第三章-多自由度系统振动6.19

第三章第三章 多自由度系统振动多自由度系统振动 多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的 单自由度系统受初 始扰动后 按系统的固有频率作简谐振动 多自由度系统有多个固有频率 当 系统按某一个固有频率作自由振动时 各独立坐标在振动过程中相互关系是固 定的 这个关系叫振幅比 也叫作主振型或模态主振型或模态 主振型是多自由度系统以及 弹性体振动的重要特征 多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组 这些方程一般是耦合的 多自由度振动的求解有两种方法 直接积分法和振型叠加法 直接积分法可直 接根据微分方程求出响应 涉及的概念不多且有应用软件 本章不做介绍 振 形叠加法要先求出系统的固有频率和振型 在此基础用叠加法求响应 物理概 念清楚 并且是模态分析与参数识别的理论基础 因此本章将先用较多的篇幅 介绍多自由度系统的固有振动特性 振型叠加法和传递函数 3 1 振动微分方程振动微分方程 虽然一些多自由度系统数目较多 有些相当复杂 但建立多自由度系统振 动微分方程并没有新理论和方法 都是动力学基本理论和方法 本节只通过例 题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式 例一例一 试建立图 3 1 所示 3 自由度系统的运动微分方程 三个质量只作水平方 向的运动 并分别受到激振力 和的作用 质量块的质量分别为 tP 1 tP2 tP3 和 弹簧刚度分别为 和 阻尼分别为 和 1 m 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 4 k 1 c 2 c 3 c 4 c 图 3 1 3 自由度系统 1 tP 3 m 2 tP 1 m 2 m 3 tP 1 k 1 c 2 c 3 c 2 k 3 k 4 k 4 c 解解 分别用三个独立坐标 和描述三个质量块的运动 坐标原点分别取 1 x 2 x 3 x 在 和的静平衡位置 质量块的速度分别为 和 加速度分别 1 m 2 m 3 m 1 x 2 x 3 x 为 和 每个质量块的受力图如 3 2 a b c 所示 则由受力图根据 1 x 2 x 3 x 牛顿第二定律 得系统的运动方程为 图 3 2 a 图 3 2 b 图 3 2 c 1212112121111 tPxxcxcxxkxkxm 232321232321222 tPxxcxxcxxkxxkxm 3343233432333 tPxcxxcxkxxkxm 或 1221212212111 tPxkxkkxcxccxm 23323212332321222 tPxkxkkxkxcxccxcxm 3343233432333 tPxkkxkxccxcxm 上述方程组可以用矩阵表示为 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 433 3322 221 3 2 1 433 3322 221 3 2 1 3 2 1 tP tP tP x x x kkk kkkk kkk x x x ccc cccc ccc x x x m m m 三个二阶微分方程是耦合的 这是因为矩阵中有非零的非对角元素 若质 量 刚度和阻尼矩阵都是对角矩阵 则三个微分方程是独立的 相当于三个独 1 tP 1 x 11x c 11x k 212 xxc 212 xxk x m 1 2 tP 2 x 323 xxc 323 xxk xm 2 212 xxk 3 tP 34x c 34x k xm 3 3 x 323 xxc 323 xxk 1 m 3 m 2 m 212 xxc 立的单自由度系统 其求解变为三个单自由度系统求解 质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合 刚度矩阵中出现耦合项称为弹性耦 合 此例中没有惯性耦合 因为质量矩是对角的 但一般情况下质量矩阵并不 是对角的 所以一般情况下多自由度系统既有弹性耦合 也有惯性耦合 下面 我们通过一个例子来说明质量矩阵不是对角的情况 例二例二 写出图 3 3 所示系统振动微分方程 系统中均质刚性杆 AB 的质量为 m 转动惯量为 前后两端分别用刚度 c J 为和的两个弹簧由承于地面上 杆全为长 1 k 2 kl 图 3 3 若用杆两端的竖向位移 来描述刚杆的运动状态 则受力图如图 3 4 1 x 2 x 所示 图 3 4 显然 质心处的加速度为 根据牛顿第二定律 在竖直方向有 2 21 xx 2211 21 2 xkxk xx m 杆的转动加速度为 顺时针为正 对 C 点应用动力矩定理 l xx 21 1 x 2 x AB A B C 11x k 22x k 22 112221 lxklxk l xx JC 整理并写成矩阵形式有 0 0 22 22 22 2 1 21 21 2 1 x x lklk kk x x lJlJ mm CC 质量矩阵并不是对角的 当然 此例中若选质心的平动及绕质心的转动来 描述运动 质量矩阵将是对角的 一般地 