微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上 物体与斜面间的摩擦因数恰好满足 为斜面的倾角 tg 今使物体获得一水平速度而滑动 如图一 0 V 求 物体在轨道上任意一点的速度 V 与的关 系 设为速度与水平线的夹角 解 物体在某一位置所受的力有 重力 G 弹力以及摩擦力 摩擦力总是与运动速度 V 的方向相反 其数值N f f sincoscosmgmgtgmgNf 重力在斜面上的分力为 如图二 将 1 G 分解为两个分力 是沿轨迹切线方向 1 G 1 G 1 G 的分力 sinsinsin 11 mgGG 是沿轨迹法向的分力 1 G 如图三 cossincos 11 mgGG 根据牛顿运动定律 得运动方程为 1 mafG 1 2 n maG 1 由 1 1 sinsin sinsinsin 1 gmgmg m a 而 得到 dt dV a 3 1 sinsindtgdV 式中是 t 的函数 但是这个函数是个未知函数 因此还不能对上式积分 要设法在 与 t 中消去一个变量 才能积分 注意到 4 d d ds VV dS dt 1 而表示曲线在该点的曲率半径 根据 2 式 d ds 5 2 cossin V mmg 由式 3 4 5 可得到 sec dtg V dV dtg V dV V V 0 0 sec 积分 得到 sin1ln ln seccoslnln 0 tg V V sin1 0 V V 运用积分法求解链条的速度及其时间运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条 质量为 m 挂在一个光滑的钉子 上 一边长度为 另一边长度为而且 如 1 L 2 L 12 0LL 图一 试求 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间 解 设金属链条的线密度为当一边长度为 21 LL m 另一边长度为时受力如图二所示 则根据牛xL 1 xL 2 顿运动定律 得出运动方程 11 axLTgxL 22 axLgxLT 则 2 21 21 g LL xLL a 因为 所以 dx VdV dt dx dx dV dt dV a 2 21 21 g LL xLL dx VdV xV gdx LL xLL VdV 0 21 21 0 2 2 2 21 21 xxLL LL g V 令可以求得链条滑离钉子时的速度大小 2 Lx 21 21 2 LL gLL V 再由得到 dt dx V 2 21 21 2 xxLL LL g dt dx 2 0 21 02 21 dt LL g xxLL dx tx 积分 得到 2 2 2ln 21 0 2 2121 t LL g xxLLLLx x 2 2 2 ln 2121 2 2121 t LL g LL xxLLLLx 令 x 可以求得链条滑离钉子所需的时间为 2 L ln 2 2 ln 2 21 21 21 21 2121 21 LL LL g LL LL LLLL g LL t 求解棒下落过程中的最大速度求解棒下落过程中的最大速度 在密度为的液体上方有一悬挂的长为 L 密度为的均匀直棒 棒的下端刚与液面 1 2 接触 今剪断细绳 棒在重力和浮力的作用下下沉 若 求 21 棒下落过程中的最大速度 解 剪断细绳后 直棒在下沉过程中受到重力 和浮力的作用 如图一所示 根据牛顿运动定律 G F 有 1 dt dV mFmg 随着棒往下沉 浮力逐渐增大 当直棒所受合力 为零 即时 棒的加速度为零 速度最大 设mgF 棒达到最大速度时 棒浸入液体中的长度为 设棒 1 L 的截面积为 S 则有 211 SLggSL 解得 2 1 2 1 LL 取 x 坐标如图所示 则 1 式可以写为 212 dt dV SLSxgSLg 做变量代换 令代入上式 得到 dx dV V dt dx dx dV dt dV 1 2 1 VdVgdx L x 两边积分 得到 11 00 2 1 1 VL VdVgdx L x 得到 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 VL L g gL 将 2 式代入 3 式 得棒的最大速度为 1 2 1 LgV 运用微分法求解阻尼平抛运用微分法求解阻尼平抛 质量为 m 的物体 以初速为 方向与地面成角抛出 如果空气的阻力不能忽略 0 V 0 并设阻力与速度成正比 即 k 为大于零的常数 求 Vkf 物体的运动轨道 解 根据受力情况 列出牛顿运动定律方程 amfgm 其分量式 1 xxx makVf 2 yy