大学数学如何求极限

1 高数求极限的方法高数求极限的方法 利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理定理 1 若极限和都存在 则函数 lim 0 xf xx lim xg xx xf xg xgxf 当时也存在且 0 xx limlimlim 0 00 xgxfxgxf xxxxx limlimlim 000 xgxfxgxf xxxxxx 又若 则在时也存在 且有0 lim 0 xg xx xg xf 0 xx lim lim lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx 利用极限的四则运算法则求极限 条件是每项或每个因子极限存在 一般 所给的变量都不满足这个条件 如 等情况 都不能直接用四则运算法则 0 0 必须要对变量进行变形 设法消去分子 分母中的零因子 在变形时 要熟练 掌握饮因式分解 有理化运算等恒等变形 例 1 求 2 4 2 2 lim x x x 解 原式 02 2 22 limlim 22 x x xx xx 用两个重要的极限来求函数的极限 利用来求极限1 sin lim 0 x x x 的扩展形为 1 sin lim 0 x x x 令 当或时 则有 0 xg 0 xx x 2 或 1 sin lim 0 xg xg xx 1 sin lim xg xg x 例 2 x x x sin lim 解 令 t 则 sinx sin t sint 且当时 x x0 t 故 1 sinsin limlim 0 t t x x tx 例 3 求 1 1sin 2 1 lim x x x 解 原式 2 1 1sin 1 11 1sin1 2 2 1 2 1 limlim x x x xx xx xx 利用来求极限e x x 1 1 lim 的另一种形式为 事实上 令e x x 1 1 lim e 1 0 1 lim 1 x x 所以 0 x x x e 1 1 lim e 1 0 1 lim 例 4 求的极限 x x x 1 0 21 lim 解 原式 2 2 1 2 1 0 21 21 lim exx xx x 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形 式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限 一般常用的方法是换元法和配指数法 利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷 1 lim 0 xg xf xx xf xg 0 xx 小量 记作 xf xg 0 xx 定理定理 2 2 设函数在内有定义 xhxgxf 0 0 xu 3 且有 xf xg 0 xx 若则 lim 0 Axgxf xx Axhxg xx lim 0 若则 lim 0 B xf xh xx B xg xh xx lim 0 证明 AAxhxf xf xg xhxg xxxxxx 1 limlimlim 000 可类似证明 在此就不在详细证明了 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例 5 求的极限 3 0 sin sintan lim x xx x 解 由 而 cos1 cos sin sintanx x x xx 0 sin xxx 2 cos1 2 x x x0 33 sinxx 3 x x0 故有 3 0 sin sintan lim x xx x lim 0 x 2 1 2 cos 1 3 2 x x x x 注 由上例可以看出 欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用 的 等价无穷小量 如 由于 故有又由于1 sin lim 0 x x x xsin 0 xx 故有 arctanx x 1 arctan lim 0 x x x x 0 另注 在利用等价无穷小代换求极限时 应该注意 只有对所求极限中相 乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换 而对极限式中的相加或相减的部 分则不能随意代换 如上式中 若因有 tanx 而x 0 xxsinx 0 x 推出 则得到的结果是错误的 3 0 sin sintan lim x xx x 0 sin 3 0 lim x xx x 利迫敛性来求极限 4 定理定理 3 3 设f x g x A 且在某内有 f x h x g x lim 0 xx lim 0 xx 0 xu o 则h x A lim 0 xx 例 6 求x的极限 lim 0 x x 1 解 1x 1 x 且 由迫敛性知 x 1 1 1 lim 0 x x x 1 lim 0 x x 1 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数 并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限 利用函数的连续性求极限 利用函数的连续性求极限包括 如函数在点连续 则 xf 0 x 及若 0lim 0 xfxf xx ax xx lim 0 且 f u 在点 a 连续 则 limlim 00 xfxf xxxx 例 7 求的极限 2 arcsin2 cos1 0 lim x x x e 解 由于及函数在处连续 故 lim 0 x 4 1 arcsin2 cos1 2 x x 4 euf 4 1 u lim 0 x 2 arcsin2 cos1 x x e 2 0 arcsin2 cos1 lim x x x e 4 1 e 利用洛比达法则求函数的极限 在前面的叙述中 我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限 在 此笔者叙述一种牵涉到无穷小 大 量的比较的求极限的方法 我们把两个无 穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限 分别记作型或型的 0 0 不定式极限 现在我们将以导数为工具研究不定式极限 这个方法通常称为洛 比达法则 5 下面就给出不定式极限的求法 1 对于型不定式极限 可根据以下定理来求出函数的极限 0 0 定理定理 4 4 若函数 f x 和函数 g x 满足 0 lim 0 xx xf lim 0 xx xg 在点的某空心邻域内两者都可导 且 0 x 0 0 xu0 xg A A 可为实数 也可为或 lim 0 xx xg xf 则 A lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 注 此定理的证明可利用柯西中值定理 