单因素方差分析的计算步骤

一 单因素方差分析的计算步骤 假定实验或观察中只有一个因素 因子 且有个水平 分别记为在AAm 21m AAA 每一种水平下 做次实验 在每一次试验后可得一实验值 记做表示在第 j 个水平下n ij x 的第 i 个试验值 结果如下表 3 1 mjni 2 1 2 1 表 3 1 单因素方差分析数据结构表 水平观测值 1 A 2 A m A 1 11 x 12 x m x1 2 22 x 22 x m x2 n 1n x 2n x nm x 为了考察因素对实验结果是否有显著性影响 我们把因素的个水平看AAm m AAA 21 成是个正态总体 而看成是取自第总体的第 个样品 m mjnixij 2 1 2 1 ji 因此 可设 mjniaNx jij 2 1 2 1 2 可以认为是因素的第个水平所引起的差异 因此检验因素 jjj a Aj j A 的各水平之间是否有显著的差异 就相当于检验 A 或者 m aaaH 210 0 210 m H 具体的分析检验步骤是 一 计算水平均值 令表示第种水平的样本均值 j xj j n i ij j n x x j 1 式中 是第种水平下的第 个观察值 表示第种水平的观察值次数 ij xji j nj 二 计算离差平方和 在单因素方差分析中 离差平方和有三个 它们分别是总离差平方和 组内离差平 方和以及组间平方和 首先 总离差平方和 用代表 则 SST 2 xxSST ij 其中它反映了离差平方和的总体情况 n x x ij 其次 组内离差平方和 用表示 其计算公式为 SSE ji jij xxSSE 2 其中反映的是水平内部或组内观察值的离散状况 即反映了随机因素带来的影响 j x 最后 组间平方和 用表示 的计算公式为 SSASSA 22 xxnxxSSA jjj 用各组均值减去总均值的离差的平方 乘以各组观察值个数 然后加总 即得到 可以看出 它所表现的是组间差异 其中既包括随机因素 也包括系统因素 SSA 根据证明 之间存在着一定的联系 这种联系表现在 SSASSESST SSASSESST 因为 22 xxxxxx jjijij xxxxxxxx jjijjjij 2 2 2 在各组同为正态分布 等方差的条件下 等式右边最后一项为零 故有 222 xxxxxx jjijij 即 SSASSESST 三 计算平均平方 用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方 对来说 其自由度为 SST1 n 因为它只有一个约束条件 即 对来说 其自由度是 0 xxijSSA1 m 这里表示水平的个数 反映的是组间的差异 它也有一个约束条件 即要求 mSSA 0 xxn jj 对来说 其自由度为 因为对每一种水平而言 其观察值个数为 该水SSEmn j n 平下的自由度为 总共有个水平 因此拥有自由度的个数为 1 j nmmnnm j 1 与离差平方和一样 之间的自由度也存在着关系 即SSESSASST 1 1mnmn 这样对 其平均平方为 SSAMSA 1 m SSA MSA 对于 平均平方为 SSEMSE mn SSE MSE 四 方差分析表 由 F 分布知 F 值的计算公式为 MSE MSA F 组内方差 组间方差 为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚 通常把有关计算结果列成方差分析表如 下表 3 2 表 3 2 方差分析表 方差来源离差平方和 SS 自由度 df 平均平方 MS 值F 组间 组内 总差异 SSA SSE SST 1 m mn 1 n MSA MSE MSEMSA 五 作出统计判断 对于给定的显著性水平 由分布表查出