makVmg 将代入式 1 得 dt dV a x x dt dV mkV x x 改写成 dt m k V dV x x x x V V t x x dt V dV 0 0 m k 两边积分 得到 cos 00 t m k t m k xx eVeVV 可见由于空气阻力的存在 x 方向的速度不再是常数 而随时间逐渐衰减 由于 再积分 并以 t 0 时 x 0 代入得到 dt dx Vx 3 1 cos 1 000 t m k t m k x e k V e k mV x 同理 由于式 2 转化为 dt dV a y y yy y V k mg m k V m k g dt dV dt m k V k mg dV y y 积分 并以 t 0 时 代入 得到 000 sin VVV yy sin 00 k mg e k mg VV t m k y 可见 y 方向的速度也不再是匀减速的 再将上式对时间积分 并以 t 0 时 y 0 代入 得到 4 1 sin 00 t k mg e k mg V k m y t m k 由 3 4 两式消去 t 得到有阻力时的轨道方程 cos 1ln cos 1ln cos 0 2 2 00 2 2 00 0 x mV k k gm x mV k k gm x kV mg tgy 显然由于空气阻力的作用 抛体的轨道不再是简单的抛物线了 实际轨道将比理想轨 道向左下方偏离 如图一 例如 以初速 620m s 仰角发射的步枪子弹的射程 没有空气阻力时应为 40km 而 0 45 实际射程只有 4km 求解飞机的滑行距离求解飞机的滑行距离 飞机以的水平速度触地滑行着陆 滑行期间受到空气的阻力为 升力为 0 V 2 VCx 其中 V 是飞机的滑行速度 设飞机与跑道间的摩擦系数为 试求 2 VCy 飞机从触地到停止所 滑行的距离 解 取飞机触地点为 坐标原点 取飞机滑行方 向为 x 轴 飞机在水平方 向上受力为 摩擦力 空气阻力为Nf 在竖直方向 2 VCf x 上受力为 重力 支持力 和升力如图 2 VCF y 一所示 应用牛顿第二定 律 得到 dt dV mVCN x 2 0 2 mgVCN y 由上两式消去 N 得到 2 VCCmg dt dV m yx 利用 dx dV V dt dx dx dV dt dV 得到 2 VCCmg dx dV mV yx 分离变量 积分 V V x yx dx VCCmg mVdV 0 0 2 得到 ln 2 2 0 2 VCCmg VCCmg CC m x yx yx yx 在飞机触地的瞬间 支持力 N 0 由运动方程 得到 0 VV 2 0 mgVCy 于是 ln 2 2 0 22 0 2 0 VC VCCVC CCg VC x x yxy yy y 这就是飞机从触地到停止所滑行的距离 社 升阻比 代入数值计算后 得到5 90 0 x y C C hkmV10 0 x 221m 求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题 两小球的质量均为 m 小球 1 从离地面高度为 h 处由静止下落 小球 2 在小球 1 的正 下方地面上以初速同时竖直上抛 设空气阻力与小球的运动速率成正比 比例系数为 0 V k 常量 试求 两小球相遇的时间 地点以及相遇时两小球的速度 解 两小球均受重力和阻力作用 取坐标如图一所示 两小球的运动方程可统一表示 为 2 2 mgkV dt yd m 它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的 故 gV m k dt dV 分离变量 dt gV m k dV 对于小球 1 初始条件为时 故0 t 0 1010 hyV 1 00 Vt dt gV m k dV 1 1 1 t m k e k mg V 对于小球 2 初始条件是 t 0 时 故 0 20020 yVV 1 0 0 V V t dt g m k dV 得到 2 02 k mg e k mg VV t m k 由 1 式 得到 1 1 t m k e k mg dt dy dte k mg dy t m k 1 1 1 0 1 1 y h tt m k dte k mg dy 积分 得到 1 2 2 1 t k mg e k gm hy t m k 由式 2 得到 0 2 k mg e k mg V dt dy t m k dt k mg e k mg Vdy t m k 02 dt k mg e k mg Vdy tt m k y 0 0 0 2 2 积分 得到 t k mg e k mg V k m y t m k 02 