小学奥数之几何蝴蝶定理问题

几何之蝴蝶定理几何之蝴蝶定理 一 一 基本知识点基本知识点 定理定理 1 同一三角形中 两个三角形的高相等 则面积之比 同一三角形中 两个三角形的高相等 则面积之比 等于对应底边之比 等于对应底边之比 S1 S2 a b 定理定理 2 等分点结论 等分点结论 鸟头定理鸟头定理 如图 三角形 AED 的面积占三角形 ABC 的面积的 20 3 4 1 5 3 定理定理 3 任意四边形中的比例关系 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理蝴蝶定理 1 S1 S2 S4 S3 或或 S1 S S3 S S2 S S4 上 下部分的面积之积等于左 右部分的面积之积上 下部分的面积之积等于左 右部分的面积之积 2 2 AO OCAO OC S1 S2 S4 S3 梯形中的比例关系梯形中的比例关系 梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理 1 S1 S3 a2 b2 上 下部分的面积比等于上 下边的平方比 2 左 右部分的面积相等 3 S1 S3 S2 S4 a2 b2 ab ab 4 S 的对应份数为 a b 2 定理定理 4 相似三角形相似三角形性质性质 CFEA D B CBE F D A 1 H h C c B b A a 2 S1 S2 a2 A2 定理定理 5 燕尾定理 燕尾定理 S ABE S AEC S BGE S GEC BE EC S BGA S BGC S AGF S GFC AF FC S ADC S DCB S ADG S DGB AD DB 二 二 例题例题 例例 1 如图 如图 已知阴影部分面积为 已知阴影部分面积为平方厘米 平方厘米 的面积的面积ADDB AEEFFC 5ABC 是多少平方厘米 是多少平方厘米 例例 2 有一个三角形 有一个三角形的面积为的面积为 1 如图 且 如图 且 求 求ABC 1 2 ADAB 1 3 BEBC 1 4 CFCA 三角形三角形的面积的面积 DEF 例例 3 3 如图 在三角形 如图 在三角形 ABCABC 中 中 D D 为为 BCBC 的中点 的中点 E E 为为 ABAB 上的一点 且上的一点 且 BE BE AB AB 已知四边形已知四边形 EDCAEDCA 的面积的面积 1 3 是是 3535 求三角形 求三角形 ABCABC 的面积的面积 例例 4 如图 ABCD 是直角梯形 求阴影部分的面积和 单位 厘米 例 5 两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形 已知两个三角形的面积 如图所示 求另两个三角形的面积各是多少 单位 平方厘米 例 6 如下图 图中 BO 2DO 阴影部分的面积是 4 平方厘米 求梯形 ABCD 的面积是多少平 方厘米 例例 7 小数报竞赛活动试题 小数报竞赛活动试题 如图 某公园的外轮廓是四边形如图 某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 被对角线 AC BD 分成四个部分 分成四个部分 AOB 面积为面积为 1 平方千米 平方千米 BOC 面积为面积为 2 平方千米 平方千米 COD 的面积为的面积为 3 平方千米 公园平方千米 公园 陆地的面积是陆地的面积是 6 92 平方千米 求人工湖的面积是多少平方千米 平方千米 求人工湖的面积是多少平方千米 例例 8 如图 在梯形 如图 在梯形 ABCD 中 三角形中 三角形 AOD 的面积为的面积为 9 平方厘米 三角形平方厘米 三角形 BOC 的面积为的面积为 25 平方厘米 求梯形平方厘米 求梯形 ABCD 的面积 的面积 25 9 O D C B A 例例 9 20032003 北京市第十九届小学生北京市第十九届小学生 迎春杯迎春杯 数学竞赛 数学竞赛 四边形的对角线与交于点 如图 所示 ABCDACBDO 如果三角形的面积等于三角形的面积的 且ABDBCD 1 3 那么的长度是的长度的 倍 2AO 3DO CODO D A O C B 例例 1010 左下图所示的 左下图所示的ABCDABCD 的边的边 BCBC 长长 10cm10cm 直角三角形 直角三角形 BCEBCE 的直角边的直角边 ECEC 长长 8cm8cm 已知 已知 两块阴影部分的面积和比两块阴影部分的面积和比 EFG EFG 的面积大的面积大 10cm10cm2 2 求 求 CFCF 的长 的长 例例 1111 长方形 长方形 ABCD 的面积为的面积为 36 平方厘米 平方厘米 E F G 分别为边分别为边 AB BC CD 的中点 的中点 H 为为 AD 边上的任一点 求图中阴影部分的面积是多少 边上的任一点 求图中阴影部分的面积是多少 例例 1212 如图 甲 乙两图形都是正方形 它们的边长分别是如图 甲 乙两图形都是正方形 它们的边长分别是 1010 厘米和厘米和 1212 厘米 求阴影厘米 求阴影 部分的面积 部分的面积 例例 1313 如图 大正方形 如图 大正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 6 6 依以下条件求三角形 依以下条件求三角形 BDFBDF 的面积 的面积 例例 1414 如下图 已知 如下图 已知 D D 是是 BCBC 的中点 的中点 E E 是是 CDCD 的中点 的中点 F F 是是 ACAC 的中点 且的中点 且的面积的面积 ADG 比比的面积大的面积大 6 6 平方厘米 平方厘米 EFG 的面积是多少平方厘米ABC A B C DE F G 三 三 练习题练习题 1 1 如图 四边形 如图 四边形 ABCDABCD 中 中 ACAC 和和 BDBD 相交于相交于 O O 点 三角形点 三角形 ADOADO 的面积的面积 5 5 三角形 三角形 DOCDOC 的面的面 积积 4 4 三角形 三角形 AOBAOB 的面积的面积 15 15 求三角形 求三角形 BOCBOC 的面积是多少 的面积是多少 2 2 如图所示 如图所示 BDBD CFCF 将长方形将长方形 ABCDABCD 分成分成 4 4 块 块 DEF DEF 的面积是的面积是 4 4 cmcm CED CED 的面积的面积 6cm6cm 2 问 四边形 问 四边形 ABEFABEF 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 2 3 3 如右图 如右图 BE BE BCBC CD CD ACAC 那么三角形 那么三角形 AEDAED 的面积是三的面积是三 3 1 4 1 角形角形 ABCABC 面积的面积的 D E C B A 5 如图所示 已知 ABCD 是长方形 AE ED CF FD 1 2 三角形 DEF 的面积是 16 平方厘米 求三角形 ABE 的面积是多少平方厘米 6 6 如右图 如右图 是梯形 是梯形 是平行四边形 己知三角面积如下图所示是平行四边形 己知三角面积如下图所示 单位 平方单位 平方ABCDABED 厘米厘米 阴影部分的面积是多少平方厘米 阴影部分的面积是多少平方厘米 7 7 正方形正方形 ABFD 的面积为的面积为 100 平方厘米 直角三角形平方厘米 直角三角形 ABC 的面积 比直角三角形 的面积 比直角三角形 CDE 的面积大的面积大 30 平方厘米 求平方厘米 求 DE 的长是多少 的长是多少 2 16 8 E D CB A 8 已知已知中 中 的面积是的面积是42 是是上任意一点 上任意一点 ABC 12ABACcm ABC 2 cmPBC 到到 的距离是的距离是 那么 那么 PABAC x yxy 9 9 如右图所示 已