对 n 自由度系统 振动微分方程为 4 3 2 1 4 3 2 1 21 22221 11211 4 3 2 1 21 22221 11211 4 3 2 1 21 22221 11211 F F F F x x x x kkk kkk kkk x x x x ccc ccc ccc x x x x mmm mmm mmm nnnn n n nnnn n n nnnn n n 写成矩阵形式有 3 1 FxKxCx M 根据分析力学 具有定常约束的系统的动能 T 与势能 U 可写为下列二次型 3 2 xMxT T 2 1 xKxU T 2 1 对于稳定平衡的振动系统 系统的动能 T 总是大于零的 除非系统是静止的 所以质量矩阵一般是正定的 同样 系统的势能 U 也总大于零 所以刚度矩阵 也是正定的 此外 系统的动能和势能不会因为表达形式不同而改变 对式 3 2 转 置 比较可知 刚度矩阵和质量矩阵必须是对称矩阵 因而有 3 3 KK T MM T 3 2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 一 固有频率和振形 本节主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和 振型 它们是多自由振动系统的重要特征 在无阻尼情况下 系统的自由振动微分方程可以表达为 3 4 0M xK x 在单自由度系统中 我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数 不 失一般性 对于多自由度系统振动解可设为 3 5 ti eAx 列向量和 均为待定复常数 若系统是振动的 则解必为实数 将 A 式 3 5 代入 3 4 得到下列代数齐次方程组 3 6 0 2 AMK 上面的方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零 即 A 3 7 0 2 MK 式 3 7 为系统的特征方程 具体写出为 3 8 222 1111121211 222 2121222222 222 1122 nn nn nnnnnnnn kmkmkm kmkmkm kmkmkm 0 上式左端的行列式展开后是关于的 n 次代数多项式 2 3 9 22 1 2 2 2 121 0 nnn nn bbbb 称为特征多项式 由式 3 8 或 3 9 可解出 n 个称为特征值或特征根 2 将其按升序排列为 222 12n 0 显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数 这 n 个特征值在大多数 情况下互不相等且不为零 重根的零根说明系统有刚体运动 有零根和情况本 书不再讨论 有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍 在求得特征值后 把某一个代回式 3 6 可求对应的列向量 由 2 j j A 于式 3 6 的系数矩阵不满秩 在没有重根和零根情况下只有 n 1 个是独立的 故只能求出列向量中各元素 的比例关系 j A j a1 j a2 j a3 nj a 我们去掉其中不独立的某一式 例如最后一式 并将剩下的 n 1 个方程式中 某一相同的项 如项 移到等式右边 可得代数方程组 n A 2222 11111121221 11 11 11 2222 21211222222 12 11 22 222 1 11 111 21 221 11 1 jjjjnjnnjnjnnj jjjjnjnnjnjnnj nnjnjnjnnjnnn kmakmakmakma kmakmakmakma kmakmakma 2 1 1 1 jnnjnnnj kma 3 10 解上面的方程 可得到用表达的解 显然都与的值成 nj a 1j a j a2 jn a 1 nj a 比例 我们可将这些比例常数用表示 并补充 可得列向 121 jjnj 1 nj 量 则有 12 T jjjnj 3 11 Aj njj A 列向量是确定的常数 反映列向量中各数的比例关系 叫作特征 j j A 向量 同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系 所以应用时常根据需 要来放大或减小特征向量 不失一般性 我们可在式 3 11 中用待定复常数 取代 式 3 11 可写为 j r nj A 3 12 Aj jj r 这样 当成比例变化时 有相应的变化 对应不同的特征值 可得到 j j r 不同的特征向量 对应于 n 个特征值可得 n 个特征向量 且 2 j 1 2 n 每一个特征向量都满足式 3 6 对于一个振动系统 特征值就是系统的固有频率 特征值相对应的特征向 量就是系统的振形 显然 对应于 n 个固有频率可得 n 个振 j 形 我们将在后面论述 1 2 n 二 无阻尼自由振动的解 显然 将及代入式 3 5 可得 n 组满足方程 3 4 的解 将这些解 j j A 相加 可得多自由度系统自由振动的一般解为 3 13 n j ti jj j ex 1 r 其中 2n 个待定常数由系统运动的初始位移和初始速度确定 