在此 笔者就不一一赘述了 例 8 求lim x x x 2 tan cos1 解 容易检验 f x 1 与 g x 在的邻域里满足定理的条件 和 又因xcosx 2 tan 0 x lim x xg xf lim x xx x 2 sectan2 sin lim x 2 1 2 cos3 x 故由洛比达法则求得 lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 2 1 在此类题目中 如果仍是型的不定式极限 只要有可能 我 lim 0 xx xg xf 0 0 们可再次利用洛比达法则 即考察极限是否存在 当然 这是 lim 0 xx xg xf 和在的某邻域内必须满足上述定理的条件 xf xg 0 x 例 9 求 1ln 21 2 2 1 0 lim x xe x x 解 利用 则得 1ln 2 x 2 x0 x 6 原式 lim 0 x 2 2 1 21 x xe x lim 0 x x xe x 2 21 2 1 lim 0 x 1 2 2 2 21 2 3 xe x 在利用洛比达法则求极限时 为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便 可用适当的代换 如下例 例 10 求lim 0 x x e x 1 解 这是型不定式极限 可直接运用洛比达法则求解 但是比较麻烦 如作 0 0 适当的变换 计算上就会更方便些 故 令当时有 于是有 xt 0 x 0t lim 0 x x e x 1 1 1 1 limlim 00 t t t t ee t 2 型不定式极限 若满足如下定理的条件 即可由如下定理计算出其极限 定理定理 5 5 若函数 f x 和函数 g x 满足 lim 0 xx xf lim 0 xx xg 在点的某空心邻域内两者都可导 且 0 x 0 0 xu 0 xg A A 可为实数 也可为或 lim 0 xx xg xf 则 A lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 此定理可用柯西中值定理来证明 在此 笔者就不一一赘述了 例 11 求 x x x ln lim 解 由定理 4 得 ln ln l 0 limlimlim xxx xx xxx 注 1 若不存在 并不能说明不存在 lim 0 xx xg xf lim 0 xx xg xf 7 注 2 不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解 首先必须注意它是不 是不定式极限 其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件 下面这个简单的极限 1 lim x x xxsin 虽然是型的 但若不顾条件随便使用洛比达法则 就会因右式的极限不存在而推出原式的极限 lim x x xxsin lim x 1 cos1x 不存在这个错误的结论 3 其它类型不定式极限 不定式极限还有 等类型 这些类型经过简单的 0 1 0 0 0 变换 都可以化为型和型的不定式极限 0 0 例 12 求lim 0 x xxln 解 这是一个型的不定式极限 作恒等变形 将它转化为型的 1xxln x x 1 ln 不定式极限 并用洛比达法则得到 lim 0 x xxln lim 0 x x x 1 ln lim 0 x 2 1 1 x x 0 lim 0 x x 例 13 求lim 0 x 2 1 cos x x 解 这是一个型的不定式极限 作恒等变形 1 2 1 cos x x x x e cosln 1 2 其指数部分的极限是型的不定式极限 可先求得 lim 0 x x x cosln 1 2 0 0 lim 0 x x x cosln 1 2lim 0 x x x 2 tan 2 1 8 从而得 lim 0 x 2 1 cos x x 2 1 e 例 14 求 k 为常数 lim 0 x x k x ln1 sin 解 这是一个型的不定式极限 按上例变形的方法 先求型的极限 0 0 lim 0 x x xk ln1 sinln lim 0 x x x xk 1 sin cos lim 0 x x x xk sin cos k 然后得到 lim 0 x x k x ln1 sin k e0 k 当 0 时上面的结果仍成立 k 例 15 求 x x xx ln 1 2 1 lim 解 这是一个型的不定式极限 类似地 先求其对数的极限 型 0 1 lim x x xx ln 1ln 2 lim x x x 1 1 1 于是有 x x xx ln 1 2 1 lim e 利用泰勒公式求极限 由于泰勒公式的特殊形式 对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作 用 例 16 求lim 0 x 4 2 2 cos x ex x 解 本题可用洛比达法则来求解 但是运算过程比较繁琐 在这里可用泰勒公 式求解 考虑到极限式的分母为 我们用麦克劳林公式表示极限的分子 4 x 取 n 4 cosx 1 2 2 x 24 4 x o 5 x 9 1 2 2 x e 2 2 x 8 5 4 xo x cosx 2 2 x e 12 4 x o 5 x 因而求得 lim 0 x 4 2 2 cos x ex x lim 0 x 12 1 12 1 4 54 x xox 利用微分中值定理和积分中值定理求极限 例 17 求的极限 3 sin 0 22 lim x xx x 解 3 sin 3 sin sin sin 2222 x xx xxx xxxx 由微分中值定理得 介于与之间 2ln2 sin 22 sin xx xx xxsin 原式 6 2ln 3 cos1 2ln2 sin sin 22 2 00 3 0 sin 0 limlimlimlim x x x xx xx xx xx x 例 18 求的极限 3 sin 0 22 lim x xx x 解 3 sin 3 sin sin sin 2222 x xx xxx xxxx 由微分中值定理得 介于与之间 2ln2 sin 22 sin xx xx xxsin 原式 6 2ln 3 cos1 2ln2 sin sin 22 2 00 3 0 sin 0 limlimlimlim x x x xx xx xx xx x 利用定积分求极限 例 19 求 2 1 2 1 1 1 lim nnn n 解 把此极限式化为某个积分和的极限式 并转化为计算计算定积分 为 10 此作如下变形 n n i J n in 1 1 1 1 lim 不难看出 其中的和式是函数发在区间上的一个积分和 x xf 1 1 1 0 这里所取的是等分分割 所 1 n xi n i n i n i i 1 2 1ni 以 2ln 1ln 1 1 0