两小球相遇时 相遇时间为 由 3 4 两式 得到 21 yy t 1 0 t m k eV k m h 1 0 mV kh e t m k 故 1ln 0 mV kh k m t 把上述结果代入 3 或者 4 得到两小球相遇的地点 1ln 1 0 2 2 0 mV kh k gm h kV mg y 代入 1 2 得到两小球相遇时的速度 1 1 00 1 V gh mV kh k mg V 1 0 0 0 0 2 m kh V gh V k mg mV kh k mg VV 讨论 1 当阻力很小时 即当时 利用展开式0 k 2 1ln 2 x xx 上述结果简化为 2 0 0 2 0 1 2 0 0 V gh VV V gh V V gh hy V h t 这正是不考虑空气阻力时的结果 2 当考虑如提设的空气阻力时 由上述结果可知 只在下述条件下 或者 0 khmV 0 m kh V 两小球才有可能相遇 在非惯性系中求解球环系统的运动情况在非惯性系中求解球环系统的运动情况 一轻绳的两端分别连接小球 A 和小环 B 球与环的质量相等 小环 B 可在拉紧的钢丝 上作无摩擦的滑动 如图一 现使小球在图示的平面内摆动 求 小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度 解 当小球摆动时 小环沿钢丝做加速运动 以小环 B 为参考系 则小球受重力和绳 子拉力外 还受惯性力 的作用 如图二 B maF 惯 其加速度沿圆弧的切线方向 A a 在最大摆角为时的运动方程 为 0cossin mgFT 惯 A amFmg cossin 惯 小环 B 在水平方向的运动方程为 B maT sin 解方程 得到 sin1 sin2 sin1 2 2sin 22 g a g a AB 小球 A 相对地的加速度 取如图二所示的坐标系 BAA aaa 则有 sin1 2 2sin cos 2 gaaa BAAx sin1 sin2 sin 2 2 gaa AAy 旋转液体的液面旋转液体的液面 以等角速度 旋转的液体 液面的形状如何求得 解答 假设它的剖面是一条曲线 Y 轴是转轴 旋转面以 Y 轴为对称轴 此时 在液面会得到一正压力 R R 可以同时提供向心力 和重力 因此 其中 都是常数 因此该剖面的曲线是拋物线 液面形状是该拋物 线绕 Y 轴的旋转面 直接求直接求 sin x 的导函数的导函数 从几何上如何找到 sin x 的微分呢 解答 直接求 sind d 把 变动 sin 从 变到 我们要了解 与 之比 是一小段弦长 是斜线区域这个近似直角三角形的斜边 此 与 之 比之比可以想成是 cos 四只苍蝇飞行问题四只苍蝇飞行问题 有四只苍蝇 A B C D 分别位于平面上的 1 1 1 1 1 1 1 1 之后它们一起以每秒 1 单位的速度行动 行动的方式为 A 苍蝇一直向着 B 苍蝇靠近 B 苍蝇一直向着 C 苍蝇靠近 C 苍蝇一直向着 D 苍蝇靠近 D 苍蝇一直向着 A 苍蝇靠近 试问 1 四只苍蝇会在何处相遇 2 它们多久会相遇 3 找出 A 苍蝇的行动轨迹 并大致画出 4 计算 A 苍蝇从开始到相遇的路径长 5 苍蝇 A 会有什么样的生理反应 解答 1 2 从物理相对运动的点来看 A 的行进方向始终和 B 的行进方向保持垂直 你 可以想象苍蝇移动了瞬间之后 方向就立即修正 参照图一 二 三 由于 四只苍蝇是做等速运动 所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形 行进方向垂直加上等速 于是当时间愈久的时候 苍蝇愈来愈靠近 正方形 愈来愈小 最后会内缩成一点 这一点会是原点原点 这就是他们相遇的地方 此 外 A 靠近靠近 B 是垂直方向靠近是垂直方向靠近 所以从 B 苍蝇看来 A 还是以 1 单位 秒 的 等速向 B 靠近 原来 A B 的距离是 2 单位 因此需要 秒的时间四只 苍蝇会相遇 的推论都一样 四只会一起相 遇 图一 图二 图三 3 我们将苍蝇 A 的坐标位置用极坐标的方式表达 而 B 的位置就是 要注意 的是 和 都是 的函数 而 A 的速度是 此向量要与 平行 于是 如果 初始值 其轨迹如下图 所示 事实上我们必须注意到 在 的情形下会有 的推论 我们不妨用积分式算出 时刻走了多少路 等式 右边是速度乘上时间 在 的 时候 所以其实苍蝇 A 的轨迹应为 上述讨论要表达的是说 加上 这一点是需要的 并且加 上那一点后 轨迹还是连续的轨迹还是连续的 可以想一下如何定义在端点的连续性端点的连续性 4 由 3 5 由 3 得知在 到 2 的时候 换言之 在之前已转了无限多圈转了无限多圈 