jjj ibar 如果系统在某一特殊的初始条件下 使得待定常数中只有 0 则式 3 13 所 k r 表示的系统运动方程只保留第 k 项 3 14 ti kk k ex r 参见前一章 多自由度系统振动一般解的方程可表达为 3 15 sin sin sin 22 11 kknkkn kkkk kkkk trx trx trx 这时整个系统按圆频率 振幅比作同步简谐运动 振幅分别为 k k 振幅之间都保持固定不变的比值 因此特征向量完全确定 kk r k k 了系统按固有频率振动时的形态 所以特征向量就是按相应固有频率 k k 振动时的振型向量 对应的特征向量称为它的第阶主振型或主模态 k k k 相应的振动叫主振动 在振动过程中 一般还会产生其它阶主振动 对于一个 n 自由度系统 一般可以找到 n 个固有频率 以及相应的 n 个主 振型 我们把各阶主振型组成的矩阵叫做振型矩阵 3 16 n 21 例三例三 在图 3 5 所示的三自度系统中 设 kkk3 41 kkk 32 求系统的固有频率 振型 mmm2 31 mm 2 1 m 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 4 k 1 x 2 x 3 x 图 3 5 解 分别用 3 个独立坐标 和描述三个质量块的水平运动 可写出系统 1 x 2 x 3 x 的质量矩阵 和刚度矩阵 1 m m m 200 00 002 M kk kkk kk 40 2 04 K 系统自由振动微分方程为 2 3 2 1 200 00 002 x x x m m m 0 40 2 04 3 2 1 x x x kk kkk kk 令 代入上式整理可得特征值方程为 ti eAx 3 2 2 2 420 20 042 kmk kkmk kkm 展开整理后 有 4 222 2 3 0kmkmkm 可求得的三个根为 2 222 123 23 kkk mmm 所以系统的固有频率分别为 m k 1 srad m k2 2 srad m k3 3 srad 不妨设所对应的列向量为 且 j j A j A 31 21 11 a a a 那么解特征向量的代数方程为 0 24 21 2 jj kaamk 0 2 32 2 1 jjj kaamkka 0 24 3 2 2 jj amkka 将 代人 上 式中二式有 且 对应的列向量为 2 1 mk 2 1 1 A 31 21 11 a a a 02 1211 aa 0 131211 aaa 解得 2 2 12 13 12 11 a a a a 1 2 1 12 T 1 aA 一阶振型 见图 3 6 a T 1 2 1 1 同理 将 代人 上 式中第式有 2 2 mk 2 0 22 a 0 2321 aa 解得 0 222321 aaa 1 0 1 212 aA T 二阶振型 见图 3 6 b T 1 0 1 2 将 代人 上 式中二式有 2 3 mk 3 02 3231 aa 0 333231 aaa 解得 3132 2aa 3133 aa 1 2 1 31 T 3 aA 三阶振型 见图 3 6 c T 1 2 1 3 其各阶阵形如图所示 图 3 6 a 图 3 6 b 图 3 6 c 3 3 振型的正交性振型的正交性 在前面我们分析了无阻尼系统自由振动的一般性质 指出一个 n 自由度的 系统具有 n 个固有频率及 n 个主振型 j 1 2 n 本节主要讨论主振型 j j 之间关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性 设 分别是相应于固有频率 的主振型 由式 3 6 有 i j i j 3 17 2 iii 1 2 1 1 2 1 1 二阶振型 三阶振型 一阶振型 1 同理可得 3 18 2 jjj K 将式 3 17 和式 3 18 分别左乘和得 T j T i 3 19 2 ii T ji T j 3 20 2 jj T ij T i 将式 3 19 转置 考虑到质量和刚度矩阵的对称性有 3 21 2 ij T ij T i 将式 3 21 减去式 3 20 得 3 22 0 2 j 2 i j T i 当 不等于时 若无重根 则有 ij0 2 j 2 i i j 3 23 0 j T i 将式 3 23 回代到式 3 20 得到 i j 3 24 0 j T i 上两式 3 23 式 3 24 表示固有频率不相等的两个振型之间 存在着对质 量矩阵和和刚度矩阵的正交性 当 i 等于 j 时 可记为 3 25 ii T i 3 26 ii T i 和分别叫作第 阶振动的主质量和主刚度 都是正实数 显然 i i i 3 27 i i 2 i 推广到整个振型矩阵有 T T 3 28 其中为对角阵 称为主质量矩阵 即 3 29 4 3 2 1 000 000 000 000 M M M M 也是对角阵 称为主刚度矩阵 即 3 30 4 3 2 1 000 000 000 000 K K K K 在近似计算或实验分析时 给出相应的振型函数后 就可得到系统固有频 率的近似值 其精度与振型函数的选取有关 如果主质量为 1 则主刚度就是固有频率的平方 式 3 27 