 A 的俯角是 A B 90 C 2 D 180 3 上午9 时 一条船从 A 处出发 以每小时 40 海里的速度向正东方向航 行 9 时30 分到达 B 处 如图 从 A B 两处分别测得小岛 M 在北偏东 45 和北偏东 15 方向 那么 B 处船与小岛 M 的距离为 A 20 海里 B 20海2 里 C 15 海里 D 20海里33 65 13 45 B A D C 4 将cosB sinB 改写成下列式子 其中写错的是 1 2 3 2 A sin30 cosB cos30 sinB B sin30 cosB sin60 sinB C cos60 cosB sin60 sinB D cos60 cosB sin30 sinB 5 如图 为测河两岸相对两抽水泵 A B 的距离 在距 B 点 30m 的 C 处 BC BA 测得 BCA 55 则 A B 间的距离为 A 30tan55 m B m C 30sin55 m 30 tan55 D 30cos55 m 6 已知 是锐角 2sin 10 则 的度数是 3 A 20 B 30 C 50 D 60 7 某人沿着坡度为 1 的山坡向上走 50m 这时他离水平地面 m 3 8 在倾斜角为 30 的斜坡上植树 若要求两棵树的水平距离为 6m 则斜坡上 相邻两树的坡面距离为 m 9 一船上午 9 点位于灯塔 A 的东北方向 在与灯塔 A 相距 64 海里的 B 港出发 向正西航行 到 10 时 30 分时恰好在灯塔的正北的 C 处 则此船的速度为 10 用科学计算器或数学用表求 如图 有甲 乙两楼 甲楼高 AD 是 23 米 现在想测量乙楼 CB 的高度 某人在甲楼的楼底 A 和楼顶 D 分别测得乙楼的 楼顶 B 的仰角为 65 13 和 45 利用这些数据可求得乙楼的高度为 米 结果精确到 0 01 米 注 用数学用表求解时 可参照下面正切表的相关部分 A 0 6 12 18 1 2 3 65 2 1452 1542 1642 174 235 11 如图 B C 是河岸边两点 A 是对岸边一点 测得 ABC 45 ACB 45 BC 60 米 则点 A 到岸边 BC 的距离是 第 11 题 第 12 题 第 13 题 12 如图 某同学用一个有 60 角的直角三角板估测学生旗杆 AB 的高度 他将 60 角的直角边水平放在 1 5 米高的支架 CD 上 三角板的斜边与 旗杆的顶点在同一直线上 他又量得 D B 两点的距离为 5 米 则旗杆 AB 的高度约为 米 精确到 1 米 取 1 73 3 13 小明想测量电线杆 AB 的高度 发现电线杆的影子恰好落在上坡 的坡面 CD 和地面 BC 上 量得 CD 4 米 BC 10 米 CD 与地面成 30 角 且 此时测得 1 米杆的影长为 2 米 则电线杆的高度约为 米 三 解答题 14 如图 在甲建筑物上从 A 点到 E 点挂一长为 30m 的宣传条幅 在 乙建筑物的顶部 D 点测得条幅顶端 A 的仰角为 45 测得条幅底端 E 点的 俯角为 30 求底部不能直接到达的甲 乙两建筑物之间的水平距离BC 答案可带根号 28 2 解直角三角形 4 目标导学 会应用解直角三角形知识解决测量中的方位角与方向角 问题 预习 1 方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90 的角叫 做方向角 2 方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角 叫做方位角 展示 1 用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 1 审题 按题意画出正确的平面或截面示意图 并通过图形弄 清已知和未知 2 将已知条件转化为示意图中的边 角或它们之间的关系 把 实际问题转化为解直角三角形的问题 如果没有现成是直角三角形 可供使用 可通过作辅助线产生直角三角形 再把条件和问题转化 到这个直角三角形 3 根据直角三角形 或通过作垂线构造直角三角形 元素 边 角 之间关系解有关的直角三角形 2 例题 如图所示 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向 距 离灯塔 80 海里的 A 处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于 灯塔 P 的南偏东 34 方向上的 B 处 这时 海轮所在的 B 处距离 灯塔 P 有多远 精确到 0 01 海里 cos25 0 91 sin34 0 559 3 自学课本 94 页 随堂练习 1 课本第 95 页练习第 1 题 第 2 题 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角 三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 反馈 课本第 97 页习题 28 2 拓广探索第 9 题 第 10 题 课时跟踪反馈作业 1 如图 轮船航行到 C 处时 观测到小岛 B 的方向是北偏西 35 那么同 时从 B 观测到轮船的方向是 A 南偏西 35 B 东偏西 35 C 南偏东 55 D 南偏东 35 东 北 B C 第 1 题 第 5 题 第 8 题 2 身高相同的三个小朋友甲 乙 丙放风筝 他们放出的线长分别是 300m 250m 200m 线与地面所成的角分别为 30 45 60 假设风筝线 是拉直的 则三人所放风筝 A 甲的最高 B 乙的最低 C 丙的最低 D 乙的最高 3 一日上午 8 时到 12 时 若太阳光线与地面所成角由 30 增大到 45 一棵树的高为 10m 则树在地面上影长 h 的范围是 A 5 h 10 B 10 h 10 C 10 h10333 4 ABC 中 AB 6 AC 3 则 B 最大值是 A 30 B 45 C 60 D 无法确定 5 如图 水库大坝横断面为梯形 坝顶宽 6m 坝高 2m 斜坡 AB 的坡角为 45 斜坡 CD 的坡度 i 1 2 则坝