于是苍蝇会苍蝇会 头昏头昏 雪球融化雪球融化 假设雪球融化的速率与表面积成正比 若有一个半径为 10 公分的雪球 在 气温气压皆固定的情况之下 在 5 分钟后融化为一个半径 5 公分的雪球 请问 雪球完全融化需要多少时间 解答 假设此雪球在时间 分钟时的半径为公分 由题意可知 又雪球融化的速率与表面积成正比 雪球融化的速率即雪球体积的 变化率 雪球的体积为 表面积为 所以有 为一比例常数 由于体积随时间经过而减少 可知 为常数 由 可解出 由此可看 出雪球的半径随时间经过等速率减少 雪球完全融化时 所以雪球在 10 分钟后完全融化 雨中行车雨中行车 若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地 此时天正下着 雨 假设所有雨滴皆以速度 u 垂直落下 且均匀的分布在空气中 请问你是该 开的快一点或是慢一点 才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少 解答 图一 假设每立方公尺中有 克的雨水 若车子以速度 v 前进 以车子为标准坐 标来看 则雨水以水平速度 v 垂直速度 u 朝车子而来 假设速度与水平夹角 则对单位面积的挡风玻璃来说 在 到 间 落在其上的雨水正好 是 时 单位面积上高为 倾斜角度 的圆柱内的水 如图二 图二 总共有克 所以单位时间内单位面积所接收的雨水为 若甲到乙地距离 挡风玻璃总面积 则从甲以等速 v 开车 到乙挡风玻璃所接收的雨水共有 为一常数 与 无关 若并非以等速行车 结果又会是如何呢 假设 v 为 t 的函数 写成 单位时间内单位面积接收的雨水为 假设在 时间后从甲到达 乙 则 则从甲到乙所接收的总雨量为 依然是一个常数 与 v 无关 也就是说不管怎么开 落在挡风玻璃上总雨量都是固定的 工人拉船工人拉船 码头上 有一个圆筒状铁柱 从船上抛出一根绳子 一端固定在船尾 另 一端绕铁柱三圈后由一工人拉着 假设工人施力 10 公斤 绳子与铁柱的磨擦系 数是 1 3 请问船尾受力多大 解答 在绳子与铁柱有 的接触时 拉力 会提供 接近 的正压力给铁柱 所以有 积分得 其中 就是 10 公斤 而 所以 录音带录音带 如果你曾注意过收音机带动录音带的情形 相信你会发现在收听 或者快 转 的时候 在左方的轮子会逆时针旋转 以带动磁带 而原本在右方的磁带 地方就会被一直带动 最后会绕到左方的轮子上 现在我们考虑二个问题 两个轮子磁带半径的变化率之比为多少 如果我 知道录音带从一开始 左方的轮子没有磁带 所有磁带都在右方的轮子上 转 到一半 左方的磁带量 右方的磁带量 时 需要一分钟 并且轮 1 的转速始 终保持一定值 那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢 解答 如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时 就会发现到 在收听 或者 快转 的时候 在 1 处的轮子会逆时针旋转 以带动磁带 而磁带原本在 2 的地方就会被一直带动 最后会绕到轮子 1 上 现在我们想要考虑两个问题 1 记为 1 号轮子在 时刻所绕出的磁带的半径 为 2 号轮子在 时刻磁带形成圆形的半径 它们会随 而变化 那么两半径的变化率之 比 即 为何 2 如果我知道录音带从一开始 轮 1 没有磁带 所有磁带都在轮 2 上 转到一半 轮 1 的磁带量 轮 2 的磁带量 时 需要一分钟 并且轮 1 的转速始终保持一定值 那么录音带全部转完的时候需要几分钟 第一个问题其实并不难 如果注意到磁带的总量始终保持一定磁带的总量始终保持一定 另一个角 度想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的 于是会有 常数 对 微分后得到 第二个问题我们可以试着用积分的方法解决 首先注意到由于转速是一定 记为 所以半径 是和 成正比 于是不妨令 比方说轮子每 秒转 10 圈 那么一秒后半径就多了 10 个磁带的厚度 两秒后半径就多了 20 个 磁带的厚度 另外 我们同样是以圆面积代表磁带量 所以 一分钟时转了总长的一半 是一比 例常数 欲解 时的 值 所以带子全部转完需要分钟 撞球问题撞球问题 你知道撞球的时候球杆应该打在哪里最好吗 解答 观察 1 如果球杆打在撞球的中央 如图 A 处 则球有速度 但是无旋转的角速度无旋转的角速度 如此一来球和布会有摩擦 布会坏掉布会坏掉 可见这不是最佳的点 球杆应打在让球产生全滚动而不滑动全滚动而不滑动 这是最佳的点 观察 2 若球一开始有滑动 不久球会开始滚动 滚速会增加 移动速度会