使表达式更简 洁 使主质量等于 1 的振型叫正则振型 由于主振型列阵只表示系统作主振动 时各幅值的比例关系 同除主质量平方根并不影响这个比例关系 各主振型正 则化的过程就是求出主振型后 再求出主质量 然后将主振型除以主质量的平 方根 若记为正则振型 要使主质量为 1 只需令 显然 振形正 i i i i 则化后的主质量矩阵是单位矩阵 例四 求例三所示系统的主刚度矩阵 主质量矩阵 正则振型矩阵以及振形 正则化后的主刚度矩阵 主质量矩阵 解 例三中已得出质量矩阵 刚度矩阵和各阶振型 振形矩阵为 111 202 111 从而主质量矩阵 1212m00111200 1010m02024010 121002111002 T MMm m 主刚度矩阵 12140111100 1012k2028010 12104111003 T kk Kkkk kk 由可得各正则振型列阵如下 i i i 1 11 12 22 84 11 mm 2 1 1 0 2 1 m 3 11 12 22 84 11 mm 于是得正则振型矩阵 121 2 202 4 121 m 主刚度矩阵 121 40121 22 2022202 44 12104 121 100 020 003 T K kk kkk mm kk k m 3 4 振型的叠加法振型的叠加法 在无阻尼自由振动中 我们得到 3 31 n j ti jj j ex 1 r 从式中看出 每一个独立坐标的振动量是各阶振型的叠加 这启发我们用 各阶主振动来描述系统的振动 这种方法叫振型叠加法 振型叠加法求解多自 由度系统就是将按独立坐标振动的问题转变为按主振型振动的问题 用独立坐标 来描述多自由度系统的一般振动微分方程为 j xnj 3 2 1 3 32 FxKxCxM T n FFF 1 在求得系统主振型后 设描述各阶主振型的振动量的独立坐标为 tqj 则各独立坐标的振动是各主阶振动量的叠加 可设 3 2 1 nj 3 33 qtqx n j j j 1 为按第主振型振动的坐标 叫作主坐标主坐标 在数学上 这相当于做了 tqjj 一个变换 经过这个变换后 相应的初始条件为 3 34 0 0 qx 3 35 0 0 qx 将其式 3 33 代入式 3 32 并前乘振型矩阵的转置得 T 3 36 FqkqCqM TTTT 将式 3 25 3 26 代入上式 3 31 并记 3 37a FF T 3 37b CC T 可得 3 38 FqKqCqM 虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵 矩阵一般并非对角阵 M K C 所以式 3 38 是一组通过速度项相互耦合的微分方程 如果也是一个对角矩 C 阵 则式 3 38 是不耦合的 是 n 个独立的二阶微分方程 相当于 n 个单自由度 系统 使求解大为简化 当阻尼较小 略去的非对角线元素组成的各阻尼项 即令的非对角 C C 线元素的值为零可使方程解耦 另外一种方法是假设阻尼矩阵是质量矩阵 C 和刚度矩阵的线性组合的情况 使阻尼矩阵对角化 M K C 即 3 39 KMC 解耦后式 3 38 为 3 40 jjjJjj FqKqCqM 3 2 1 nj 转化为 n 个单自由度系统 可根据初始条件求解 得 j q 3 2 1 nj 最后 将方程代入坐标变换式 3 33 即可得到广义坐标下的响应 即 j q 3 41 1 n jj j xqt 3 2 1 nj 对于大阻尼情况 引入复模态理论可使方程解耦 本书不做讨论 例五例五 用振型叠加法求解上例题 例三 初始速度及初始位移为 下系统的响应 TT xx000 022 解 由上例可知 无阻尼自由振动微分方程为 1 0 xkxm 振型函数为 2 111 202 111 主质量矩阵 200 010 002 4 111 202 111 200 00 002 121 101 121 m m m m MM T 3 主刚度矩阵 4 将代入 1 并左乘可知 tqx T 5 0 300 010 001 8 200 010 002 4 3 2 1 3 2 1 q q q k q q q m 展开得到 6 11 22 33 880 480 8240 mqkq mqkq mqkq 解 6 式得到 tAtAq 12111 sincos tBtBq 22212 sincos 7 tCtCq 32313 sincos 其中 m k m k m k3 2 321 根据初始条件 由 0 0 qx TT xx000 022 可知 主坐标就满足的初始条件 tqx xtq 1 xtq 1 对振形矩阵求逆得 1 111 1 202 4 111 300 010 001 8 111 202 111 40 2 04 121 101 121 k kk kkk kk KK T 从而 1 211121 1 0 220221 4 011100 q 1 011100 1 0 020200 4 011100 q 对 式进行求导得到 tAtAq 1211111 sinsin 将初始条件 代入式 和 得到待定系数的解 0 1 11 qq 21 AA和 01 21 AA 同理 得到 01 21 BB 01 21 CC 代入式 得到 3 3 cos k qt m 2 2 cos k qt m 1 cos k qt m 代入中 得到 tqx 1123 213 3123 111coscoscoscos 202cos2cos2cos 111coscoscoscos tttt xttt tttt 3 5 多自由度传递函数多自由度传递函数 多自由度振动微分方程为 3 42 FxKxCxM 这是多输入多输出问题 按传递函数的定义 每一个输入对每一个输出都 有一个传递关系 若输入 其余均为零 则可得 j 点输入时对各输出点 i t j Fe Comment W用1 有修改 的传递函数 对全部输入可得传递函数矩阵 12 jjnj HHH 3 43 nnnn n n HHH HHH HHH H 21 22221 11211 事实上对于复数形式激励 设系统的稳态响应的复数形式 ti ePF 0 代入微分方程 3 42 得 ti eBx 3 44 0 2 0 PH CiMK P B 其中 为传递函数 H nnnnnnnnnn nnn nnn cimkcimkcimk cimkcimkcimk cimkcimkcimk H 2 22 2 21111 2 1 22 2 22222 2 222121 2 21 11 2 11212 2 121111 2 11 1 3 45 显然 由于系统参数是对称矩阵 传递函数矩阵也是对称的 若输入为单位脉冲 其余均为零 则可得 j 点输入时对各输出点的单位 j F 脉冲响应 对全部单位脉冲激励可得单位脉冲响应 12 jjnj ht htht 矩阵 3 46 11121 21222 12 n n nnnn hhh hhh h hhh 利用上式作傅氏变换 可得到传递函数矩阵 为了更好的分析传递函数的性质 设 代入式 3 38 解耦后 qx 得到 3 47 FqKqCqM T 当激励为时 主坐标的稳态响应解为 F q 3 48 ti eDq 激励 代入上式 3 28 得到 0 i t FP e 3 49 0 2 T P D KMiC 激励对主坐标的传递函数为 F q qf H 2 111 2 222 2 1 0 0 1 0 0 1 00 T qf nnn kmi c kmi cH kmi c 3 50 若变换中振型矩阵式为正则振型矩阵 则上式为 3 51 22 111 22 222 22 1 0 0 2 1 0 0 2 1 00 2 T qf nnn i iH i 11211 222222 111111111 12222 222222 222222222 12 222222 222 222 222 n n nnnn nnnnnnnnn iii iii iii 因为 所以 xq qf HH 11211 222222 111111111 11121 12222 21222222222 222222222 12 1 22 222 222 2 n n n n nnnn n n iii iii i 2 2222 22 nnn nnnnnnnn ii 代入得每一项 3 51 22 1 2 n ksjs kj s sss h i 下标表示第点激励 第点响应之间的传递关系 显然 传 kj hjk jkkj hh 递函数矩阵是对称的 是项多项式的和 其中每一项相都当于一个单自由 kj hn 度系统的传递函数 上式分离后可得实频和虚频关系和 从而其Re kj hIm kj h 幅频和相频分别如下 幅值 3 52 22 Re Im kjkj Ahh 相位 3 53 Im arctan Re kj s kj h h 传递函数反映了系统参数与固有频率 振形之间的关系 是振动测试 和分析的理论基础 例六例六 在图 3 7 所示的三自度系统中 设 14 3kkk 23 kkk 求传递函数 并图示其 13 2mmm 2 mm 123 0 1 11 h 12 h 实频 虚频 幅频和相频特性 3 m 1 k 1 c 3 c 2 k 3 k 4 k 4 c 2 m 1 m 2 x 1 x 3 x 2 c Comment W用2 我把式 3 51 重 新推导了一下 发现原来求和下标错 了 已经改正 根据此公式修改后面 例题目 记得校稿时改正前面公式和 此例 图 3 7 解 第三节已经求出系统的固有频率为 222 123 23 kkk mmm 正则振形为 121 2 202 4 121 m 将已知条件和上述结果代入式 3 51 可得 22 1 2 n ksjs kj s sss h i 131311111212 11 222222 123123 0 20 20 2 h iii 11 222222 112233 112 21 80 20 20 2 h miii 22 2222 2 31 11222 222 222222 112233 2 2 1 Re 8 0 20 20 2 h m iii 312 11222 222 222222 112233 0 20 22 20 21 Im 8 0 20 20 2 iii h m iii 幅值 22 111111 Re Im hhh 相位 11 11 11 Im arctan Re h h h 133211121222 12 222222 123123 0 20 20 2 h iii 12 2222